线性函数与对偶空间

i =1
n
{α1,α 2 ,L,α n } ;{β1, β 2 ,L, β n }
它们的对偶基分别为
{ f1, f 2 ,L, f n } ;{ g1, g 2 ,L, g n }
若
[ β1 , β 2 ,L , β n ] = [α1 , α 2 ,L, α n ]P
则
[ g1 , g 2 ,L, g n ] = [ f1 , f 2 ,L, f n ]( P )
Hom(V , K ) ≅ V
我们来构造 Hom(V , K ) 的一组基，首先在线性 的一组基， 空间 V 中取一个基 α1 , α 2 ,L , α n ，对于任意一个 i ∈ 1, 2,L , n ，定义
{
}
1 f i (α j ) = 0
n n j =1 j =1
j =i j≠i
fi (∑ x jα j ) = ∑ x j f i (α j ) = xi
任取矩阵
A ∈ M 3×3 ( )，那么可以计算出
f11 ( A) = a11 , f12 ( A) = a12 , f13 ( A) = a13 f 21 ( A) = a21 , f 22 ( A) = a22 , f 23 ( A) = a23 f31 ( A) = a31 , f 32 ( A) = a32 , f33 ( A) = a33
3
−1 0
f3 (1) = ∫ 1dx = −1, f 3 ( x) = ∫ xdx = 1 f3 ( x ) = ∫ x dx = − 1
2 2 0 −1
2
3
假设
f , f 2 , f3
' 1
'
'
的对偶基， 为基 1, x, x 的对偶基，那么
' 1 ' 2 ' '
2
f1 = f1 (1) f + f1 ( x) f 2 + f1 ( x ) f 3
任取
f ∈ M 3×3 ( ) ，于是
*
f =∑
3
i =1 j =1
∑ kij fij = ∑ ∑ f (ε ij ) fij
i =1 j =1
3
3
3
对任意的
A ∈ M 3×3 ( )
3
f ( A) = ∑
i =1 j =1
∑ kij fij ( A) = ∑ ∑ f (ε ij )aij
i =1 j =1
X 0和 K 上
f:
n
Kn → K
T T X 0 AX
X = [ x1 , x2 ,L , xn ] a
则
f 是 K 上的一个线性函数。 上的一个线性函数。
例：我们用 C[ a, b] 表示闭区间 [ a, b] 上的所有 连续函数构成的线性空间， 连续函数构成的线性空间，定义映射
f : C[ a , b ] → f ( x) a ∫ f ( x) dx
f1 (1) = ∫ 1dx = 1, f1 ( x) = ∫ xdx = 1
0 0
1
1
2
f1 ( x ) = ∫ x dx = 1
2 2 0 2 0
1
3
2 0
f 2 (1) = ∫ 1dx = 2, f 2 ( x) = ∫ xdx = 2 f 2 ( x ) = ∫ x dx = 8
2 2 0 −1 0 2
−1 T
2 8 3

3 x2 g1 ( x) = 1 + x − 2 1 + 1 x2 g 2 ( x) = − 6 2 1 + x − 1 x2 g3 ( x) = − 3 2
3
3
3
例：已知四维线性空间 V 以及一个基 α1 , α 2 , α 3 , α 4 ，这组基的对偶基为 f1 , f 2 , f 3 , f 4 。若有
1 0 [ β1 , β 2 , β3 , β 4 ] = [α1 , α 2 , α 3 ,α 4 ] 0 0
（1）说明： ）说明：
注记： 注记： 视为自身上的一个线性空间， （1）若把 K 视为自身上的一个线性空间，则 V 到 K 的线性函数就是线性空间 V 到线性空间 K 的线性映射； 的线性映射；
维线性空间， （2）若 V 是数域 K 上的 n 维线性空间，取定一 ） 个基 α1 ,α 2 ,L ,α n 后，则 V 上的一个线性函数 f 上的作用所决定。 完全被它在基α1 ,α 2 ,L ,α n上的作用所决定。反 之，任给 K 中的 n 个数，存在 V 上唯一一个线 个数， 性函数 f ，使；
2 3 4 1 2 4 0 1 2 0 0 1
β1 , β 2 , β3 , β 4 也是 V
的一个基。 的一个基。
的对偶基。 （2）求 β1 , β 2 , β 3 , β 4 的对偶基。 ）
例：已知 V
= [ x ]3 ，对任意的 g ( x ) ∈ V ，定义
f1 ( g ( x)) = ∫ g ( x)dx,
线性函数与对偶空间
定义：设 V 是数域 K 上的线性空间， f 是 V 到 定义： 上的线性空间， 的一个映射， K 的一个映射，若对任意 α , β ∈ V , k ∈ K ，均有
f (α + β ) = f (α ) + f ( β ) f ( kα ) = kf (α )
则称
f 是 V上的一个线性函数。 上的一个线性函数 线性函数。
0
1
