机械制图直线与平面平面与平面的相对位置

（1） 求出交线后，对于 两平面同面投影重叠的部
a’
1’(2’) k’
l’ d’ 分，要判别分可见析性（不重
c’ 叠的部利分都用是df可e的见的积）聚。
e’
（2）性交，线求是可两见平部面分交与不
X e 2k
可见部分的分界线。
c
线。
（3）判别方法—
a
1
f
A.直接观察;
l
B.利用交叉直线的重
d
影点。
b
图 5-7
两平面的交线是直线。因此，求作两平面交线 的方法是：求出交线上的两个点，在两个平面的 公共范围处连出交线。
2. 特殊位置平面与一般位置平面的交线
当相交两平面之一为特殊位置平面时， 可利用它的投影的积聚性直接求出交线上 的两个点，然后连成交线。
例 求△DEF(⊥H面)与△ABC的交线KL。
b’ f’
A.直接观察; B.利用交叉直线的重影点。
例 求直线AB与铅垂面△CDE的交点K。
分析 利用铅垂面水 平投影的积聚 性求交点
d’
a’ 1’(2’)
k’
c’
x
a c
e’ b’
d
2
e
k 1
b
图 5-5
例 求AB与P平面的交点。
a’
PV
分析
利用PV的积聚 性求交点。
x
px
k’ b’
b
k a
PH
图 5-6
二、 平面和平面平行
定理 如果一个平面内的相交两直线与另一个平面
内的相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。
D
P
B
Q
B1
D1
C
A
C1 A1
有关两平面平行的作图问题：
1. 作平面∥已知平面。 2. 判断两已知平面是否平行。
例 含点A1作平面平行定平面 (A2B2×A2C2)。
c1’
c2’
b1’ X
两平面相交的两种情况
全交：一个平面全部穿过另一个平面; 互交：两个平面的边线互相穿过。
(a) 全交
(b) 互交
例 求△EFG(∥H面)与平面
d’
c’
ABCD的交线，并判断可见性。
e’
k’ 1’f’
g’
本题分中两析平面图形
l’
只有利部用分水互平交面。e求’f’交g’
a’
b’
时的要积注聚意性除求去两交平线面多
交线。
x b’
a’
c’
水平面与两三角
形的交线是水平线，
b1
c
并且与相应的底边
s
平行。
2
a
图 5-10
二、一般位置直线与一般位置平面的相交
当直线和平面都处于一般位置时，交点的求法是： 1. 含已知直线作辅助平面; 2. 求辅助平面与已知平面的交线; 3. 交线与已知直线的交点即为所求。
2
f
a
d
CF是否∥AB 。
c
3
b
1
图 5-2
特殊情况 若直线与某一投影面的垂直面平行，
则它们在该投影面上的投影一定平行。
X
直线投影∥平面有积聚性的同面投影, 它们在空间必互相平行
特殊情况 若直线与平面同时垂直某一投影面，
则它们空间一定平行。
X PH
直线与平面对某一投影面同时有积聚 性,它们在空间必互相平行。
3
d
若两正垂面相 互平行，则它 们的正面投影 相互平行。
1
a
c
2
图 5-4
b
X
若两铅垂面相互平行，则它们的水平投影相互平行。
例 含点A1作平面平行平面 △ⅠⅡⅢ 。
3’
2’
1’
x
3
PV
a’
分析：若两面 相互平行，则 它们的有积聚 性的同面投影 相互平行。
1
a
2
§5-2 相交问题
一、特殊线、面与一般直线或平面的 相交
1.特殊位置平面与一般位置直线相交
如果平面为投影面平行面或投影面垂直面， 则可利用平面投影的积聚性直接定出交点的 一个投影。
例 求直线AB与铅垂面EFGH的交点K。
K
求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判 别直线的可见性。
关于直线可见性的判别
（1） 求出交点后，对于直线 与平面投影重叠的部分，要判 别直线的可见性（不重叠的部 分都是可见的）。 （2）交点是直线可见部分与不 可见部分的分界点。 （3）判别方法
第五章
直线与平面、 平面与平面 的相对位置
（编制 李小平）
本章目录
§5-1 平行问题 §5-2 相交问题 §5-3 垂直问题 §5-4 综合问题解题示例
§5-1 平行问题
直线与平面、平面与平面的相对位 置可能是平行、相交或垂直。
一、 直线和平面平行
二、 平面和平面平行
本章介绍它们的投影特性和作图方法。
xak
d
g
余交的线部。分。
1 e
c
bl
图 5-8
f
当两平面同时垂直某一投影面时， 它们的交线也是此投影面的垂直线。
a’ e’
x e
a
例 求两面的交线。
f’
g’
c’
b’
c
g
b f
各Байду номын сангаас位置平面间的交线
例 3 求矩形平面与两个共边三角形平面的交线。
s’
分析
利用水平面投影 的积聚性求两平面
1’ 2’
特殊位置直线与一般位置平面相交
例 求正垂线AB与
△CDE的交点K。
c’
分析 利用线V面投影 的积聚性确定交点 x 的一个投影，根据 点在面上求出交点 的另一投影。
d’
1’
a’（b’）
k’
2’
e’
be
2
k
d
c
1a
两平面相交
两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共 有线，是平面可见部分与不可见部分的分界线。
二、一般直线与一般平面的相交
三、两一般位置平面的交线
相交问题
直线与平面不平行时即相交，交点是直 线与平面的共有点；
两平面不平行时必相交，其交线是两平 面的共有线。
一、特殊位置线、面与一 般位置直线或平面的相交
交点、交线为线与面、面与面两者所共有， 如果其中有一个处于垂直投影面的特殊位置， 则可利用其投影的积聚性直接求出交点或交线 的一个投影，另外的投影可根据其在线上（或 在面内）特点按投影关系求出。
3’
作法
b’
(1) 过点Ⅰ作直 线ⅠⅢ与AB平
1’
2’ a’
行(2)含直线ⅠⅢ X
作一任意平面。
1
2
a
b 3
图 5-1
例 2 判断直线AB与△ⅠⅡⅢ是否平行。
作法 (1)在平面任一投
2’ d’ f’
影中，作面内直线
b’ 3’
CF∥AB的同面投
c’
影。
1’
(2) 求CF的另一投 x
影，并判断直线
a’
b1
a2’ a1’
b2’
b2
a1
a2
c1
c2
图 5-3
例 判断两平面是否平行。
c1’
c2’
a1’
b2’
b1’ X
b2 b1
a1
c1
c2
分析：若两 面相互平行， 则它们有一 对相互平行 a2’ 的相交直线。
a2
讨论 相互平行的两投影面垂直面，它们的一对有
积聚性的同面投影必平行。
3’
c’
2’
1’
x
d’ b’ a’
一、 直线和平面平行
定理 如果平面外的一
条直线和平面内的一条 直线平行，那么这条直 线和这个平面平行。
Q C
D B
A
有关直线与平面平行的作图问题：
1. 作直线∥已知平面。 2. 作平面∥已知直线。 3. 判断已知直线、平面是否平行。
例1 含点I(1,1’)作平面与直线AB(ab,a’b’)平行。