数值计算与最优化试卷(lu) - 答案

湖南大学课程考试试卷

课程名称：《数值计算与最优化》 试卷编号：C 考试时间：120分钟

一．

填空题 （每空3分，共30分）

1、Matlab 中，绘制线性二维图的命令是（ plot ）。

2、123456789A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，index=[1 3]，B=A(index,:)，B=( 123789⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

)。 3、111031272A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，对A 进行LU 分解，L=( 100010231⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

)，U=( 111031004⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

)。 4、2

()5f x x =+，则[1,2,3,4]f =( 0 )。

5、正方形的边长大约为100cm ，为了使测量面积误差不超过1cm 2，测量时边长误差不能超过（ 0.0005

）厘米。

6、当阶n 为偶数时，Newton-Cotes 求积公式至少有（ n+1 ）次代数精度。

7、在Legendre 多项式中，P 2

(x)=(

21

(31)2

x - )。 8、()sin f x x =，()cos g x x =，在[,]ππ-上的内积(,)f g =( 0 )。 9、用松驰迭代法解方程组，要求迭代收敛，松驰因子应满足( 02w << )。

二．判断题（每个2分，共10分）

1、 3.1415926535π=，则 3.1415具有5位有效数字。

（ ╳ ）

2、如果矩阵A 的特征值为（1，3，5），则1(3)A I -+的特征值为111(,,)468

。 （ √ ） 3、利用Jaccobi 迭代法求解Ax=b ，如果1()1I D A ρ--<，则迭代收敛。 （ √ ） 4、n 个节点的高斯求积公式具有2n+1次代数精度。 （ √ ） 5、(2,4,5)T x =-，1||||11x =，2||||5x =。 （ ╳ ）

三．计算题（6个题中任选4个，每个10分，共40分,但学生自己必须注明做哪4个题，否则不给分）

1、用列主元法求解方程组

1231212

332641077

556

x x x x x x x x -++=⎧⎪

-=⎨⎪-+=⎩ 解：增广矩阵形式 3264107075156-⎡⎤

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

（2分）

选主元 1070732645156-⎡⎤

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

消元 1070

700.16 6.10 2.55 2.5

-⎡⎤

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3分）

选主元 107070 2.55 2.500.16 6.1-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

消元

107

070 2.55 2.50

0 6.2 6.2

-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3分） 回代解得3211,1,0x x x ==-=

（2分）

2、给定f(x)

用Newton

解：给出均差表 (5分)

3()22(1) 2.5(1)( 1.2)8.333333(1)( 1.2)( 1.4)N x x x x x x x =+----+---

（3分）

3(1.1)(1.1)22(1.11) 2.5(1.11)(1.1 1.2)8.333333(1.11)(1.1 1.2)(1.1 1.4) 2.25

f N ≈=+----+---=

（2分）

3、利用牛顿法求解3()310f x x x =--=在02x =附近的实根，准确到四位有效数字。 解：

32

()31'()33

f x x x f x x =--=- （2分）

牛顿迭代法：312

31

33

k k k k k x x x x x +--=-- （3分）

取02x =，则有x1=1.888888888889，x2=1.879451566952，x3=1.879385244837 x4=1.879385241572 （3分）

四位有效数字解近似为* 1.894x ≈ （2分）

4

利用最小二乘拟合求二次拟合多项式。 解：构造数据表 （4分）

i x 2i x 3i x 4i x i y i i x y 2i i x y

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2.3000 2.3000 2.3000 2 4 8 16 4.2000 8.4000 16.8000 3 9 27 81 5.7000 17.1000 51.3000 4 16 64 256 6.5000 26.0000 104.0000 5 25 125 625 6.9000 34.5000 172.5000 6 36 216 1296 6.8000 40.8000 244.8000 正则方程组 （2分）

012 7 21 91 32.4000 21 91 441 129.1000 91 441 2275 591.7000a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

-0.0333 2.6321 -0.2488a ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

（2分）

2()0.0333 2.63210.2488s x x x =-+-

（2分）

5、利用复化梯形法计算1

20

1

(

)1

I dx x =

+⎰

，设n=8。 解：构造函数表 （4分） x f(x)

0 1.0000 1/8 0.9846 1/4 0.9412 3/8 0.8767 1/2 0.8000 5/8 0.7191 3/4 0.6400 7/8 0.5664 1 0.5000

复化梯形公式： （3分）

1

1

[()2()()]2n n k k h

T f a f x f b -==++∑

代入并计算 （3分）

80.7847T =

6、用改进Euler 公式求解下列常微分方程：0.1h =

2'(0)1x y y y y ⎧=-⎪

⎨

⎪=⎩

01x << 解：Euler 公式12()n

n n n n

x y y h y y +=+-

（3分）