曲面重构算法的发展现状述析

③最小模网络法 (MNN 法) 由 G. M. Nielson[8]提出的最小模网络 (Minimum Norm Network) 法是一种比较成功的基于三角面 片的散乱点插值方法 ,有较为广泛的应用. 该方法插值效果最好 ,但当增加 、删除或改变一个点的位 置或函数时 ,插值函数必须重新计算 ,故为基于全局插值的计算. (5) 层次 B 一样条法 1988 年和 1995 年 ,Forsey 和 Burtels[10] 提出了一种层次 B 一样条的方法来曲面拟合和曲面编 辑. 这种方法能提供很好的连续性 ,并且具有修改方便的优点. 该算法使用一个层次结构的控制点 网格 ,一步一步地从一个较粗糙的网格到一个较精细的网格来提高逼近的精度 ,但是它的应用仅限 于规则网格. 1997 年 ,Seungyong lee[11]等人从图象变形技术出发 ,提出了散乱数据的多层次 B - 样条插值方 法. 该方法对给定的一组散乱数据 ,通过求解一个不定方程的伪逆矩阵来求解一组控制点 ,是通过 最小二乘法来最终得到控制网格 ,它也是全局细化的过程. 国内在这一方面开展一些卓有成效的工作. 张伟强[15]在上述工作基础上 ,对层次化的过程作了限制 ,用一种自适应算法自动对某些需要 细化的区域进行细化 ,提高了计算效率.
(161) ,253 - 271 [ 9 ] Forsey DR ;Bartels RH. 1988. Hierarchical B - Spline Refinement [J ] . Computer Graphisics ,22 (4) ,205 - 212 [ 10 ] Forsey DR ,Bartels RH. 1995. Surface Fitting with Hierarchical Splines[J ] . ACM Transactionos on Graphics. ,14 (2) ,134 - 161 [ 11 ]Lees ,Wolberg G, shin SY. 1997. Scattered Data Interpolation with Multilevel B - Splines[J ] . IEEE Transactions On visualization and
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2 ,11 - 22 [ 6 ]Clough. R ,Tocher J . 1965. Finite Element Stiffness Matrices for Analysis of Plats in Bending Proceedings of Conference Matrix[J ] . Methods
参考文献 : [ 1 ] Franke. R ,Nielson G. 1980. Smooth Interpolation of Large[J ] . Sets of Scattered Data International Journal for Numerical methods in Engi2 neering ,15 ,1691 - 1704 [ 2 ] Franke. R. 1982. Ccattered Data Interpolation[J ] . Test of some Methods. Math Comp . ,38 ,181 - 200 [3 ] Franke. R ,Nielson. GM. Scattered Data Interpolation and Applications[J ] . A Tutorial and Survey. In hagen. H ,Roller D. eds. Geometric Modelling :Method and Their Application ,Springer verlag ,1991 ,131 - 160 [ 4 ] Hardy RL. 1971. Multiquadric Equations of Topography and Other Irregular Surfaces[J ] . Journal of Geophysics Research ,78 ,1905 - 1975 [5 ]Micchelli CA. 1986. Interpolation of Scattered. Data :Distance Matrices and Conditionally Positive Definite Functions Constr [J ] . Approx. ,
全局细化
全局细化
局部细化
பைடு நூலகம்
数据量 小规模乱点 小规模散乱点 小规模散乱点 小规模散乱点
中 、小规模散乱点
中 、小规模散乱点
大规模散乱点
总之 ,散乱数据的可视化 ,尤其是大规模散乱数据的可视化 ,需要进一步研究 ,以满足现代测量 仪器 、测量方法的不断进步 ,满足医药 、工程学上对数据分析的需要 ,在算法的连续性 、计算量 、实现 方法等方面的优化.
1 曲面重构在工程的重要作用
随着计算机技术的发展 ,以曲面重构为代表的逆向工程方法 ,无论在理论上还是在应用上取得 了巨大的成功 ,成为发现和理解科学计算过程中各种现象的有力工具.
近几年来 ,随着计算机辅助设计与图形学的发展 ,曲面重构技术得到了更广泛的研究和应用 , 几乎涉及自然科学与工程技术的一切领域 ,如汽车 、飞机 、轮船等工业领域 ,基于地震勘探数据或测 井数据的地质勘探领域 ,依据大量数据计算和计算结果分析的气象领域 、分子模型构造领域 ,需要 实现形体的网格划分及结果数据的显示 、优化的有限元分析 ,根据测量数据建立人体以及骨骼和器 官的计算机模型在医学 、定制生产等许多方面都有重要意义和实用价值.
同时 ,随着科学技术的迅猛发展 ,来自各种科学计算 、工程计算 、测量等方面的数据日益增大 , 所要求的精度日益精确 ,待处理问题规模越来越大 ,因而 ,研究大规模散乱数据的曲面重构日益成 为迫切需要解决的问题.
2 曲面重构的含义
曲面重构又称为逆向工程 ( Reverse engineering) ,是根据已有曲面去构造反映其形状的数学模 型.
小曲面片 ;化繁为简是指把每块小曲面片的形状都用简化的方法来表示.