f 2 ( g ( x)) = ∫ g ( x)dx,
0
2
f3 ( g ( x)) = ∫ g ( x)dx
0
−1
（1）证明： 证明：
的一个基； f1 , f 2 , f3是 V * 的一个基；
（2）求 V 的一个基 g1 ( x ), g 2 ( x ), g3 ( x ) 使得 f1 , f 2 , f3 为其对偶基。 为其对偶基。
为 V 的一个基， 的一个基， 为其对偶基 。任取
α1 , α 2 ,L, α n
f1 , f 2 ,L, f n
α = ∑ x jα j ∈ V
j =1
n
可得
fi (α ) = ∑ x j f i (α j ) = xi
j =1
n
这表明：向量 α 在基 α1 , α 2 ,L , α n 下坐标的第 i 表明： 个分量等于对偶基中第 i 个线性函数 fi 在处的函 数值 fi (α )
' 1 ' 2 ' 1 ' 2
f 2 = f 2 (1) f + f 2 ( x) f 2 + f 2 ( x ) f 3 f3 = f 3 (1) f + f3 ( x) f 2 + f3 ( x ) f3
将这些关系式矩阵化， 将这些关系式矩阵化，即为
'
1 ' ' ' [ f 1 , f 2 , f 3 ] = [ f1 , f 2 , f3 ] 1 2 1 3
a b
那么
f 是 C[ a, b]上的一个线性函数。 上的一个线性函数。
例：对于数域 K 上的全体 n 阶矩阵构成的线性空 间 M n×n ( K ) ，我们定义映射
我们定义映射
f : M n×n ( K ) → K A a Tr ( A)
则
f 是线性空间 M n×n ( K ) 上的线性函数。 上的线性函数。
−1 T
例：设 V
= M 3×3 ( ) ，在 V 中取标准基
ε ij (i, j = 1, 2,3)
（1）求对偶基 ） 表达式。 表达式。
fij (i, j = Fra Baidu bibliotek, 2,3) ，并写出其具体
f
的表达式
（2）求上的任意一个线性函数 ）
f11 (ε11 ) = 1, f11 (ε ij ) = 0(i ≠ 1, j ≠ 1) f12 (ε12 ) = 1, f12 (ε ij ) = 0(i ≠ 1, j ≠ 2) f13 (ε13 ) = 1, f13 (ε ij ) = 0(i ≠ 1, j ≠ 3) LL f31 (ε 31 ) = 1, f 31 (ε ij ) = 0(i ≠ 3, j ≠ 1) f32 (ε 32 ) = 1, f32 (ε ij ) = 0(i ≠ 3, j ≠ 2) f33 (ε 33 ) = 1, f33 (ε ij ) = 0(i ≠ 3, j ≠ 3)
容易验证这样定义的 的线性函数。 的线性函数。
fi (i = 1, 2,L, n)
都是V 上
于是我们得到 V 上的 n 个线性函数
fi (i = 1, 2,L, n)
结论： 结论： f i (i = 1, 2,L , n) 是线性空间 Hom(V , K ) 的一个基。称为基 α1 , α 2 ,L , α n 的对偶基。将 的一个基。 对偶基。 V 上的线性函数构成的空间 Hom(V , K ) 称为 V * 对偶空间。 的对偶空间。通常将 Hom(V , K ) 记为 V 对偶基之间的关系 设 V 为数域 维线性空间， K上的一个 n 维线性空间，
K 中的 n 个数 a1 , a2 ,L , an ，令
例：给定数域
f: Kn → K [ x1 , x2 ,L, xn ] a a1 x1 + a2 x2 + L + an xn
f 是 K n 上的一个线性函数。 上的一个线性函数。 那么
例 给定数域 K 上的一个 n 元列向量 的一个 n 阶矩阵 A ，令
任取
f = ∑ ki fi ∈ V * ，那么
i =1
n
f (α j ) = ∑ ki fi (α j ) = k j
这表明：线性函数 f 在 α j 处的函数值 f (α j ) 表明： 等于 f 在对偶基 f1 , f 2 ,L , f n 下坐标的第 j 个分 量。 定理： 定理：设 V 为数域 中取两组基 维线性空间， K 上的一个 n 维线性空间，在
f (α i ) = ai , i = 1, 2, L , n
（3）用 Hom(V , K ) 表示 V上所有线性函数构成 ） 的集合， 的集合，它对线性函数的加法与数量乘法构成 K上 的线性空间，称之为线性函数空间 线性函数空间； 的线性空间，称之为线性函数空间；当 dimV = n 我们有同构关系。 时，我们有同构关系。
2 2 8 3
−1 1 2 1 − 3
求 V 的一个基 g1 ( x ), g 2 ( x ), g3 ( x )使得 为其对偶基。 为其对偶基。
f1 , f 2 , f3
[ g1 ( x), g 2 ( x), g3 ( x)] 1 2 1 = [1, x, x ] 2 1 3 2 −1 1 2 1 − 3