圆锥体积公式的推导(ppt)

根据公式 [ 1² + 2²+……(n-2)²+(n-1)² ² +n ] =1/6×n×(n+1) ×(2n+1)
所以1/n³×[ 1² + 2²+……(n-2)²+(n-1)² ] =1/3 +n² =1/n³ ×1/6×n×(n+1) ×(2n+1) =1/3
大家想想：n是无限大的，那么n和（n＋1） 有什么区别吗？
答案是没有。n是无穷大的，n+1也就=n。 1/n³ ×1/6×n×(n+1) ×(2n+1)
n n 2n 1/n³ ×1/6×n×n×2n
=1/6×2 =1/3 所以，圆锥的体积是圆柱的1/3
圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝底面积
高 高
圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝底面积
高 高
1 3
假设左图为 一个长方体。
假设左图为 一个长方体。 底面是一个 正方形。
假设左图为 一个长方体。 底面是一个 正方形。 高的长度是 底边的2倍 取它的中心。 做一个四棱 锥 以此类推， 共能做出六 个
wk.baidu.com
共能做出6 个四棱锥， 假设左图为 则说明左图 一个长方体。 中的长方体 底面是一个 是四棱锥的 正方形。 6倍。 高的长度是 左图中的长 底边的2倍 方体的高是 取它的中心。 四棱锥的2 做一个四棱 倍，则说明 锥 等底等高的 以此类推， 长方体是四 共能做出六 棱锥体积的 个 6÷2=3倍
试想：四棱 共能做出6 锥和圆锥有 个四棱锥， 没有关系呢？ 则说明左图 当然有。把 中的长方体 四棱锥水平 是四棱锥的 旋转，得出 6倍。 左图中的长 一个圆锥。 方体的高是 同理，把长 四棱锥的2 方体旋转， 倍，则说明 得出一个圆 等底等高的 柱。就是说： 长方体是四 圆柱的体积 棱锥体积的 也是圆锥的 6÷2=3倍 3倍
右图为一个倒圆锥 的横截面。 想一想：把右图三 角形无限平均细分 会出现什么？
示意图
无限平均细分 后，每一个部 分就会是一个 圆柱体。横截 面如左图一样， 是一个长方体。
设圆锥高为h，底面圆的半径是r，共平均分 成n份。 每份高：h÷n=h/n 第1份半径：r 第1份底面积：S=兀r² 第一份体积：兀r² h/n 也就是 兀r ² ×h×1/n 第二份体积：兀×h/n× (n-1/n ×r)² 也就是 兀r ² ×h/n ×(n-1/n )² 等同于 兀r² ×h×1/n ×(n-1/n )²
参考刚才我们算出的结果，我们得出：
圆锥体积=兀r² ×h×1/n ×[(n/n)² + (n-1/n )²+(n-2/n )² +…… +(1/n )² ] = 兀r ² ×h×1/n³×[ 1²+ 2²+…… (n-2)² +(n-1)² ² +n ]
圆柱体积=兀r² ×h
因为兀r² ×h=兀r² ×h 所以只要证明1/n³×[ 1² + 2²+……(n-2)² +(n-1)² ] =1/3即可。 +n²