第六节 作用在平面上的静水总压力
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第六节 作用在平面上的静水总压力
14:43:31
同济大学航空航天与力学学院
1
第六节 作用在平面上的静水总压力
p p
水平面 平面 垂直面 斜 面
静止液体作用在平面上的总压力包括三个问题： 1.总压力的大小 2.总压力的作用点 3.总压力的方向
两种方法:1 解析法；2 图算法
14:43:31
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压力体体积的组成： （1）受压曲面本身； （2）通过曲面周围边缘所作的铅垂面； （3）自由液面或自由液面的延长线。 压力体
V Aabcd b
14:43:31
同济大学航空航天压力
压力体的种类： 实压力体：实压力体，Pz方向向下（压力体和液体在曲面同侧） 虚压力体：虚压力体，Pz方向向上（压力体和液体在曲面异侧）
0
18 . 1 kN
对 B 点取矩：
' hD 1 . 115 m
' P1h 1 P 2 h '2 P 3 h '3 Ph
' D
14:43:31 hD
' 3 hD sin 60 0 同济大学航空航天与力学学院 2 . 03 m
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Px ghc Ax pC Ax
液体作用在曲面上总压力的水平分力，等于作用在该 曲面的铅垂投影面上的压力
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20
第七节 作用在曲面上的静水总压力
2. 垂直分力
dPz dPsin ghdAsin
dA sin dAz
静止液体作用在曲面 AB上的垂直分力
14:43:31
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9
第六节 作用在平面上的静水总压力
根据惯性矩的平行移轴公式
I x y A IC
2 C
gsinI x Ix yD gsinyC A yC A
y A IC IC yD yC yC A yC A
2 C
yC —— 平面形心的y坐标 I C —— 面积对于通过它形心且平行于OX轴的轴线的惯性矩
Px Px1 Px 2 0 Pz1 g Vbbd dc Pz 2 g Vbbd da
Pz Pz1 Pz 2 g V
物体排开液体的重量， 阿基米德原理
作用于潜体或浮体的液体压力，只有铅直向上的压力， 浮力。浮心（浮力作用点）为排开液体的重心。
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13
第六节 作用在平面上的静水总压力
h1
A1
h2
A2 A3
h3
三个面上的压力
F1 gh1 A1 F2 gh2 A2
F3 gh3 A3
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14
第六节 作用在平面上的静水总压力
图算法
压强分布图
在受压面承 压的一面， 以一定比例 尺的矢量线 段，表示压 强大小和方 向的图形
Pz g hdAz
Az
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21
第七节 作用在曲面上的静水总压力
Az
hdA V
z
曲面AB与自由液 面间的柱体体积
压力体
Pz gV
静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压力 体的重量，Pz 的作用线通过压力体的重心。
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2
Py D gsin y dA gsinI x
2
I x y dA 为受压面A对OX的惯性矩。
2 A
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A
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8
第六节 作用在平面上的静水总压力
y D P gsinI x
总压力
P gsinyC A
两式相除
Ix gsinI x yD gsinyC A yC A
则作用在这个微元面积上静止液体的总压力为
dP pdA ghdA gy sin dA
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4
第六节 作用在平面上的静水总压力
dP pdA ghdA gy sin dA
积分上式 得静止液体作用在整个淹没平面上的总压力
P dP gysindA gsin ydA
Pz gV
P Px2 Pz2
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
总压力与水平面夹角的正切为
Pz tg Px
Pz arc tan Px
F A Px
B Pz
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25
第七节 作用在曲面上的静水总压力
压力体的概念 界定方法 设想取铅垂线沿曲面边缘平行移动一周,割出的以自 由面(或延伸面)为上底,曲面本身为下底的柱体
数学体积计算式
Az
hdA V
z
作用在曲面上的垂直分力的大小等于压力体内液体的重 量，并且与压力体内是否充满液体无关。
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
GP GP GP
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34
某 处 设 置 安 全 闸 门 如 图 所 示， 闸 门 宽 b= 0.6m， 高 h1= 1m， 铰 接 装 置 于 距 离 底 h2= 0.4m， 闸 门 可 绕 A 点 转 动， 求 闸 门 自 动 打 开 的 水 深 h 为 多 少 米。
1 0.1 12h 6
得
h
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4 m 3
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35
0 如图， 60，上部油深 h＝1m，下部水深h1＝2m， 求：单位宽度上得静压力及其作用点。
油 7.84kN / m3
P b h h1 h1 1 1 h h ＋ 油h 1 油 2 sin 600 2 水 sin 600 sin 600 ＝45.26kN
实压力体
14:43:31
虚压力体
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
