非线性规划

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习题六

6.1 试计算函数f （X ）＝㏑（x 12＋x 1x 2＋x 22）的梯度和Hesse 矩阵。

6.2 试证明下述函数f （X ）＝2x 1x 2x 3－4x 1x 3 －2x 2x 3＋x 12＋x 22＋x 32－2x 1－4x 2＋4x 3具有驻点（0，3，1），（0，1，－1），（1，2，0），（2，1，1），（2，3，－1），再应用充分性条件找出其极点。

6.3 判定此非线性规划是否为凸规划：

max f （X ）＝x 1＋2x 2

st. x 12＋x 22 ≤9

x 2 ≥0

6.4 用0.618法求函数 f （x ）＝x 2—6x ＋2在区间〔0，10〕上的极小点，要求缩短后的区间长度不大于原区间长度的8％。

6.5 用斐波那契法求函数 f （x ）＝－3x 2＋21.6x ＋1在区间〔0，25〕上的极大点，要求缩短后的区间长度不大于原区间长度的8％。

6.6 试用共轭梯度法求二次函数 f （X ）＝21X T AX 的极小点，其中

1 1

1 2

6.7 试写出非线性规划

max f （x ）＝（x －4）2

1 ≤ x ≤ 6

在点x*的Kuhn-Tucker 条件，并进行求解。

6.8给出二次规划 max f （X ）＝10x 1＋4x 2－x 12＋4x 1x 2－4x 22

x 1＋ x 2 ≤ 6

4x 1＋ x 2 ≤ 18

x 1 ≥ 0，x 2 ≥ 0

（1） 写出Kuhn-Tucker 条件并求最优解；

（2） 写出等价的线性规划问题并求解。

A ＝

6.9 试用可行方向法求解非线性规划

min f（X）＝x12＋x22－4x1－4x2＋8

x1＋2x2－4≤0

从初始点X（0）＝（0，0）T出发，迭代两步。

6.10 试用外点法求解非线性规划

min f（X）＝（x1－2）4＋（x1－2 x2）2

x12－x2＝0

复习思考题

6.11 在非线性规划中，为什么要讨论最优性条件？最优性条件有什么用？

6.12 最速下降法与线性规划中的单纯形法有什么本质上的不同？

6.13 在非线性规划中，为什么说用于解决无约束问题的一维搜索法是最基本也是最重要的。

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