数学建模,第二章 初等模型
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数 学 建 模
至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院
模型求解
黑 给出一种简单、粗糙的证明方法 龙 江 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 科 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 技 学 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 院 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性 数 学 建 模 质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
商品的贮存费问题
黑 龙 江 科 技 学 院
一零售商收到一船共10000公斤大米，这批大米以常量每月 2000公斤运走，要用5个月 时间，如果贮存费是每月每公斤 0.01元，5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？
解 ：令Q(t)表示t个月后贮存大米的公斤数，则 Q(t)=10000-2000t 将区间0≤t≤5分为n个等距的小区间，任取第j个小区间 数 【tj,tj+1】，区间长度为tj+1-tj=△t，在这个小区间中， 学 每公斤贮存费用=0.01 △t 建 第j个小区间的贮存费=0.01 Q(tj)△t n 模 总的贮存费= 0.01Qt j t j 1 由定积分定义：
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
理学院
2.1.2 分蛋糕问题
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下 的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给 你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题， 问题归结为如下一道证明题： 你知道他用的是什么办法吗？ 已知平面上一条没有交叉点的
理学院
模型构成
黑 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 龙 江 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性 科 技 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 ´ B B A´ 学 院 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 A C 距离是的函数 O x 数 四个距离 两个距离 学 (四只脚) C´ 正方形 D´ 建 D 对称性 模
10 y1 10 x 41.6 10 x 15 2.4 15 41.6 t y2 0.8 2.5
0 x4 4 x 15 15 x
理学院
数学模型为
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
只证明了直线的存在性 你能找到它么？
理学院
2.1.3出租车收费问题
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程 大于等于15km部分，每公里车费2.4元。计程器每0.5km记 一次价。
P P S2
?
令： f S1 S2
S1 , S2
数 而f 在 0 , 0 上连续，且 学 f 0 S1 0 S2 0 0 建 模 f 0 S1 0 S2 0 0 由零点定理得证。
10 y y1 y2 10 x 41.6 10 x 5 2.4 15 41.6
0 x4
t 4 x 15 0.8 2.5 15 x
计算起来很简单。
理学院
2.1.4 蚂蚁逃跑问题
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是（1，1）， （5，1），（1，3），（5，3），在坐标原点处有一个火 焰，它使金属板受热，假设板上任意一点处的温度与该点到 原点的距离成反比，在（3，2）处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁 应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点？ 解：板上任一点（x,y）处的温度为
t lim A0 1 k A0 e kt n n
n
y A0 e
kt
理学院
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
海报设计问题
现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何 确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
比较R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知t=3时，即上午11：00， 工人的工作效率最高。 理学院
R' t Q' ' t 6t 18 0
黑 龙 江 科 技 学 院
购物满意问题
日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问 题。由于钱数固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买（ 甚至不能再买）另一种物品，这样就不可能很令人满意。如何花费给定 量的钱，才能达到最满意的效果呢？经济学家试图借助“效用函数”来 y x 解决 U ( x, y) x y,U ( x, y) ln 单位、 这一问题。所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各 x ln y 单位时满意程度的量。常见的形式有 等，而当效用函数达到最大值时，人们购物分配方案最佳。小孙有200 y x U ( x, y) ln x ln y 元钱，他决定来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带。且设他购 买 张磁盘， 盒录音磁带的效用函数为 。设每张 磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配他的200元钱，才能达到最满意 的效果？
封闭曲线，P是曲线所围图形上 任一点，求证：一定存在一条过 P的直线，将这图形的面积二等 分。
理学院
若S1≠ S2 不妨设S1＞S2 黑 龙 江 科 技 学 院
S1 l
(此时l与x轴正向的夹角记为 0 )
以点P为旋转中心，将l按逆时 针方向旋转，面积S1，S2就连 续依赖于角 的变化，记为
理学院
医院就医问题
黑 龙 江 一家新的乡村精神病诊所开张。对同类门诊部的统计表 科 明，总有一部分病人 第一次来过之后还要来此治疗，若果现 技 在有A个病人第一次来就诊，则t个月后，这些病人中还有 t 学 A f (t ) 个病人还在此治疗 ，这里 f (t ) e 20 。现设这个诊 院 所最开始时接受了300人的治疗，并且计划从现在开始每月 接收10名新病人。试估算从现在开始15个月后，在此诊所接 数 受治疗的病人有多少？ 学 建 模
数学建模
（Mathematical Modeling)
黑龙江科技学院理学院 工程数学教研室
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
第二章 初等模型
理学院
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
第二章 初等模型
生活中的问题
极限、最值、积分问题的初等模型 经济问题中的初等模型 线性代数模型 建模举例 重点:各种简单的初等模型 难点:简单初等模型的建立和求解
s 2x 4 y 4 2 2x
2
4 128 这个问题可用求一元函数最值的方法解决 x 8
最小
令此式对x的导数为0，解得： 其中 x
y
1
x=16,此时y=8,可使空白面积 思考：若海报改为左右两栏，横 最小。 向粘贴，印刷面积为180平方分米， s' ' 0 要求四周留下空白宽2分米，留1分米 宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总 空白面积最小?
