矩阵分解

~ ~ 分解 例1:求A的Crout分解和 L DU 求 的 分解和
% 即 解答:设 解答 设 A = LU ,即:
1 0 1 2 A= 2 1 1 2
0 1 u12 0 1 0 0 0 0 l 44 0 0
2 1 4 5 6 5 2 8
0 2 1 1 1 2 ~ = LU 0 1 1 0 0 1
0 2 0 0 ~ 得出: 继续分解成 L D 得出 1 1 0 2 − 2 5
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1 1 A= 2 1 1 1 = 2 1 0 1 1 2 1
1 l 21 ~ L = . ln1 1 ... ... 1
1 u12 1 ~ U=
L u1n L u2n O M L 1
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~ 则 A = L U 为 Crout 分解 ~ 而 A = L U 为 Doolittle 分解
T
0
T
3 2
T
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这样， 这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系 可表示成
由前面学的定理有： 由前面学的定理有： A = (ξ 1 , ξ 2 ,L , ξ r ) R
H 记: U = (ξ 1 , ξ 2 ,L , ξ r ) ,则 U U = I 则
于是: 于是 A = UR , U ∈ U rn×r,下面证明分解是唯一的 下面证明分解是唯一的
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证明：先证明分解的存在性。 证明：先证明分解的存在性。将矩阵 A 按列分块 得到 A = (α 1 , α 2 ,L , α r ) 欧氏(酉 , L , 是线性无关的 设 A ,α2 ×r ， m 欧氏 , α 2空间 V 的线性无关组, 是线性无关的。 由于α1∈ C,nL,α所以 α 1酉)空间α r 的线性无关组 。
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假定我们能把矩阵 A写成下列两个矩阵相乘的 形式： 为下三角矩阵， 为上三角矩阵。 形式： = LU 其中L为下三角矩阵， 为上三角矩阵。 A U 这样,我们可以把线性方程组 Ax = b 写成 这样 我们可以把线性方程组 Ax = ( LU ) x = L(Ux ) = b 令 Ux = y ,则原线性方程组 则原线性方程组 Ux = y Ax = b Ly = b 于是可首先求解向量 于是可首先求解向量
u13 u23 1 0 u14 u24 u34 1
1 1 2 1
0 2 1 l11 l 2 4 5 21 = 1 6 5 l 31 2 2 8 l 41
0 l 22 l 32 l 42
0 0 l 33 l 43
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A n×nLU R为正线上三角阵 = ，
例 1 求下列矩阵的正交三角分解
1 1 A= 0 0
1 0 1 0
− 1 0 0 1
解答:容易判断出 解答 容易判断出 A ∈ C34×3 即 A 是一个列满秩矩 按照定理的证明过程， 阵。按照定理的证明过程， 将A = [α1 α 2
~ L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称 一般下三角阵而 单位上三角阵的分解称
分解。 为Crout 分解。 ~ 单位下三角阵而 一般上三角阵的分解 L 为单位下三角阵而 U 为一般上三角阵的分解 称为Doolittle分解 称为 分解
证明: 证明
~ A 设: = L U
~ A = LU
~ L = ( l ij )n×n , ( lij = 0 , i < j )
y 使 Ly = b
然后求解Ux = y , 的目的. 从而达到求解线性方程组 Ax = b 的目的
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定义： 定义：设 A∈Cn×n若 使得: 使得 A = 其中: 其中
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∃L∈C
n×n
U ∈C
n× n
可以作三角分解 LU 称 A可以作三角分解
u11 u12 l11 u22 l21 l22 U= L= M M O ln1 ln2 L lnn
ˆ ˆ 于是: ˆ 于是 U −1U = In×nRR −1 = I ,从而 U = U , R = R 从而 ˆ 推论2: 推论 设 A∈Cn ，那么 A可唯一地分解为 r ×n 推论1: 推论 设 A ∈ C r A = UR 可唯一地分解为 ，那么 A
其中： 其中：U ∈Un r ×n 其中： U ∈ U r ， L 为正线下三角阵 其中：
U = ( uij )n×n , ( uij = 0 , i > j )
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~ 思 L 和 U 的计算公式。 的计算公式。 路 通过比较法直接导出
a11 a12 a a 21 22 A= M M an1 an2
L a1n 1 u11 u12 L a2n l21 1 u22 = O M M M O L ann ln1 L L 1
T
1 1 −1 α 3 + β1 + β 2 = 2 3 3
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1 3
1 1 3
T
再将其单位化， 再将其单位化，得到一组标准正交向量组
2 η1 = β1 = β1 2 1 6 η2 = β2 = β2 6 1 − 3 η3 = β3 = β3 6 1 2 2 − 6 6 3 6 0 0 6 3 3 6
ˆ ˆ ,那么有 假设: 那么有: 假设: A = UR = UR,那么有 ˆ ˆ U −1U = RR −1
