地球进动实验

24．万有引力与时空弯曲

一．实验目的

1．观测钢球运动，掌握开普勒定律

2．利用曲面模拟引力势能曲线

3．通过钢球运动模拟动能与势阱的作用

4．直观理解广义相对论——引力源于弯曲

5．观测理解“弯曲时空”导致近日点进动

二．实验仪器

实验在大型双曲面组成的漏斗状玻璃钢制的槽中进行。槽下贮存有钢质球若干。实验者摇动手柄十余圈，带动齿链，再经齿轮箱传动来转动凸轮，依次向上推出钢球，并使其在曲面上作椭圆运动，并形成进动。

三．实验原理与内容

１）开普勒定律验证

２）势能曲线：ａ．引力势能；ｂ．重力势能

３）引力势阱与动能

４）引力是“弯曲时空”的表现

５）近日点的进动原理

1．开普勒定律验证观测：

关于行星运动的开普勒 第一定律指出：行星轨道是椭圆，太阳位于其中一个焦点上。第二定律指出：行星对太阳的径矢，在相等的时间内扫过相等的面积（图1）。

九大行星是在以太阳为核心

的平面上沿着椭圆轨道周期地运

动着。由于引力的方向在任何时刻

总是与行星对于太阳的径矢方向

相反而平行，所以行星所受的太阳

引力之力矩，对太阳为心而言，恒

等于零。亦即行星对太阳的角动量

将保持不变。

ααSin dt dr mr

mvrSin L == t Sin r r m t ∆∆=→α

0lim dt ds

m t

s m t 2lim 20=∆∆=→ 其中△S=1/2（r ⎪△r ⎪ Sin α），是r 和△r 组成窄三角形的面积（△r →0时，Sin α→1）。 图1

dt ds 是行星对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积，称为行星的掠面速度。L 不变，即d dt ds 不变。所以，角动量守恒定律 直接就导出了开普勒第二定律，见图1。

开普勒定律是在对行星运动的长期观测与大量的数据积累基础上才总结出来的，它为牛顿定律奠定了坚实的实验基础与理论基础。因此，牛顿才说他是站在了巨人的肩膀上，才会有新的发现。

在本实验中，可以观察到钢球的椭圆运动，可以观测其径矢的掠面速度，从而验证开普勒第二定律。

但是，要注意，钢球并不是在平面上运动。由于双曲面拟合了引力势能曲线，曲面就代表了引力作用。所以，钢球运动在初期，近似在平面上运动，可以明显看到掠面速度相等、椭圆运动的周期相同。中期，椭圆运动周期缩短，但是相同时间掠过的总面积依然相同。后期，钢球运动仍然符合开普勒定律，只是更难以与初期的钢球运动来作比较，需重复观测、体验。

“如果说我比多数人看得远一些的话，那是因为我站在巨人们的肩上。”

牛顿（Isaac Newton ,1642-1727）

2. 势能曲线

①引力势能曲线（图2）：引力是保守力，可以

引进势能概念。即引力作功与路径无关，只取

决于两质点的始末相对位置（即位形）。这个由

位形决定的函数即称为系统的势能函数。

ab a b pb pa A r m m G r m m G E E =-=-2121

若规定r b →∞时，E pb =0。当m 1、m 2两质点相距

r 时，其引力势能为：

r m m G

E p 21-=

其中负号表达的意义是：两质点从相距r 的位形改变为零势能位形的过程中，引力总是在作负功。

本实验仪中的大面积由双曲线旋转而成的漏斗状的

曲面，就是拟合了引力势能：r m m G

E p 21-=，形成了一

个引力场模拟。②重力势能曲线（图3）：重力是万有引力

现象的特例，是物体m 与地球M 组成的系统，在地球表面

附近区域的相互作用。

a b pb pa r mM G r mM G

E E -=- 若规定 r b

= R 时，E pb = 0。

图2.引力势能曲线

图3

当r a = R + h >R 时，其引力势能为：

h R mM G R mM G E pb +-=

)11(h R R GmM +-= h R mM G h R R h GmM 2)(≅+=

取重力加速度：g = G M / R 2 ，得到重力势能：E p = m g h ，重

力势能曲线为斜直线（图4），其实它只是引力势能曲线中的某一小段而已。

3. 引力势阱与动能

势阱：实验中，曲面空间就表征着引力的作用r m m G F 21=。钢球在漏斗状双曲面上运动，虽有一定的动能221mv E k =

，但却不足以脱离该曲面。不论转动多少圈，最终总是陷落在r m m G Ep 2

1=5）。 宇宙速度：如果在实验中使钢球具有足够

的动能，则有可能克服势阱，维持椭圆运动，或

是逃逸出曲面空间。

以这样的引力势阱—曲面，也可模拟环绕

地球的卫星运动或环绕太阳的行星运动，及脱离

他们的条件—逃逸速度。

第一宇宙速度v 1—物体维持其不停的绕地

球表面附近作圆周运动所必需的最小速度。 由牛顿第二定律：mg R v m ma F n ===2

1,

可求得： s m Rg v /10*9.731==(R=6.4*106m)

第二宇宙速度v 2—物体从地面出发，并能逃脱地球的引力作用，进入太阳系，所需的最小发射速度。

0021)(21222=+=-+∞mv R mM G mv

s m gR R M G v /10*2.112232===

第三宇宙速度v 3—是物体挣脱太阳的万有引力，脱离太阳系，所必需的最小发射速度（对地球而言）v 3=16.7×103m/s

4.引力是“弯曲时空”的表现—广义相对论的论点

广义相对论的基本论点是：引力来源于弯曲。正是太阳或曰其质量，引起或迫使其周围的空间发生了弯曲（或者说产生了引力）。正是“空间弯曲”影响着行星和光的运动。使它们不是按照牛顿力学所描述的方式，而是不得不按照现在实际存在的方式运动。

我们按照广义相对论的思维，可以认为太阳对行星和光并不存在任何直接的力的作用；太阳只是使其附近的时空发生了弯曲，而陷入这个弯曲时空的行星和光，只是沿着这一弯曲 图4

图5