解：每天的总收益为二元函数： 想一想高等数学中二 元函数求最值的方法
令 f x ' 0，f y' 0 ，则有驻点x=53,y=55 判断可知（53，55）为最大值点。
f x, y x 3070 5x 4 y y 4080 6x 7 y
理学院
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
细菌繁殖问题
某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时，与当时 已有的数量成正比，即，V=KA0(K>0为比例常数)。 1.建立细菌繁殖的数学模型。
2.假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的 天数 细菌个数 近似数据。
5 936 求：开始时细菌个数可能是多少？若继续以现在的速度增长 下去，假定细菌无死亡，60天后细菌的个数大概是多少？ 10 2190 由于细菌的繁殖时连续变化的， 在很短的时间内数量变化得很小， 繁殖速度可近似看做不变。
理学院
解:建立数学模型
内，细菌繁殖的数 黑 将时间间隔t分成n等分，在第一段时间 龙 t t 量为 kA0 ，在第一段时间末细菌的数量为 A0 1 k ，同样， 江 n n 2 t 科 第二段时间末细菌的数量为 A0 1 k ；以此类推，最后一段 n 技 n 学 时间末细菌的数量为 A0 1 k t ，经过时间t后，细菌的总数是 n 院 数 学 建 设细菌的总数为y,则所求的数学模型为： 模
理学院
数 学 建 模
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
最大利润问题
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌 子进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计， 如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖y美分，则每天可 卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果 汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大 收益？
T x, y
k x2 y2
3
gradT 我学过高等数学，我可以做得更好， x2 y2 呵呵
kx
i
2
x
ky
2
y2
2k
3
3
j
2
gradT 3， 2
3k 13
3 2
i
j
源自文库
13 2 理学院
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
2.2极限问题中的初等模型 2.3最值问题中的初等模型 2.4积分问题中的初等模型
理学院
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
工人上班效率问题
对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中 等水平的工人早上8：00开始工作，在t小时之后，生产出
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。 工作效率最高，即生产率最大， 问：在早上几点钟这个工人的工作效率最高？ 此题中，工人在t时刻的生产率 2 解：工人的生产率为为产量Q关于时间t的变化率： R t Q' t 3t 18t 12 Q’(t)，则问题转化为求Q’(t)的 最大值
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
理学院
模型构成
黑 龙 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 江 科 f() , g()是连续函数 地面为连续曲面 技 学 对任意, f(), g() 椅子在任意位置 院
至少三只脚着地
理学院
2.1 生活中的问题
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
2.1.1
椅子能在不平的地面上放稳吗?
