斐波那契数列通项公式的求法

斐波那契数列通项公式的求法首先明确一下，对于一个常系数线性递推数列，其通项公式都是可求的

对于斐波那契数列有

其通项公式为

[编辑]初等代数解法

已知

∙

∙

∙

[编辑]首先构建等比数列

设

化简得

比较系数可得:

不妨设

解得：

所以有，即为等比数列。

[编辑]求出数列{}

由以上可得：

变形得：。令

[编辑]求数列{}进而得到{}

设，解得。故数列

为等比数列

即。而，故有

又有和

可得

得出表达式

线性代数解法

[编辑]构建一个矩阵方程

设J n为第n个月有生育能力的兔子数量，A n为这一月份的兔子数量。

上式表达了两个月之间，兔子数目之间的关系。而要求的是，

A n+1的表达式。

[编辑]求矩阵的特征值：

行列式：-*(1-)-1*1=2--1

当行列式的值为0，解得=或=

[编辑]特征向量

将两个特征值代入

求特征向量得

=

=

[编辑]分解首向量

第一个月的情况是兔子一对，新生0对。

将它分解为用特征向量表示。

（4）[编辑]用数学归纳法证明

从=

可得（5）

化简矩阵方程

将（4）代入（5）

根据3

求A的表达式

现在在6的基础上，可以很快求出A n+1的表达式，将两个特征值代入6 中

(7) (7)即为A n+1的表达式