压力体的绘制（一）：
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
压力体的绘制（二）：
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
dP ghdA
dPx dPcos ghdAcos ghdAx
dPz dP sin ghdA sin ghdAz
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
1. 水平分力
dPx dPcos ghdAcos
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第六节 作用在平面上的静水总压力
同理： xD xC
I xyC yC A
I xyC xydA
A
通常，实际工程中遇到的平面多数是对称的，因此压力中心 的位置是在平面对称的中心线上，此时不必求 xD 的坐标值， 只需求得 y D 坐标值即可。 由方程还可看到，压力中 心总是在形心下方，随淹 没的深度增加，压力中心 逐渐趋近于形心。
dA cos dAx
dPx ghdAx
因此，静止液体作用在曲面AB上的总压力在OX轴方 向的分力，即水平分力为
Px dPx g hdAx
Ax
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
Ax
h d A h A x c x
曲面面积在垂直平面（OYZ坐标面） 上的投影面积AX对OY轴的静矩
时， 闸 门 自 动 开 启 1 bh13 JC h1 1 1 ( h ) 12 h hD hc h hc A 2 2 12 h 6 ( h 1 )bh1 2 将 hD 代 入 上 述 不 等 式
解：当h D h h 2
h h1 A h2
1 1 h h 0.4 2 12h 6
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的形心并位于对称轴上。
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
胡佛大坝
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
图所示为一圆柱形开口容器中某一部分曲面AB上承受液体静 止压强的情况 曲面面积为A，一侧承压 在曲面上沿母线方向任取条形 微元面EF 则作用在微元面EF上仅由液体 产生的总压力为
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第六节 作用在平面上的静水总压力
P pc A hcbh 1 2 h bh h b 2 2 1 2 h 2
水静压强分布图ABE三 角形的面积，表示为
P b V
作用于平面的水静压力等于压强分布图形的体积。 P的作用点：通过
h 作用点： P 1 h 1 2 油 sin 60 h 1' 2 . 69 m P2
0
解： 合力
4 . 5 kN
1 h1 水 h1 2 sin 60 ' h2 0 . 77 m
0
22 . 65 kN
h1 sin 60 ' h3 1 . 155 m P3
油 h
A A
A
P gsinyc A
受压面A对OX 轴的静矩
yc
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称为形心y坐标，受压面形心到ox轴的距离
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5
第六节 作用在平面上的静水总压力
如果用 那么
hc
表示形心的垂直深度，称为形心淹没深度
P gsinyc A
hc yc sin
P ghc A pC A
压力体的绘制（二）：
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
曲面压力特例: 液体作用在潜体和浮体上的总压力 潜体：物体全部浸入水中 浮体：物体部分浸入水中
14:43:31
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32
第七节 作用在曲面上的静水总压力
Px1 g hc Ax Px 2 g hc Ax
22
第七节 作用在曲面上的静水总压力
F Px
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Pz G V
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
3. 总压力的大小和方向 静止液体作用在曲面上水平分力Px 静止液体作用在曲面上水平分力Pz 静止液体作用在曲面上的总压力
Px ghc Ax pC Ax
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IC y D yC yC A
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第六节 作用在平面上的静水总压力
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12
第六节 作用在平面上的静水总压力
如果容器封闭，则采用虚设液面
距离为：
p0 p a
当
p0 pa 时，虚设液面在实际液面的上方
反之，在下方
对OX轴的力矩为
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用 y D 表示OY轴上点O到压力中心 的距离
作用在微元面积上的总压力
dP gy sin dA
2
7
ydP gsiny dA
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第六节 作用在平面上的静水总压力
则按合力矩定理有
Py D dP y
ydP gsiny dA
2
第六节 作用在平面上的静水总压力
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3
第六节 作用在平面上的静水总压力
（一）总压力的大小 h为倾斜平面上任一点到自由液面的深度 y为相应的在OY轴上的距离 在深度h内选取一微元面积，dA 由静止液体产生的压强 p gh
h y sin
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第六节 作用在平面上的静水总压力
（二）总压力的方向 （二）总压力的作用点
沿受压面的内法线方向
用一个集中压力代替分布压力系
淹没在静止液体中的平面上总压力的作用点，压力中心。 合力矩定理可知，总压力对OX轴之矩等于各微元面积上 的压力对OX轴之矩的代数和。
Py D y dP