放稳 ~ 四只脚着地
问题分析 通常 ~ 三只脚着地
模 型 假 设
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形;
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
例如，当行驶路程x（km）满足 12≤x<12.5时，按12.5km计价；当 12.5 ≤x<13时，按13km计价； 例如，等候时间t(min)满足 2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元； 当5≤t<25 ，按5min计价
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黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
请回答下列问题 • 假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍， 请建立车费与行程的数学模型。 • 若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？ • 若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？ 解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2 元，行程为x km，x∈z+,停车时间为t min，t ∈z+,则
至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
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模型求解
黑 给出一种简单、粗糙的证明方法 龙 江 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 科 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 技 学 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 院 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性 数 学 建 模 质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
商品的贮存费问题
黑 龙 江 科 技 学 院
一零售商收到一船共10000公斤大米，这批大米以常量每月 2000公斤运走，要用5个月 时间，如果贮存费是每月每公斤 0.01元，5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？
解 ：令Q(t)表示t个月后贮存大米的公斤数，则 Q(t)=10000-2000t 将区间0≤t≤5分为n个等距的小区间，任取第j个小区间 数 【tj,tj+1】，区间长度为tj+1-tj=△t，在这个小区间中， 学 每公斤贮存费用=0.01 △t 建 第j个小区间的贮存费=0.01 Q(tj)△t n 模 总的贮存费= 0.01Qt j t j 1 由定积分定义：
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
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2.1.2 分蛋糕问题
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下 的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给 你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题， 问题归结为如下一道证明题： 你知道他用的是什么办法吗？ 已知平面上一条没有交叉点的
理学院
模型构成
黑 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 龙 江 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性 科 技 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 ´ B B A´ 学 院 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 A C 距离是的函数 O x 数 四个距离 两个距离 学 (四只脚) C´ 正方形 D´ 建 D 对称性 模
10 y1 10 x 41.6 10 x 15 2.4 15 41.6 t y2 0.8 2.5
0 x4 4 x 15 15 x
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数学模型为
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只证明了直线的存在性 你能找到它么？
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2.1.3出租车收费问题
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程 大于等于15km部分，每公里车费2.4元。计程器每0.5km记 一次价。
P P S2
?
令： f S1 S2
S1 , S2
数 而f 在 0 , 0 上连续，且 学 f 0 S1 0 S2 0 0 建 模 f 0 S1 0 S2 0 0 由零点定理得证。
10 y y1 y2 10 x 41.6 10 x 5 2.4 15 41.6
0 x4
t 4 x 15 0.8 2.5 15 x
计算起来很简单。
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2.1.4 蚂蚁逃跑问题
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标分别是（1，1）， （5，1），（1，3），（5，3），在坐标原点处有一个火 焰，它使金属板受热，假设板上任意一点处的温度与该点到 原点的距离成反比，在（3，2）处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁 应沿什么方向爬行才能最快到达较凉的地点？ 解：板上任一点（x,y）处的温度为
t lim A0 1 k A0 e kt n n
n
y A0 e
kt
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海报设计问题
现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何 确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
比较R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知t=3时，即上午11：00， 工人的工作效率最高。 理学院
R' t Q' ' t 6t 18 0
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购物满意问题
日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问 题。由于钱数固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买（ 甚至不能再买）另一种物品，这样就不可能很令人满意。如何花费给定 量的钱，才能达到最满意的效果呢？经济学家试图借助“效用函数”来 y x 解决 U ( x, y) x y,U ( x, y) ln 单位、 这一问题。所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各 x ln y 单位时满意程度的量。常见的形式有 等，而当效用函数达到最大值时，人们购物分配方案最佳。小孙有200 y x U ( x, y) ln x ln y 元钱，他决定来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带。且设他购 买 张磁盘， 盒录音磁带的效用函数为 。设每张 磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配他的200元钱，才能达到最满意 的效果？
封闭曲线，P是曲线所围图形上 任一点，求证：一定存在一条过 P的直线，将这图形的面积二等 分。
理学院
若S1≠ S2 不妨设S1＞S2 黑 龙 江 科 技 学 院
S1 l
(此时l与x轴正向的夹角记为 0 )
以点P为旋转中心，将l按逆时 针方向旋转，面积S1，S2就连 续依赖于角 的变化，记为
理学院
医院就医问题
黑 龙 江 一家新的乡村精神病诊所开张。对同类门诊部的统计表 科 明，总有一部分病人 第一次来过之后还要来此治疗，若果现 技 在有A个病人第一次来就诊，则t个月后，这些病人中还有 t 学 A f (t ) 个病人还在此治疗 ，这里 f (t ) e 20 。现设这个诊 院 所最开始时接受了300人的治疗，并且计划从现在开始每月 接收10名新病人。试估算从现在开始15个月后，在此诊所接 数 受治疗的病人有多少？ 学 建 模
数学建模
（Mathematical Modeling)
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第二章 初等模型
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第二章 初等模型
生活中的问题
极限、最值、积分问题的初等模型 经济问题中的初等模型 线性代数模型 建模举例 重点:各种简单的初等模型 难点:简单初等模型的建立和求解
s 2x 4 y 4 2 2x
2
4 128 这个问题可用求一元函数最值的方法解决 x 8
最小
令此式对x的导数为0，解得： 其中 x
y
1
x=16,此时y=8,可使空白面积 思考：若海报改为左右两栏，横 最小。 向粘贴，印刷面积为180平方分米， s' ' 0 要求四周留下空白宽2分米，留1分米 宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总 空白面积最小?
