理论力学 第十二章 压杆稳定

a=20/d ＝20/0.16=125＞λp,属于细长杆
b=18/d ＝18/0.16=112.5>λp，属于细长杆
2 EI 2 E 2 206 103 1 Fcra 2 A 1602 2661(kN ) ( L) 2 1252 4
2 E d 2 3.142 (206 103 ) 3.14 1602 Fcr cr A 2 3.21 106 N 4 112.52 4
§12-3
一、临界应力
临界应力与临界应力总图
1. 欧拉公式临界应力
压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平
衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算.
按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面 上的应力为
Fcr π 2 EI σcr A ( l )2 A
令 i
两端固定
两端铰支
Fcr
l
Fcr
2 EI
l2
一端自由，一端固定
Fcr
l
2l
Fcr
2 EI
( 2l )2
两端固定
Fcr
l/4
l/2
ll
l/4
Fcr
2 EI
(l / 2)2
一端铰支，一端固定
Fcr
0.7l l
0.3l
2 EI Fcr ( 0. 7 l ) 2
临界载荷欧拉公式的一般形式:
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩. 即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然 后取小的一个作为压杆的临界压力. x y z
第十二章
压杆稳定
§12–1 概述
一、引言
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为 σmax
例如：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1 mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所 能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
§12-4 压杆稳定计算与合理设计
压杆的稳定计算通常采用安全因数法和折减系数法。稳定性 校核和确定许可荷载用安全因数法比较方便，截面设计用折 减系数法比较方便 1、安全系数法: Fcr ——压杆的临界压力 nst ——压杆的稳定安全系数 压杆稳定条件： F——实际工作压力
临界力的欧拉公式
长度系数
π 2 EI Fcr ( 0. 7 l ) 2
π 2 EI Fcr 2 l
=1 = 0.7 = 0.5 =2
π 2 EI Fcr ( 0. 5 l ) 2 π 2 EI Fcr ( 2l )2
综上所述：其它杆端约束条件下细长压杆的临 界压力的一般形式:
a1 , b1
是与材料性能有关的常数。
抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的 中柔度压杆。
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。 2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
例：如图所示圆截面压杆， E=210GPa，σp=200MPa， σs =235MPa ,σcr=310-1.12λ(MPa) 1.分析哪一根压杆的临界载荷 比较大； 2.已知：d =160 mm。 求：二杆的临界载荷
临界状态
关键
确定压杆的临界力 Fcr
稳 定 平 衡
对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力:
Fcr
其它构件失稳
§12–1压杆临界荷载的欧拉公式
1、两端铰支细长压杆的临界力
假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律， 如图，从挠曲线入手，求临界力。 ①、弯矩： w
x Fcr Fcr
M ( x) Fcr w
sin k L 0. ( w sin k x)
B 0,
Kl n （n=0、1、2、3……）
Fcr n k L EI 临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
n 2 2 EI Fcr L2
Fcr
EI min
s p ( p s )
cr a b
a, b 是与材料性
能有关的常数。
——直线型经验公式 材料 硅钢
铬钼钢 硬铝 铸铁 松木
a s s b
p
a(MPa) b(MPa) 577 3.74
980 372 331.9 39.2 5.29 2.14 1.453 0.199
5.讨论
π EI Fcr 2 ( l )
2
为长度系数 l 为相当长度
（1）相当长度 l 的物理意义
压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l .
l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度.
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
压杆丧失其直线状态下的平衡而过度为曲线平衡，称为丧失 稳定，简称失稳，也称屈曲。 （3）当轴向压力超过临界压力时，压杆将失稳破坏。
受压直杆平衡的三种形式
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
结
论
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
2 EI 2 E d 4 Fcr 2 2
l
l 64
B A
l
Fcr
y

3 200 10 9 0.02 4
0.82 64
z
24.2 (k N)
2、从强度分析 s 235 MPa
0.02 2 235 10 6 73.8 (kN) Fs A s 4
EI Fcr 2 ( l )
2
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定 两端固定 两端铰支
: : : :