14:43:31
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1
第六节 作用在平面上的静水总压力
p p
水平面 平面 垂直面 斜 面
静止液体作用在平面上的总压力包括三个问题： 1.总压力的大小 2.总压力的作用点 3.总压力的方向
两种方法:1 解析法；2 图算法
14:43:31
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压力体体积的组成： （1）受压曲面本身； （2）通过曲面周围边缘所作的铅垂面； （3）自由液面或自由液面的延长线。 压力体
V Aabcd b
14:43:31
同济大学航空航天压力
压力体的种类： 实压力体：实压力体，Pz方向向下（压力体和液体在曲面同侧） 虚压力体：虚压力体，Pz方向向上（压力体和液体在曲面异侧）
0
18 . 1 kN
对 B 点取矩：
' hD 1 . 115 m
' P1h 1 P 2 h '2 P 3 h '3 Ph
' D
14:43:31 hD
' 3 hD sin 60 0 同济大学航空航天与力学学院 2 . 03 m
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14:43:31
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Px ghc Ax pC Ax
液体作用在曲面上总压力的水平分力，等于作用在该 曲面的铅垂投影面上的压力
14:43:31
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
2. 垂直分力
dPz dPsin ghdAsin
dA sin dAz
静止液体作用在曲面 AB上的垂直分力
14:43:31
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第六节 作用在平面上的静水总压力
根据惯性矩的平行移轴公式
I x y A IC
2 C
gsinI x Ix yD gsinyC A yC A
y A IC IC yD yC yC A yC A
2 C
yC —— 平面形心的y坐标 I C —— 面积对于通过它形心且平行于OX轴的轴线的惯性矩
Px Px1 Px 2 0 Pz1 g Vbbd dc Pz 2 g Vbbd da
Pz Pz1 Pz 2 g V
物体排开液体的重量， 阿基米德原理
作用于潜体或浮体的液体压力，只有铅直向上的压力， 浮力。浮心（浮力作用点）为排开液体的重心。
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14:43:31
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第六节 作用在平面上的静水总压力
h1
A1
h2
A2 A3
h3
三个面上的压力
F1 gh1 A1 F2 gh2 A2
F3 gh3 A3
14:43:31
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第六节 作用在平面上的静水总压力
图算法
压强分布图
在受压面承 压的一面， 以一定比例 尺的矢量线 段，表示压 强大小和方 向的图形
Pz g hdAz
Az
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
Az
hdA V
z
曲面AB与自由液 面间的柱体体积
压力体
Pz gV
静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压力 体的重量，Pz 的作用线通过压力体的重心。
14:43:31
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2
Py D gsin y dA gsinI x
2
I x y dA 为受压面A对OX的惯性矩。
2 A
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A
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第六节 作用在平面上的静水总压力
y D P gsinI x
总压力
P gsinyC A
两式相除
Ix gsinI x yD gsinyC A yC A
则作用在这个微元面积上静止液体的总压力为
dP pdA ghdA gy sin dA
14:43:31
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4
第六节 作用在平面上的静水总压力
dP pdA ghdA gy sin dA
积分上式 得静止液体作用在整个淹没平面上的总压力
P dP gysindA gsin ydA
Pz gV
P Px2 Pz2
14:43:31
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24
第七节 作用在曲面上的静水总压力
总压力与水平面夹角的正切为
Pz tg Px
Pz arc tan Px
F A Px
B Pz
14:43:31
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25
第七节 作用在曲面上的静水总压力
压力体的概念 界定方法 设想取铅垂线沿曲面边缘平行移动一周,割出的以自 由面(或延伸面)为上底,曲面本身为下底的柱体
数学体积计算式
Az
hdA V
z
作用在曲面上的垂直分力的大小等于压力体内液体的重 量，并且与压力体内是否充满液体无关。
14:43:31
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
37
14:43:31
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
GP GP GP
14:43:31
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34
某 处 设 置 安 全 闸 门 如 图 所 示， 闸 门 宽 b= 0.6m， 高 h1= 1m， 铰 接 装 置 于 距 离 底 h2= 0.4m， 闸 门 可 绕 A 点 转 动， 求 闸 门 自 动 打 开 的 水 深 h 为 多 少 米。
1 0.1 12h 6
得
h
14:43:31
4 m 3
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35
0 如图， 60，上部油深 h＝1m，下部水深h1＝2m， 求：单位宽度上得静压力及其作用点。
