上海电力学院高等数学(上)期中试卷级期末

上海电力学院高等数学(上)期终考试试卷
一．填空题（每小题3分，共15分）
1．设e x a x x =+→1
)sin 1(lim ，则_____=a ．
2．设⎩⎨⎧>≤+=1
1)(2
x x
x b
ax x f 在),(∞+-∞上可导，则____=a ，____=b ．
3．
___________________
12
=-⎰
dx x x ．
4．=++⎰
-11
2
4
1arctan 1dx x
x
x ___________．
5．设)(x f 连续，且⎰
-=
x t
x t dt e e f e y 0
)(，则
_______________=dx
dy ．
二．选择题（每小题3分，共15分） 1．下列结论正确的是（ ）．
Ａ．11sin 1lim
=→x
x
x ； B ．11sin
lim =∞
→x
x x ；
C ．11sin
lim 0
=→x
x x ； D ．1sin lim
=∞
→x
x x ．
2．设函数2
2
sin 1)(x x x x f ++-=，则点1=x 是导函数)(x f '的（ ）．
Ａ．无穷间断点； B ． 连续点；
C ．可去间断点；
D ． 跳跃间断点．
3．设)(x f 有连续的导函数，则⎰='])([dx x f d （ ）．
Ａ．dx x f )('；B ．
dx C x f ])([+'； C ．dx x f )(
；
D ．dx C x f ])([+． 4．当0→x 时，下列无穷小量中
①12-x ， ②)1ln(2x +， ③⎰
1cos 2cos x
dt t ， ④⎰x
dt t 02
sin ，
是同阶无穷小量的是（ ）．
Ａ．①，②； B ．②，③； C ．③，④； D ．④，①． 5．设)(x f 在定义域内可导，函数)(x f y =图形如下图所示，
则导函数)(x f y '=的图形只可能为（ ）．
三．计算题（每小题5分，共20分） 1．求曲线1=++y
ye
y x 在点)0,1(处的切线方程；
2．讨论函数⎰
-
=x e
dt t
x f )ln 11()(在区间),1(∞+的单调性和并求极值；
3．求])
(1)
2(1)
1(1[
lim 2
2
2
n n n n n n ++
+++
+∞
→ ；
4．求过直线111-=+=-z y x 和点)0,0,0(O 的平面方程； 四．（每小题6分，共24分）
1． )
1)(sin ()
1ln(212lim 2
2
--+--+→x
x e x x x x
；
2．设函数)(x y y =由⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=⎰t du u u
u y t x 02
2
1sin 1ln 决定，求dx dy ，22
dx y d ；
3．证明x x x 3tan 2sin >+，)2
,0(π
∈x ；
4．设⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤+=0
4011)(2x x x e x f x
，求⎰-3
)1(dx x f ．
五．（8分）（1）求对数螺线θρe =，]2,0[πθ∈的弧长； （2）求θρe =，]2,0[πθ∈和极轴0=θ所围图形的面积．
六．（10分）设一容器侧面由曲线2x y =绕y 轴旋转而成，已知初始时刻液面高度为2)(m ，
（1）求液面高度为h 时，容器中液体体积；
（2）若在容器底部有一个直径为2)(cm 的圆孔，当容器中液面高度为h )(m 时，孔中液体流速为gh c v 2=)/(s m ，求液面高度为h 时，液面高度h 关于时间t 的变化率；
（3）容器中液体从小孔中流尽所需的时间．
七．（8分）设)(x f 在]1,1[-上具有连续的二阶导函数，且0)0(=f ，3)(≤''x f
])1,1[(-∈x ，
（1）写出)(x f 在点0=x 处带拉格朗日余项的一阶麦克劳林展开式； （2）证明
1)(11
≤⎰
-dx x f ．。