一元二次方程PPT课件

1.x2 7;
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程解: 2. 一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1 是7,x2 7. x27(x7)x (7).
. 的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22)y (73 . 7)3.7
3
❖ 一元二次方程根与系数的关系
.
38
.
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b24ac0时,它的根: 是
xbb24a.cb24a c0. 2a
当 b24ac0 时，方程有
实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式
法
.
22
一元二次方程的求根公式
.
23
一元二次方程的根的判别式
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6 , x2= 2 6 .
.
27
想一想：
关于一元二次方程 a2 xbxc0a0，当
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 a2 xb xc0a0的解为：
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
2 x 1 4- x 3 0 ,
2 x 1 0 ,或 4 x 3 0 .
13
x1
2,x2
. . 4
34
我最棒
,用分解因式法解下列方
程 参考答案：
1. x2(52)x520; 1.x1 5;x22.
2. x2( 35)x1 50； 2 .x15 ;x23 .
3.x2(32)x1 80;
4. (4x2)2x(2x1)
ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤：
（1）化二次项系数为1 （2）移项
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方
（4）原方程变形为 (xm)2 n 形式
（5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
.
17
心动 不如行动
例1: 用配方法解方程
x26x70
5 ; .3 x(x2 )5 (x2 ); 6.(3x1)250;
7 .2 (x 3 )2 x x 3 ;
3.x13;x22. 457 6....xxx x111 1 23 122;,;;x xxx2 222 53346 ...74.
8 .x ( 1 )2 3 x 1 2 0 ; 8.x10 ;x21.
39
解: 移项得：x26x7
配方得：x26x32732
即(x3)2 16
开平方得： x34
∴原方程的解为：x.11, x27 18
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2x60吗？
解:二次项系数化为1得：x21 x30
移项得： x2 1 x 3
2
2
配方得：x21x(1)23(1)2
24 4
即(x1)2 49 4 16
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？
（1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米， 根据题意得:
X（X+6） = 16
整理得：X2+6X－16 = 0
.
怎样解这 14
个方程？
x 2 6 x 1 6 0
移项
x2 6x16
两边加上32,使左边配成
x2 2bxb2的形式
.
24
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解：
x1=?, x2=?
.
25
学习是件很愉快的事
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
4x21x2 9?. 3x27x4?.
观察下列各式,也许你能发现些什么
解 :x 2 方 7 x 6 0 得 程 x 1 1 ,x 2 6 ;而 x2 7x 6(x 1 )x ( 6 )
解 :x 2 方 2 x 3 0 得 程 x 1 3 ,x 2 1 ;而 x22x3(x3 )x ( 1 )
.
33
动脑筋
❖ 1.解下列方程:
争先赛
1 . x 2 x - 4 0 , 2 . 4 x 2 x 1 3 2 x 1 .
解 : 1 . x 2 0 或 x , - 4 0 .
x12;x24.
2 .4 x 2 1 x 3 2 1 x 0 ,
开平方得：
x1 7 44
∴原方程的解为： x1 2,.
x2
3 2
19
❖用“公式法” 解
一元二次方程
.
20
公式法是怎样产生的
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
解:x2bxc0. aa
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b xc.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2bxb2b2c. 3.配方:方程两边都加上一次项
10
4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56 x1 5;x2 2. .
5.定根:写出原方
程的根.
26
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例2：用公式法解方程 x2+4x=2
这里的a、b、c 的值是什么？
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
b2-4ac= 42-4×1×(-2) = 24 .
把一个多项式分解成几个整式乘积
的形式叫做分解因式.
.
30
我思 我进步
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右
边等于零;
的因式分解
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式
法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直
接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.
即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
把下列各式分解因式 :
解 : a 5 ,b 4 ,c 12 1.变形:化已知方
程为一般形式;
b 2 4 a c 4 2 4 5 ( 1 ) 2 5 0 .2.确6 定系数:用
b b 2 4 ac x
a,b,c写出各项系 数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac 的值;
25
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少
有一个因式等于零.”
.
31
例题欣赏 ☞
分解因式法
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
解 :1 .5 x 2 4 x 0 , 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x5x40.
1.化方程为一般形式;
❖ 解这个方程得：m＝6
.
9
3、已知关于x的方程
（ m 1 )xm 1mx m 210
是一元二次方程，求m的值。
❖ 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的 最高次数∣m∣+1＝2，
❖ 解之得，m=1或m=－1，
❖ 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1，
❖ 所以m=1。
温馨提示：注意陷井
二次项. 系数a≠0！
x 2 6 x 3 2 1 3 6 2
左边写成完全平方形式
(x3)2 25
降次
x35
x 3 5 ,x 3 5
得 :x2,x . 8
15
1
2
配方法
就是先把方程的常数项移到方程的右 边，再把左边配成一个完全平方式， 如果右边是非负数，就可以直接利用 开平方法求出它的解．
.
16
用配方法解一元二次方程
.
1
方程的本质 1、下列式子哪些是方程？ 特征是什么？
2＋3＝5 没有未知数 3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
.
2
2、我们学过哪些方程？ ❖ 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
9.x21x227 0;
1 .2 ( 0 x 3 ) 2 x 2 9 . .
9 .x 1 3 ,x 2 9 .
1
0.x1
14;x2
3. 4
35
开启 智慧
二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
x26x9(x3)2; x25x6(x2)x (3) ;
10
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
.
11
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
例1: 解下列方程:
(1)3x2－27=0;
(2)(2x－3)2=7
.
12
用“配方法”解 一元二次方程
.
13
合作交流探究新知
x1x2
b b24acb b24ac
2a
2a
b b 2a 2a
.wk.baidu.com
28
b0
❖用“因式分 解法”解一元 二次方程
.
29
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程
的方法?
直接开平方法 X2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
xbb24a.cb24a c0. 2a
2.什么叫分解因式?
淘金者
❖ 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
3x2－1x=5
2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0 2x2－11= －5x
友情提示：某一项的系数包括它前
面的符号。
.
7
第22章复习 ┃ 考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 一元二次方程的定义 例 1 已知方程(m＋2)xm＋2mx－5＝0 是关于 x 的一元二次方
程，则 m＝________.
a 2a 2a a 系数绝对值一半的平方;
x
b
2
2a
b24a42ac.
当b24ac0时,
x b b24ac.
2a
2a
xbb24a.cb24a c0 . .
2a
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程;
21
7.定解:写出原方程的解.
[答案] 2
.
8
数学·新课标（RJ）
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
❖ 什么叫方程的根？
❖ 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。一元二次方程的解也叫一元 二次方程的根
❖ 解：把x＝2代入原方程得：
❖ (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0
x0,或 5x40. 4
2. 将方程左边因式分解;
x1
0;x2
. 5
3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程.
2 .x 2 x x 2 0 , 4. 分别解两个一元一次
x21x0.
方程，它们的根就是原方
x 20 ,或 1 x0 . 程的根.
x12;x21.
.
32
学习是件很愉快的事
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
.
3
❖ 同学们认真看课本中的问题1、2，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 － x＝56
（2）
特征（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
.
4
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0
.
5
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
a≠0 ax2+bx+c=0
二次项 一次项
常数项
.
6
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
解:方 4 x2 1x 程 2 9 0 得 x 12 3 ,x 22 3 ;而 4x21x2 94(x2 3)x (2 3
解:方 3 x2 7 x程 4 0 得 x 1 3 4,x 2 1 ;而 3x27x43(x3 4)x (1)
看出了点?有 什没 么有规 ?. 律
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开启 智慧
二次三项式 ax2+bx+c