整合提升密码(131)

专训一：证明三角形全等的四种思路

名师点金：全等三角形是初中几何的重要内容之一，是几何入门最关键的一步，学习了判定三角形全等的几种方法之后，如何根据已知条件证明三角形全等，掌握证明全等的几种思路尤为重要．

条件充足时直接用判定方法

1．(2014·武汉)如图，和相交于点O，＝，＝，求证：∥.

(第1题)

条件不足时添加条件用判定方法

2．(改编·衡阳)如图，点A，F，C，D在一条直线上，＝，∥，请只补充一个条件，使得△≌△，并说明理由．

(第2题)

非三角形问题中构造全等三角形用判定方法

3．如图，在四边形中，⊥于M，∠1＝∠2，＝，求证：(1)∠3＋∠4＝180°

；(2)＋＝2.

(第3题)

实际问题中建立全等三角形模型用判定方法

4．如图，要测量的长，因为无法过河接近点A，可以在所在直线外任取一点D，在的延长线上任取一点E，连接和，并且延长到G，使＝，延长到F，使＝，连接，并延长到H，使H、D、A在一条直线上，则＝，试说明理由．

(第4题)

专训二：四种常见的几何关系的探究

名师点金：全等三角形的性质和判定是初中数学的重点内容，也是学习其他几何知识的基础，三角形全等的判定和性质是证明线段相等、角相等的重要依据，并由此还可以获得直线之间的垂直(平行)关系，线段(面积)的和、差、倍、分关系．

位置关系

1．如图，已知⊥，⊥，＝，＝.求证：⊥.

(第1题)

相等关系

2．(2015·珠海)已知△，＝，将△沿方向平移得到△.

(1)如图①，连接，，则.(填“＞”“＜”或“＝”号)

(2)如图②，M为边上一点，过M作的平行线分别交边，，于点G，H，N，连接，.求证：＝.

(第2题)

和差关系

3．如图，∠＝α，＝，C，E，F分别是直线上的三点，且∠＝∠＝α，请提出对，，三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明．

(第3题)

倍数关系

4．如图，在△中，∠＝∠A，∠＝90°，D为边的中点，∠＝90°，∠绕点D 旋转，它的两边分别交，(或它们的延长线)于点E，F.

当∠绕点D旋转到⊥于点E时(如图(1))，易证S

△＋S

△

＝S

△

；当∠绕点D旋转

到和不垂直时，在图(2)和图(3)这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，

请给予证明；若不成立，S

△，S

△

，S

△

又有怎样的关系？请说明你的猜想，不需

证明．

(第4题)

专训三：四类常见的热门题型

名师点金：本章主要学习了全等三角形的性质与判定及角平分线的性质与判定，对于三角形全等主要考查利用全等三角形证明线段或角的等量关系，以及判断位置关系等，对于角平分线主要考查利用角平分线的性质求距离、证线

段相等．

全等三角形的性质与判定

1．如图所示，∥∥，∠＝90°，＝，那么图中的全等三角形有( )

A．3对B．2对C．1对D．0对

(第1题)

(第2题)

2．如图，在△中，＝5，F是高和的交点，＝，则的长是( )

A．7 B．6 C．5 D．4

3．(2015·杭州)如图，在△中，已知＝，平分∠，点M，N分别在，边上，＝2，＝2，求证：＝.

(第3题)

全等三角形性质与判定的实际应用

4．某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，如图，设计时要测量隧道的长度．恰好山的前面是一片空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖隧道的长度？请画出你设计的测量方法图并说明理由．

(第4题)

角平分线的性质与判定

5．如图，是△的角平分线，⊥，垂足为F，＝，△和△的面积分别为50和3 9，则△的面积为( )

A．11 B．5.5 C．7 D．3.5

(第5题)

(第6题)

6．如图，在△中，∠＝90°，＝7，＝24，＝25，点P是△三个内角平分线的交点，则点P到三边的距离为．

7．(2014·黄冈)已知：如图，＝，＝，⊥于点E，⊥于点F，求证：＝.

(第7题)

角平分线的性质与判定的实际应用

8．如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置．

(第8题)

答案

专训一

1．证明：在△和△中，

∴△≌△.∴∠A＝∠C.

∴∥.

2．解：补充条件：＝，可使得△≌△.理由如下：∵＝，点A，F，C，D在一条直线上，

∴＋＝＋，即＝.

∵∥，∴∠＝∠.

在△和△中，

∴△≌△()．

点拨：答案不唯一．

3．证明：如图，过C点作⊥，交的延长线于E点，(1)∵∠1＝∠2，⊥，⊥，

∴＝，又∵＝，

∴△≌△()．

∴∠3＝∠，

∴∠3＋∠4＝∠＋∠4＝180°.

(第3题) (2)∵＝，＝，

∴△≌△()．

∴＝.

由(1)知＝，

∴＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝2.

4．解：在△和△中，

∵＝，∠＝∠，＝，

∴△≌△()．

∴∠E＝∠F，∴∥，

∴∠＝∠.

又∵＝，∠＝∠.

∴△≌△()，

∴＝.