解：每天的总收益为二元函数： 想一想高等数学中二 元函数求最值的方法
令 f x ' 0，f y' 0 ，则有驻点x=53,y=55 判断可知（53，55）为最大值点。
f x, y x 3070 5x 4 y y 4080 6x 7 y
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细菌繁殖问题
某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时，与当时 已有的数量成正比，即，V=KA0(K>0为比例常数)。 1.建立细菌繁殖的数学模型。
2.假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的 天数 细菌个数 近似数据。
5 936 求：开始时细菌个数可能是多少？若继续以现在的速度增长 下去，假定细菌无死亡，60天后细菌的个数大概是多少？ 10 2190 由于细菌的繁殖时连续变化的， 在很短的时间内数量变化得很小， 繁殖速度可近似看做不变。
理学院
解:建立数学模型
内，细菌繁殖的数 黑 将时间间隔t分成n等分，在第一段时间 龙 t t 量为 kA0 ，在第一段时间末细菌的数量为 A0 1 k ，同样， 江 n n 2 t 科 第二段时间末细菌的数量为 A0 1 k ；以此类推，最后一段 n 技 n 学 时间末细菌的数量为 A0 1 k t ，经过时间t后，细菌的总数是 n 院 数 学 建 设细菌的总数为y,则所求的数学模型为： 模
理学院
数 学 建 模
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
最大利润问题
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌 子进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计， 如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖y美分，则每天可 卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果 汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大 收益？
T x, y
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3
gradT 我学过高等数学，我可以做得更好， x2 y2 呵呵
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2
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y2
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j
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gradT 3， 2
3k 13
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j
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2.2极限问题中的初等模型 2.3最值问题中的初等模型 2.4积分问题中的初等模型
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工人上班效率问题
对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中 等水平的工人早上8：00开始工作，在t小时之后，生产出
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。 工作效率最高，即生产率最大， 问：在早上几点钟这个工人的工作效率最高？ 此题中，工人在t时刻的生产率 2 解：工人的生产率为为产量Q关于时间t的变化率： R t Q' t 3t 18t 12 Q’(t)，则问题转化为求Q’(t)的 最大值
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
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模型构成
黑 龙 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 江 科 f() , g()是连续函数 地面为连续曲面 技 学 对任意, f(), g() 椅子在任意位置 院
至少三只脚着地
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2.1 生活中的问题
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2.1.1
椅子能在不平的地面上放稳吗?
放稳 ~ 四只脚着地
问题分析 通常 ~ 三只脚着地
模 型 假 设
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形;
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
例如，当行驶路程x（km）满足 12≤x<12.5时，按12.5km计价；当 12.5 ≤x<13时，按13km计价； 例如，等候时间t(min)满足 2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元； 当5≤t<25 ，按5min计价
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请回答下列问题 • 假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍， 请建立车费与行程的数学模型。 • 若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？ • 若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？ 解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2 元，行程为x km，x∈z+,停车时间为t min，t ∈z+,则