高三数学第一轮复习双曲线课件
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名师伴你行
【解析】如图，设动圆M的半径为r，则由已知 |MC1|=r+ 2 ，|MC2|=r- 2，
∴|MC1|-|MC2|=2 2.
又C1（-4，0），C2（4，0），
∴|C1C2|=8，
∴2 2＜|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）,C2 （4，0）为焦点的双曲线的右支.
叫做双曲线的 实半轴 长，b叫做双曲线的虚半轴长.
a,b,c的关系 c= a2 +b2
(c>a>0,c>b>0 )
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名师伴你行
考点1 双曲线的定义及标准方程
已知动圆M与圆C1：（x+4）2+y2=2外切，与圆C2： （x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程. 【分析】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的 几何条件，结合双曲线定义求解.
预测2012年高考仍将以双曲线的定义及几何性质为主 要考查点，重点考查运算能力、逻辑推理能力.
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名师伴你行
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等 于常数（小于|F1F2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲 线.这 两个定点 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫 做双曲线的 焦距 .
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名师伴你行
在△ABC中，B( 4 ，0)，C( -4 ，0)且满足条件 sinB-sinC= 1 sinA,则动点A的轨迹方程.
2
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名师伴你行
【解析】设A的坐标为(x,y),在△ABC中，由正弦定理得
a b c 2R (其中R为△ABC外接圆的半径）， 代则s入得inAs|AinCsBi|n--B|sAinBsCi|n==C4，12 因sin此AA得的轨| A2迹RC |是- | 以A2RBB| ， 12C| B为2RC焦| 点,又的|B双C曲|=线8, 的右支（除去右顶点），且2a=4,2c=8，即a=2,c=4.b2=c2a2=12.
∵a= 2，c=4，∴b2=c2-a2=14.
x2 y2
∴点M的轨迹方程是Baidu Nhomakorabea
2
14
=1（x≥
）2 .
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名师伴你行
求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几 何条件探 求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的 方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量.在 运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差 的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线还是双曲线 的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性 和完备性.
故应选B.
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考点3 双曲线的综合应用
名师伴你行
已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F（ 3 ，0），一 条渐近线m：x+ 2 y=0，设过点A(-3 2 ,0)的直线l的方 向向量e=(1,k).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线a ∥ l，且a与l的距离为 6,求k的值; (3)证明：当k> 2 时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使
【解析】∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,
∴c=4.
∵e= c =2,∴a=2,∴b2=12,∴b=
a
2 .3
∵焦点在x轴上,∴焦点坐标为(±4,0),
渐近线方程为y=± b x,即y=±
a
3x,化为一般式为
3 x±y=0.
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名师伴你行
双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点” （两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线” （两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以 及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的 三角形）研究它们之间的相互联系.
D.
x2 y2 - 1
27 9
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【答案】B
名师伴你行
【解析】抛物线y2=24x的准线方程为x=-6，
故双曲线中c=6.
①
由双曲线
x2 a2
y2 - b2
=1
的一条渐近线方程为y=
3x，知 b
a
且c2=a2+b2.
3 ,② ③
由①②③解得a2=9,b2=27.
故双曲线的方程为 x2 y2 1 . 9 27
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名师伴你行
［2010年高考天津卷］已知双曲线
x2 y2 a2 - b2 1
(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y= 3 x，它的一个焦点
在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为( )
x2 y2
A. - 1
36 108
C.
x2 y2 - 1
108 36
B.
x2 y2 - 1
9 27
2
之到直线l的距离为 6 . 返回目录
名师伴你行
【分析】（1）由渐近线为x+ 2 y=0可设双曲线方程
为x2-2y2=λ(λ＞0)，则a2=λ,b2=
,c=
2
.可3 求λ.（2）
名师伴你行
学案7 双 曲 线
考纲解读
考向预测
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
名师伴你行
名师伴你行
考纲解读
双曲线
1.掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条 件利用待定系数法求双曲线方程. 2.掌握双曲线的几何性质.
3.了解双曲线的一些实际应用.
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名师伴你行
考向预测
从近两年的高考试题来看，双曲线的定义、标准方程 及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题， 难度为中等偏高，主要考查双曲线的定义及几何性质，考 查基本运算能力及等价转化思想.
所以所求A点的轨迹方程为
x2
y2
1 (x>2).
4 12
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考点2 双曲线性质及应用
名师伴你行
［2010年高考北京卷］已知双曲线 心率为2，焦点与椭圆 x2 y2 1
x2 a2
-
y2 b2
1
的离
的焦点相同，
25 9
那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程
为
.
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名师伴你行
【分析】根据双曲线有关几何性质求解.
顶点坐标A1 (-a,0) ,
顶点坐标A1
(0,-a) ,
顶点
A2
性
质 渐近线
(a,0) y=±b x a
(0,a ) A2
y=± a x b
离心率 e= c e∈ (1,+∞) ，其中c= a
a2 +b2 .
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|= 2a ；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|= 2b ；a
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2.双曲线的标准方程和几何性质
名师伴你行
标准方程
x2 y2 a2 - b2 =1(a>0,b>0)
y2 x2 a2 - b2 =1(a>0,b>0)
图形
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范围 对称性
x≥a或x≤-a 对称轴： x轴，y轴 对称中心: 原点
y≥a或y≤-a
名师伴你行
对称轴： x轴，y轴
对称中心: 原点
名师伴你行
【解析】如图，设动圆M的半径为r，则由已知 |MC1|=r+ 2 ，|MC2|=r- 2，
∴|MC1|-|MC2|=2 2.