4 曲面重构算法的发展现状
散乱数据的曲面重构问题人们已经开始了一些研究. 国外在这方面已有一系列研究成果. (1) Delaunay 法 散乱数据曲面重构最直接的方法是应用 Vorono 图对散乱点集进行 Delaunay 三角化. 1972 年 , lawson 提出了三角化的最大角最小原则 ,符合这一原则三角形是局部最优的. 这种方法简单 、易行 , 但它仅仅能达到 C°连续 ,而且 ,对大规模散乱数据进行三角划分时速度也是一个问题. (2) Shepard 法 这一方法首先由气象学及地质学工作者提出来的 ,后来由于 D. Shepard 的工作被称为 Shepard 方法. 其基本思想是将插值函数定义为各数据点函数值的加权平均 ,这是一种与距离成反比的加权 方法 ,插值结果只能是 C°连续. 而且 ,当增加 、删除或改变一个点时 ,权函数均需重新计算 ,因而该 方法是一个全局插值算法. 为了克服 Shepard 方法的缺陷 ,Franke 及 Nielson[3]提出了 MQS(Modified Quadratic Shepard) 方法 , 它仍然是一个与距离成反比的加权方法. 由于 MQS 方法消除了 Shepard 方法的一些缺陷 ,因此在散 乱点插值中得到了广泛的应用 ,但由于多次求解线性方程组 ,计算量大 ,因此 ,一般只适用于中 、小 规模散乱点的插值运算. (3) Multiquadric 法 该方法由 R. L. Hardy[4]在 1971 年提出来的. 它是最早提出且应用得最为成功的一种径向基函 数插值法. 一般来说 ,这种方法不具有多项式精度 ,但只要稍加改进 ,即可获得具有多项式精度的插 值公式. 这一方法提出后的近 20 年间 ,在水文测量 、大地测量 、地质及采矿 、地球物理等领域得到了 广泛应用 ,效果良好. 在数据点不太大的情况下 ,计算也较简单 ,但是 ,对其解的存在性等问题却一 直没有数学上的证明 ,直到 1986 年 ,才由 Micchelli[5]对这一方法为什么能工作得很好给出一些解 释. (4) 有限元法 这是一种与前述方法完全不同的散乱点插值方法. 由于其基本原理与求解偏微分方程的有限 元方法相同 ,因而被称为散乱点插值的有限元方法. 这种方法首先解决二维点集的三角剖分问题 , 之后讨论如何构造插值于各点函数的面片问题 ,这里只介绍三种插值方法. ①Clough - Tocher 插值法 这种方法用一个三次曲面片对一个三角形的顶点进行插值 ,该三次面片可用一个双变量的三 次多项式表示 ,进行处理中 ,关系式方程成为超定方程 ,无法求解 ,针对这一问题 ,R. W. Clough 及 J . L . Tocher[6]提出了一个方法 ,使其对其求解. ②Herron 插值法 G. Herron[7]提出了一种在理论上有创新的方法 ,该方法定义了三角面片插值函数的性质 ,并将 其表示为 3 类函数的线性组合 ,从而解决插值问题. 上述两种方法都需要知道各散乱点处的一阶偏导数 ,求解偏导数的方法很多 ,这里不一一介 绍. ·34 ·
第 24 卷第 2 期 2003 年 3 月
通化师范学院学报 JOURNAL OF TONGHUA TEACHERSπ COLLEGE
Vol . 24 №2 Mar. 2003
Ξ
曲面重构算法的发展现状述析
葛金辉
(通化师范学院数学系 ,吉林通化 134002)
摘 要 :在参阅和分析有关文献的基础上 ,对现有的曲面重构算法进行总结 、比较和分类. 关键词 :Delaunay 法 ;Shepard 方法 ;Multiquadric 方法 ;有限元方法 ;层次 B 一样条方法 中图分类号 :O242. 21 文献标识码 :A 文章编号 :1008 - 7974 (2003) 02 - 0033 - 04
5 分类与比较
方法/ 性能 Delaunay 法 Shepard 法 MQS 法 Multiquadric 法 Clough - Tocher 插值法 Herron 插值法 MNN 插值法
层次 B - 样法 多层次 B - 样条法 自适应层次 B - 样条法
光滑性 C° C° C°
C1
C2
时间复杂性 全局细化 全局细化 局部细化 全局细化
Ξ 收稿日期 :2002 - 05 - 15 作者简介 :葛金辉 (1968 - ) ,女 ,通化师范学院数学系讲师 ,硕士.
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面. 易行 :要求对所建立的数学模型易于进行各种操作 ,或者说较方便地适用于计算机进行曲面的
存储 、分析 、计算和绘制等. 实现以上基本要求的方法是进行分而治之 ,化繁为简. 分而治之是指把复杂曲面分割成一块块
曲面重构要为已存在的曲面建立模型. 曲面重构的目的是确定一个曲面逼近未知曲面. 它有两 方面的含义. 第一意味着已有的曲面是曲面重构的根据 ;第二意味着已有的曲面是衡量重构所得曲 面模型质量好坏的标准 ,要求建立的模型能忠实地恢复已有曲面的原状.
3 曲面重构的要求
曲面重构的基本要求是准确易行. 准确 :要求建立起来的数学模型比较准确地反映原来曲面的形状 ,或者说较好地逼近原来的曲
in Structural mechanics ,515 - 545 [ 7 ] Herron. G. 1985. A Char a cterization of Certain CI Discrete Triangular Interpolants[J ] . SIAM Journal on Numer. anal . ,22 (4) ,811 - 819 [8 ]Nielson GM. 1983. A method for Interpolating Scattered Data Based Upon a Minimum Norm Network[J ] . Mathematics of Computation ,40