3-3二维连续型随机向量

y x
(3).
P{0<X<4, 0<Y<5}


0
5
4
0
20 dxdy 2 2 2 (16 x )(25 y )
4 5 1 1 dx dy 2 2 0 25 y 16 x
20

2

0
20 1 4 5 1 2 arctg 0 arctg 0 4 4 5 5 1 1 1 . 4 4 16
正态分布(X,Y)的概率密度函数 f(x,y)满足:

(1).



f ( x , y )dxdy 1，
令 f1 ( x ) (2). 则 f1 ( x )


f ( x , y )dy , 1 e
( x 1 )2
2 2 1
2 1
.
本节作业：P78 3.1
f ( x , y ) 0, f ( x , y )dxdy 1.
对连续型随机向量 (X,Y)，联合概率密度 与分布函数关系如下：
F ( x, y) f ( x, y) , 在 f (x, y)的连续点； x y
2
F ( x, y)

Байду номын сангаас
4
, ,
5
得 A 20 ；
(2). F ( x , y )
20 dudv 2 (16 u 2 )(25 v 2 ) y 20 x 1 1 2 du dv 2 2 16 u 25 v 20 1 x 1 y 2 arctan arctan 4 4 2 5 5 2 x 1 1 y 1 1 arctan arctan ； 4 2 5 2
3.3.2 均匀分布 定义: 设D是平面上的有界区域,其面积为 d,若二维随机向量(X, Y)的联合概率密度为:
1 / d , ( x , y ) D, f ( x, y) ( x , y ) D. 0,
则称(X,Y)为服从 D上的均匀分布。(X,Y)落 在 D中某一区域A内的概率 P{(X,Y) A},与 A 的面积成正比，而与A的位置和形状无关。 P{(X, Y)A}=A的面积/d.
例2：设(X, Y)服从圆域 x2+y2≤4上的均匀分布， 计算P{(X,Y)A}，这里 A是中阴影部分的区域。 解: 圆域 x2+y2≤4面积 d=4；区域A是x=0, y=0 和 x+y=1 三条直线 所围成的三角区域，并且包含在圆域x2+y2≤4 之内，面积=0.5。 故， P{(X,Y)A}=0.5/4=1/8。
3.3.3 二维正态分布
若二维随机向量(X,Y)有联合概率密度
f ( x, y) 1 2 1 2 x 1 1 exp 2 2 2(1 ) 1 1
2 2
x 1 y 2 y 2 2 1 2 2
,
其中 1 , 2 , 1 , 2 , 为常数， 且 1 0, 2 0,
则称 ( X , Y )为 服从参数 1 , 2 , 1 , 2 , 的正态分布，
记成 ( X ,Y )

N( 1 , 2 , 1 , 2 , ).
x , y R,
A 2 (16 x 2 )(25 y 2 )dxdy 1

1 1 即 2 dx dy 1 , 2 2 (25 y ) (16 x )
A
1 16 x 2 dx 1 25 y 2 dy A 1, 2 4 5
3.4
§3.3 二维连续型随机向量
3.3.1 概率密度 设二维随机向量(X, Y)的联合分布函数为 F(x, y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得 对任意实数 x,y, 有
F ( x, y)


y
x
f ( u , v ) dudv ,
则称(X,Y)为连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的 概率密度函数, 简称概率密度。.
F ( x, y)


y
x

f ( u, v )dudv
连续型随机变量 X 的概率密度:
P {a X b }
连续型随机向量 (X,Y) 的联合概 率密度:

b
P{( x , y ) A} f ( x , y )dxdy .
A
a
f ( x )dx ,
f ( x ) 0, f ( x )dx 1.
x


y
f ( u, v ) dudv .
例 1：设(X,Y)的联合概率密度为
A f ( x, y) 2 2 2 (16 x )(25 y )
其中A是常数。 (1).求常数A； (2).求(X,Y)的分布函数； (3).计算 P{0<X<4, 0<Y<5}。 解: (1). 由