又C1（-4，0），C2（4，0），
∴|C1C2|=8，
∴2 2＜|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）,C2 （4，0）为焦点的双曲线的右支.
叫做双曲线的 实半轴 长，b叫做双曲线的虚半轴长.
a,b,c的关系 c= a2 +b2
(c>a>0,c>b>0 )
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名师伴你行
考点1 双曲线的定义及标准方程
已知动圆M与圆C1：（x+4）2+y2=2外切，与圆C2： （x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程. 【分析】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的 几何条件，结合双曲线定义求解.
预测2012年高考仍将以双曲线的定义及几何性质为主 要考查点，重点考查运算能力、逻辑推理能力.
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名师伴你行
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等 于常数（小于|F1F2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲 线.这 两个定点 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫 做双曲线的 焦距 .
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名师伴你行
在△ABC中，B( 4 ，0)，C( -4 ，0)且满足条件 sinB-sinC= 1 sinA,则动点A的轨迹方程.
2
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名师伴你行
【解析】设A的坐标为(x,y),在△ABC中，由正弦定理得
a b c 2R (其中R为△ABC外接圆的半径）， 代则s入得inAs|AinCsBi|n--B|sAinBsCi|n==C4，12 因sin此AA得的轨| A2迹RC |是- | 以A2RBB| ， 12C| B为2RC焦| 点,又的|B双C曲|=线8, 的右支（除去右顶点），且2a=4,2c=8，即a=2,c=4.b2=c2a2=12.
∵a= 2，c=4，∴b2=c2-a2=14.
x2 y2
∴点M的轨迹方程是Baidu Nhomakorabea
2
14
=1（x≥
）2 .
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名师伴你行
求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几 何条件探 求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的 方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量.在 运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差 的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线还是双曲线 的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性 和完备性.
故应选B.
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考点3 双曲线的综合应用
名师伴你行
已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F（ 3 ，0），一 条渐近线m：x+ 2 y=0，设过点A(-3 2 ,0)的直线l的方 向向量e=(1,k).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线a ∥ l，且a与l的距离为 6,求k的值; (3)证明：当k> 2 时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使
【解析】∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,
∴c=4.
∵e= c =2,∴a=2,∴b2=12,∴b=
a
2 .3
∵焦点在x轴上,∴焦点坐标为(±4,0),
渐近线方程为y=± b x,即y=±
a
3x,化为一般式为
3 x±y=0.
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名师伴你行
双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点” （两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线” （两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以 及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的 三角形）研究它们之间的相互联系.
D.
x2 y2 - 1
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【答案】B
名师伴你行
【解析】抛物线y2=24x的准线方程为x=-6，
故双曲线中c=6.
①
由双曲线
x2 a2
y2 - b2
=1
的一条渐近线方程为y=
3x，知 b
a
且c2=a2+b2.
3 ,② ③
由①②③解得a2=9,b2=27.
故双曲线的方程为 x2 y2 1 . 9 27
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名师伴你行
［2010年高考天津卷］已知双曲线
x2 y2 a2 - b2 1
(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y= 3 x，它的一个焦点
在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为( )
x2 y2
A. - 1
36 108
C.
x2 y2 - 1
108 36
B.
x2 y2 - 1
9 27
2
之到直线l的距离为 6 . 返回目录
名师伴你行
【分析】（1）由渐近线为x+ 2 y=0可设双曲线方程
为x2-2y2=λ(λ＞0)，则a2=λ,b2=
,c=
2
.可3 求λ.（2）
名师伴你行
学案7 双 曲 线
考纲解读
考向预测
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
名师伴你行
名师伴你行
考纲解读
双曲线
1.掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条 件利用待定系数法求双曲线方程. 2.掌握双曲线的几何性质.
3.了解双曲线的一些实际应用.
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名师伴你行
考向预测
从近两年的高考试题来看，双曲线的定义、标准方程 及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题， 难度为中等偏高，主要考查双曲线的定义及几何性质，考 查基本运算能力及等价转化思想.
所以所求A点的轨迹方程为
x2
y2
1 (x>2).
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考点2 双曲线性质及应用
名师伴你行
［2010年高考北京卷］已知双曲线 心率为2，焦点与椭圆 x2 y2 1
x2 a2
-
y2 b2
1
的离
的焦点相同，
25 9
那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程
为
.
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名师伴你行
【分析】根据双曲线有关几何性质求解.
顶点坐标A1 (-a,0) ,
顶点坐标A1
(0,-a) ,
顶点
A2
性
质 渐近线
(a,0) y=±b x a
(0,a ) A2
y=± a x b
离心率 e= c e∈ (1,+∞) ，其中c= a
a2 +b2 .
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|= 2a ；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|= 2b ；a
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2.双曲线的标准方程和几何性质
名师伴你行
标准方程
x2 y2 a2 - b2 =1(a>0,b>0)
y2 x2 a2 - b2 =1(a>0,b>0)
图形
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范围 对称性
x≥a或x≤-a 对称轴： x轴，y轴 对称中心: 原点
y≥a或y≤-a
名师伴你行
对称轴： x轴，y轴
对称中心: 原点