油 7.84kN / m3
P b h h1 h1 1 1 h h ＋ 油h 1 油 2 sin 600 2 水 sin 600 sin 600 ＝45.26kN
实压力体
14:43:31
虚压力体
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
压力体的绘制（一）：
14:43:31
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
压力体的绘制（二）：
14:43:31
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
dP ghdA
dPx dPcos ghdAcos ghdAx
dPz dP sin ghdA sin ghdAz
14:43:31
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
1. 水平分力
dPx dPcos ghdAcos
14:43:31
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10
第六节 作用在平面上的静水总压力
同理： xD xC
I xyC yC A
I xyC xydA
A
通常，实际工程中遇到的平面多数是对称的，因此压力中心 的位置是在平面对称的中心线上，此时不必求 xD 的坐标值， 只需求得 y D 坐标值即可。 由方程还可看到，压力中 心总是在形心下方，随淹 没的深度增加，压力中心 逐渐趋近于形心。
dA cos dAx
dPx ghdAx
因此，静止液体作用在曲面AB上的总压力在OX轴方 向的分力，即水平分力为
Px dPx g hdAx
Ax
14:43:31
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
Ax
h d A h A x c x
曲面面积在垂直平面（OYZ坐标面） 上的投影面积AX对OY轴的静矩
时， 闸 门 自 动 开 启 1 bh13 JC h1 1 1 ( h ) 12 h hD hc h hc A 2 2 12 h 6 ( h 1 )bh1 2 将 hD 代 入 上 述 不 等 式
解：当h D h h 2
h h1 A h2
1 1 h h 0.4 2 12h 6
14:43:31
的形心并位于对称轴上。
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
胡佛大坝
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
图所示为一圆柱形开口容器中某一部分曲面AB上承受液体静 止压强的情况 曲面面积为A，一侧承压 在曲面上沿母线方向任取条形 微元面EF 则作用在微元面EF上仅由液体 产生的总压力为
14:43:31
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第六节 作用在平面上的静水总压力
P pc A hcbh 1 2 h bh h b 2 2 1 2 h 2
水静压强分布图ABE三 角形的面积，表示为
P b V
作用于平面的水静压力等于压强分布图形的体积。 P的作用点：通过
h 作用点： P 1 h 1 2 油 sin 60 h 1' 2 . 69 m P2
0
解： 合力
4 . 5 kN
1 h1 水 h1 2 sin 60 ' h2 0 . 77 m
0
22 . 65 kN
h1 sin 60 ' h3 1 . 155 m P3
油 h
A A
A
P gsinyc A
受压面A对OX 轴的静矩
yc
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称为形心y坐标，受压面形心到ox轴的距离
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第六节 作用在平面上的静水总压力
如果用 那么
hc
表示形心的垂直深度，称为形心淹没深度
P gsinyc A
hc yc sin
P ghc A pC A
压力体的绘制（二）：
14:43:31
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
曲面压力特例: 液体作用在潜体和浮体上的总压力 潜体：物体全部浸入水中 浮体：物体部分浸入水中
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
Px1 g hc Ax Px 2 g hc Ax
22
第七节 作用在曲面上的静水总压力
F Px
14:43:31
Pz G V
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第七节 作用在曲面上的静水总压力
3. 总压力的大小和方向 静止液体作用在曲面上水平分力Px 静止液体作用在曲面上水平分力Pz 静止液体作用在曲面上的总压力
Px ghc Ax pC Ax
14:43:31
IC y D yC yC A
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第六节 作用在平面上的静水总压力
14:43:31
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第六节 作用在平面上的静水总压力
如果容器封闭，则采用虚设液面
距离为：
p0 p a
当
p0 pa 时，虚设液面在实际液面的上方
反之，在下方
对OX轴的力矩为
14:43:31
用 y D 表示OY轴上点O到压力中心 的距离
作用在微元面积上的总压力
dP gy sin dA
2
7
ydP gsiny dA
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第六节 作用在平面上的静水总压力
则按合力矩定理有
Py D dP y
ydP gsiny dA
2
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第六节 作用在平面上的静水总压力
（一）总压力的大小 h为倾斜平面上任一点到自由液面的深度 y为相应的在OY轴上的距离 在深度h内选取一微元面积，dA 由静止液体产生的压强 p gh
h y sin
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第六节 作用在平面上的静水总压力
（二）总压力的方向 （二）总压力的作用点
沿受压面的内法线方向
用一个集中压力代替分布压力系
淹没在静止液体中的平面上总压力的作用点，压力中心。 合力矩定理可知，总压力对OX轴之矩等于各微元面积上 的压力对OX轴之矩的代数和。
Py D y dP