＝ ＝ ＝ ＝
2.0 0.7 0.5 1.0
表9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由
s
60 0 0
100 55 50 59
直线公式适合合 金钢、铝合金、铸 铁与松木等中柔度 压杆。
3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
cr s
FN A
s ( s )
三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。
cr
S P
cr a b
(a)
(b)
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性
Hale Waihona Puke Baidu
工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安 全可靠地工作.
二、工程实例
翻斗车液压杆
内燃机、空气压缩机的连杆
高层建筑
高架铁路桥
三、失稳破坏案例
案例1 上世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（在圣劳伦斯 河上建造魁比克大桥1907年8月29日，发生稳定性破坏，85位工
2 EI min 中的 Imin 如何确定 ？ 欧拉临界力公式 Fcr 2 ( l )
F
y
h
z
l
b
例 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受 的压力最大， 哪一根的最小？
P P P 因为
l 1 l 2 l 3
Fcr 2 EI
又
1.3a 1.6a 可知
2E p p
（细长压杆临界柔度）
p ，称大柔度杆（细长压杆 ）
例：Q235钢， E 200 GPa, p 200 MPa.
2E 2 200 10 3 p p 200
99.35 100
1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。 2 EI 2E p ( p ) 临界压力：Fcr 2 临界压应力： cr ( l ) 2 2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。
2
L2
——两端铰支细长压杆的临界载荷 的计算公式：欧拉公式
挠曲线方程为
w
kl sin 2
sin kx Asin kx
πx 当 kl π 时， w sin 挠曲线为半波正弦曲线. l
2 其他支座条件下细长压杆的临界压力
其他约束类型：
两端铰支
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定
L w
Fcr M Fcr
②、挠曲线近似微分方程：
EIw M ( x)
w
x
Fcr w Fcr w w0 EI
令: k
2

Fcr EI
k 2 w 0 w
③、微分方程的解： w A sin kx B cos kx
④、确定微分方程常数：
w(0) w( L) 0
l
2
a
Fcr1 Fcr2 Fcr3
(1)
(2)
(3)
(l )1 2a （3）杆承受的压力最大，最稳定。 ( l ) 2 1.3a (l ) 3 0.7 1.6a 1.12a
（1）杆承受的压力最小，最先失稳；
例：图示细长圆截面连杆，长度 l 800 mm ，直径 d 20 mm,材 料为Q235钢，E＝200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr . 解：1、细长压杆的临界载荷
稳定平衡
不稳定的平衡
临界状态
2、对于细长压杆：
（1）当 F小于某一临界值Fcr，撤去横向力后，杆的轴线
将恢复其原来的直线平衡状态，压杆在直线状态下的平衡 是稳定平衡。
（2）当 F增大到一定的临界值Fcr，撤去横向力后，杆的轴线 将保持微弯的平衡状态，而不再恢复其原来的直线平衡状态， 压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡。
解：1、判断临界荷载大小
= l / i ,
a=（1×5）/（d/4）=20/d ,
b= （0.5×9）/（d/4）= 18/d . a ＞b
Fcra ＜ Fcrb
9m
2、计算各杆临界力的大小
2E 2 210 103 P 101 P 200 s
310 235 61.6 1.12
FN max [σ ] A
(a): 木杆的横截面为矩形（12cm), 高为3cm，当荷载重量为6kN 时杆还不致破坏。
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯 曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不 够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态 所致。这种现象称为稳定性破坏。
人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一.
案例2 2000年10月25日上午10时南
京电视台演播中心由于脚手架失稳
造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人.
研究压杆稳定性问题尤为重要
四、平衡的稳定性 平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。 1、小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
Fcr π EI π E 2 π E I 则 σcr i 2 2 A ( l ) A ( l ) ( l / i )2 A
2 2 2
令

l
i
则
σcr
π2 E

2
Fcr A σcr
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径. 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度l 和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响.
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳.
若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别 计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应
力 cr
。
二、欧拉公式的适用范围
p , cr p
2E p
欧拉公式的适用范围:
cr
2E 2 p .
——直线型经验公式
2E cr 2
粗短杆
细长压杆。
中柔度杆
大柔度杆
o
s
P

l
i
粗短杆 中长杆
细长杆
细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (< s)
中柔度杆——抛物线型经验公式
cr a1 b12