双因素方差分析

一般地，设单因素试验中，因素A有k个水平 (总体)， 记为A1，A2，…，Ak，相应的响应值（试验结果）X1， X2，…，Xk 是 k个相互独立的总体，且Xj~N(j, 2)（ j =1, 2, …, k）。 今对第j个总体进行nj次重复观测，得到 nj个观测数据xij（i=1, 2, …, nj ），这可以看成是取自Xj 的一个容量为nj的样本。 这里，并不要求n1, n2, …,nk完全相同。 观测数据及计算列表如下。
n n1 n2
nk
1 xj nj
2
k
1 x xij n j 1 i 1
k
nj
x
i 1
nj
ij
St ( xij x )
j 1 i 1 k nj
k
nj
S A n j ( x j x )2
j 1
Se ( xij x j )2
重复
1 2 3 4
4.3(x11) 3.3(x31) 6.5(x41)
6.1(x12) 4.2(x32) 4.1(x42)
6.5(x13) 8.6(x33)
9.3(x14) 8.7(x24)
9.5(x15) 8.8(x25)
7.8(x21) 67.3(x22) 8.3(x23)
7.2(x34) 11.4(x35)
8.2(x42) 10.1(x44) 7.8(x45)
由于xij~N(j , 2) ，所以假定xij具有下述数据结构式：
xij j ij , j 1,2,
,5; i 1,2,
,4.
其中ij~N(j , 2)且相互独立。要检验的假设是：
H0 : 1 2 3 4 5
第
八 章
方差分析和回归分析
在工农业生产中产量的高低、质量的优劣，经济管理中效果 的好坏等，往往是由许多因素所至。这就要从众多因素中找出 主要因素，分析该因素处在何种状态时，使产量高、质量优、 管理效果好。 要解决这类问题： 一、设计一个试验（试验设计）； 二、如何分析多因素多状态下试验结果的差异性？ 当两个总体方差相等时，可用 t 检验来检验两个总体均值间 的差异性；当总体是三个或三个以上时如何检验呢？就要用本 章的方差分析。它是在二十世纪20 年代由英国著名统计学家R. Ａ.Fisher首先应用到农业试验中的。 方差分析的作用：从方差的角度分析试验数据、判断各因素 各状态对试验结果影响大小。 由于试验设计不同，方差分析的方法也有所不同。本章重点 介绍单、双因素方差分析。
j 1 a1=a2=…=ak=0
a
k
j
0
所要检验的假设可以写成：H0:
引起诸xij波动的原因有两个：一个是假设H0为真时，xij的波动 纯粹是随机性引起的；另一个可能是假设不真而引起的。因而我 们就想用一个量来刻划诸xij之间的波动，并把引起波动的上述两 个原因从中分离出来，用另外两个量表示出来，通过比较这两个 量来检验H0的真实性。记
1 k j , j j , j 1, 2, , k. k j 1 称μ为一般平均，j为因素A的第j个水平Aj的效应，容易看出，
k个效应满足关系式：

j 1
k
j
0
单因子方差分析模型中的数据结构式可以写成： xij=+j+ij, j=1,2,…,k; i=1,2,…,nj ;
j 1 i 1
总离差平方和:
组间平方和:
St ( xij x )2
k
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nj
S A n j ( x j x) 2
j 1
k
j 1 i 1 k
它反映了观测数据 总的变异程度 反映因子 A 的不同水 平效应间的差异
2
组内(误差)平方和: Se 可以证明
( x
j 1 i 1
要检验假设
H 0 : 1 2 3 4
若拒绝H0，我们就认为这四个激素水平的平均增重量之间有显 著差异；反之，就认为各激素水平间增重量的不同是由随机因素 引起的。 方差分析是检验同方差的若干正态母体均值是否相等的一种统 计分析方法。
1.单因素方差分析
例2 一批由同种原料织成的同一种布，用不同染整工艺处理， 然后进行缩水率试验，考察染整工艺对缩水率的影响，在其它条 件尽可能相同时，测得缩水率（%）如下表。 水平 A1 A2 A3 A4 A5
在方差分析中，通常取1-3个因素进行研究。因素的每一个状态 称为一个水平，水平可以是数量化的，也可以是定性的。
例1为单因素四水平试验。也就是四个总体的比较问题。
本例中有一因素 (激素, 记为A) 四个不同水平 (分别记为A1, A2, A3, A4)。可认为一个激素水平的增重量就是一个总体，在方差分 析中总假定各总体独立地服从同方差的正态分布，即第j个激素水 平的增重量是一个随机变量，它服从分布N(j , 2) i=1, 2, 3, 4.
几个概念
例1 检验某种激素对羊羔增重的效应。选用3个剂量进行试验， 加上对照（不用激素）在内，每次试验要用4只羊羔，若进行4 次重复，则共需要16只羊羔。研究激素用量对羊羔增重的影响 是否显著。
羊羔的增重（kg/每头/每200日） 处理 重复
1(对照)
2
3
4
1 47 50 57 54 2 52 54 53 65 3 62 67 69 74 4 51 57 57 59 试验中，我们所关心的指标，即羊羔的增重数量，称为试验 指标或响应值；影响增重数量（响应值）的指标是激素，称为 因素；激素用量（因素的状态）称为因素的水平或简称水平。 本例中有1个因素，4个水平，故称为单因素试验。
单因素方差分析数据及计算表
由于xij~N(j , 2) ，所以假定xij具有下述数据结构式：
xij j ij , j 1,2, , k; i 1,2, , n j , 其中ij~N(0 , 2)且相互独立。要检验的假设是： H0 : 1 2 k
为了方便起见，把参数的形式改变，并记
nj
ij
xj)
反映了随机误差ij 对响应值影响的总和
St =SA +Se — 平方和分解公式 E(Se)=(n-k)２
2 E (S A ) n j 2 ( k 1) j j 1 k