ˆ −1U 仍是酉矩阵 AT RR , 是一个正线 ˆ 注意到因为 AT ∈Crr×n ,,则，而= UR−1 U ∈Urn×r 证明:因为 仍是酉矩阵， 证明 U 则 上三角矩阵，因此有: 上三角矩阵，因此有 ,UT ∈Ur×n 所以, 所以 A = RTUT r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (U −1U )(U −1U ) H = (U −1U )U H (U −1 ) H = U −1U = I
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l44 = 5
1 1 A= 2 1 1 1 将L = 2 1
0 2 1 1 1 2 4 5 = 1 6 5 2 2 2 8 1 0 0
0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 − 2 5 0 0 0
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
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第 四 章
矩阵的分解
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§4.1矩阵的三角分解 矩阵的三角分解
三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解 成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上 成一个上三角形矩阵或是排列 下三角形矩阵， 三角形矩阵 和一个 下三角形矩阵，这样的分 解法又称为LU分解法。 解法又称为 分解法。它的用途主要在简化一 分解法 个大矩阵的行列式值的计算过程， 反矩阵， 个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵， 和求解联立方程组。 和求解联立方程组。
r
则 V 中存在标准正交向量组 β1 , β2 ,L, βm先得到 利用Schmidt正交化与单位化方法， ,使得 正交化与单位化方法， 利用 正交化与单位化方法 使得
m 交向量组 ξ 1Cm2×,m (Rξ ×m )为正线上三角阵 R∈ , ξm L , m r 为正线上三角阵. 其中: 其中
[α1 ,α2 ,L,αm ] = [β1 , β2 ,L 一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正 一组正交向量组再单位化， , βm ]R
定理1： A 是次酉阵当且仅当 A 的列（行）为标 的列（ 定理 ： 准正交向量组。 准正交向量组。 称为A的 分解 称为 的UR分解
A ∈ C rn×r ，那么 A 可唯一地分解为 定理2: 定理 设
A = UR
其中： 其中：U ∈ U rn× r ， R 为正线上三角阵
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L u1n L u2n O M L unn
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n 可作唯一 唯一三角分解 的充要条件为: 定理 : A∈Cn ×n可作唯一三角分解 A = LU 的充要条件为
∆k ≠ 0 k =1,2,L, n
其中: 其中 ∆k = det A 为 A 的顺次主子式 k 记:
其中, 其中
D为对角阵
定理:(Cholesky分解 ) 分解 定理 正定的Hermite矩阵 A 可唯一的分解为 矩阵 可唯一的分解为: 正定的
A = LL
H
其中, 为正线下三角,即对角线的元素均为正的 其中 L 为正线下三角 即对角线的元素均为正的
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§4.2 矩阵的QR分解 矩阵的 分解
定义1: 定义 设 A ∈ C rn×r (C rr ×n ) ,若 A H A = I ( AA H = I ) 若 次酉阵，全体列满秩（行满秩） 则称 A 为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次
n 酉阵的集合记为： r ×r Urr×n ) 酉阵的集合记为： rn×r (U rr×n ) U U
由此: 由此 l11 = 1, l 21 = 1, l 31 = 2, l 41 = 1
l11u12 = 0 ⇒ u12 = 0 , u13 = 2, u14 = 1 l 21 u12 + l 22 = 2 ⇒ l 22 = 2 − l 21u12 = 2
4 − u13 l 21 u23 = =1 l 22
l 32 = a 32 − u12 l 32 = 1 − 0 = 1 l 33 = a 33 − u13 l 31 − u23 l 32 = 1
a 34 − l 31u14 − l 32 u24 u34 = = 1 l42 = a42 − u12 l41 = 2 l 33
l43 = a43 − u13 l41 − u23 l42 = −2
α 3 ]的三个列向量正交化与单位化
先得到一个正交向量组: 先得到一个正交向量组
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β 1 = α 1 = [1 1 0 0]
T
(α 2 , β 1 ) 1 β2 = α2 − β1 = α 2 − β1 ( β1 , β1 ) 2 1 = 2 −1 1 0 2 (α 3 , β 1 ) (α 3 , β 2 ) β2 = α3 − β1 − β2 = ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
0 2 1 2 4 5 1 6 5 2 2 8 0 0 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 5 0
0 1 0 0
2 1 1 0
1 2 ~ ~ = L DU 1 1
min( i , j )
L u1n L u2n O M L unn
⇒ ai j =
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∑l
k =1
ik
uk j
推论: 推论 设A ∈ C n×n ,且 ∆k ≠ 0 k =1,2,L, n −1 且
则
~ ~ A 唯一分解成 A = L DU 唯一分解成: