数字图像处理 第三章 图像变换

在进行DFT之前用输入信号乘以（-1）x，便可 以在一个周期的变换中求得一个完整的频谱。
F(u N / 2)
1
N 1
j2π x(uN / 2)
f (x)e N
1
N 1
(1)x
j2π xu
f (x)e N
N x0
N x0
（a）幅度谱
（b）原点平移后的幅度谱 图3.4 频谱图
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1
M 1 N 1
f (x, y)e j2 (ux / M vy / N )
MN x0 y0
反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得
M 1 N 1
f (x, y)
F (u, v)e j 2 (ux / M vy / N )
u0 v0
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F(u, v)即为f (x, y)的频谱，通常是复数：
A, x X , y Y f (x, y) 0, 其 他
解：F (u, v) ∞ ∞ f (x, y)e j2π(uxvy)dxdy A X e j2πuxdx Y e j2πvydy
∞ ∞
0
0
AXY sin(πuX ) e jπux sin(πvY ) e jπvy
uX
πvY
其幅度谱为
பைடு நூலகம்
F(u,v) AXY sin(πuX ) sin(πvY )
πuX
πvY
图3.1 二维信号f (x, y)
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二维信号的频谱图
（a）信号的频谱图
（b）图（a）的灰度图
图3.2 信号的频谱图
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3.1.2 二维离散傅里叶变换
尺寸为M×N的离散图像函数的DFT
F (u, v)
F(u,v) R(u,v) jI (u,v)
幅度谱 | F(u,v) | [R2 (u, v) I 2 (u, v)]1/2
相位谱
(u,
v)
arctan
I (u, v) R(u, v)
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DFT幅度谱的特点
① 频谱的直流成分说明在频谱原点的傅 里叶变换F(0, 0)等于图像的平均灰度级。
%计算二维傅里叶变换
figure, imshow(log(abs(F1)+1),[0 10]);
%显示对数变换后的频谱图
F2 = fftshift(F1); %将直流分量移到频谱图的中心
figure, imshow(log(abs(F2)+1),[0 10]);
%显示对数变换后中心化的频谱图
② 幅度谱|F(u, v)|关于原点对称。 ③ 图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生变化，
仅有相位发生变化。
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3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质
1．变换可分离性
二维DFT可以用两个可分离的一维DFT之积表示：
F(u,v)
1
M 1
e j2πux / M
1
N 1
f (x, y)e j2πvy / N
傅里叶变换和余弦变换。
方波型变换：
沃尔什-哈达玛变换。
基于特征向量的变换：
K-L变换。
从哈尔变换、短时傅里叶变换到小波变换。 各种变换的定义和有关快速算法及实现方法。
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3.1 二维离散傅里叶变换（DFT）
3.1.1 二维连续傅里叶变换
定义：设 f (x, y) 是独立变量x和y 的函数，且在 ±∞ 上绝对可积，则定义积分
M x0
N y0
1
M 1
F (x, v)e j2πux / M
M x0
式中，
F(x,v)
1
N 1
f (x, y)e j2πvy / N
N y0
结论：（1）二维变换可以通过先进行行变换再进行列变换的两
次一维变换来实现。（2）也可以通过先求列变换再求行变换得到 二维傅里叶变换。
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图3.3 用两次一维DFT计算二维DFT
用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有：
DFT [ f (x, y)(1) xy ] F (u M / 2, v N / 2)
原点F(0,0)被设置在 u = M/2和v = N/2上。 如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换 F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率 谱的直流成分。
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3．离散卷积定理
设f (x, y)和g(x, y) 是大小分别为A×B和C×D的 两个数组，则它们的离散卷积定义为
DFT[ f (x, y)* g(x, y)] F(u, v)G(u, v)
卷积定理
M 1 N 1
f (x, y) * g(x, y) f (m, n)g(x m, y n) m0 n0
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【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。
为了增强显示效果，用对数对频谱的幅度进行压缩，然 后将频谱幅度的对数值用在0～10之间的值进行显示。
【解】MATLAB程序如下：
I = imread('pout.tif'); %读入图像
imshow(I);
%显示图像
F1 = fft2(I);
∞ ∞ | f (x, y) | dxdy ∞ ∞ ∞
为二维连续函数 f (x, y) 的傅里叶变换，并定义
f (x, y) ∞ ∞ F(u,v)ej2π(uxvy)dudv ∞ ∞
为F (u, v) 的反变换。 f (x, y) 和F (u, v) 为傅里叶变换对。
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【例3.1】求图3.1所示函数的傅里叶变换。
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图3.6 图像频谱的中心化
（a）原始图像 (b) 中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱
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（a）原始图像
（b）图像的频谱图 图3.7 傅里叶变换
（c）中心化的频谱图
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1.4 快速傅里叶变换(FFT) 随着计算机技术和数字电路的迅速发展，在 信号处理中使用计算机和数字电路的趋势愈 加明显。离散傅里叶变换已成为数字信号处 理的重要工具。
第3章 图像变换
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内容提要
主要介绍图像处理中常用的二维离散变换 的定义、性质、实现方法及应用。
经典变换——离散傅里叶变换（DFT） 离散余弦变换（DCT） 离散沃尔什-哈达玛变换（DWT） K-L变换（KLT） 离散小波变换（DWT）及其应用
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知识要点
余弦型变换：
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2．周期性、共轭对称性及频谱中心化
周期性和共轭对称性来了许多方便。 首先来看一维的情况。
设有一矩形函数,求出它的傅里叶变换：
A, 0≤ x≤X f (x) 0, 其他
F(u) AX sin πuX ejπuX πuX
F(u) AX sin πuX πuX
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