理论物理导论-分析力学习题课

kqzl0 gfkqyy
024kqyy
gfkouq
T1m2 v1m x 21m y 21m z 2
yy66 jilkq88
jilkq01
U mgz
jlkq123
gfyykq
LTU (1m x 21m y 21m z 2)m syyykq gz 222
设滑轮A、B半周长分别为s1和s2 滑轮A、B上的绳长分别为l1和l2
由图中几何关系有：
x
x1 l1s1q1 x2q1l2s2q2 x3 q1 q2
重物 速度
x1 q1 x2 q1 q2 x3 q1 q2
A
q1
B q2
m2 m3
理论物理导论
不计滑轮和绳的质量，那么体系的动能为： T12m1x12 12m2x22 12m3x32
实位移
理论物理导论
虚功原理（虚位移原理）
dt(≠0)时间内，质点发生的真实位移 d r
虚位移
在给定瞬时t，质点为约束所允许的
可能发生的无限小位移 r
虚位移垂直于约束曲面在该点的法线， 位于约束曲面的切平面，不破坏约束
虚位移的个数有无穷多个
虚位移的发生不需要时间 (t 0)
耗时
dr
不耗时
my 0 mzmg0
理论物理导论
[例2]求质点在单摆中的动力学方程
S=1 广义坐标为
T 1 mv 2 2
v l
0
l
T 1 ml22
Umgclos
L 2TU1m2l2mcgo l)s
2
L


ml2
L mgslin
理论物理导论
( m 2 m 3 ) q 2 ( m 3 m 2 ) q 1 ( m 2 m 3 ) g 0
理论物理导论
解得：
q1((m 4m 1 2 4m m21))m m3 3 m m11m m22 g
q2(m12 m 41m (m 2)3m 3m 2m )1m2g
L x

mx
L 0 x
理论物理导论
LTU (1m x 21m y 21m z 2)mgz 222
L x

mx
L y

m y
L z

mz
L 0 x
L 0 y
L mg z
代入
ddt(ql
) L q
0
mx0
理论物理导论
分析力学讨论习题课
拉格朗日用全新方法来处理力学问题，无 论问题多么复杂，均把矢量变为标量，扩大了 坐标的概念，引入广义坐标，便于研究受约束 质点组的力学问题。
ddt(qL)qL 0 拉格朗日方程
理论物理导论
[例1] 求质点在重力场中的动力学方程
S=3 广义坐标为x,y.z
r
约束分类
理论物理导论
稳定约束 f(r)0 不稳定约束 f(r,t)0
不可解约束(双侧(面)约束)
几何约束 f(r)0
运动约束 (微分约束) f (r,r) 0
可积分成几何约束 不可积分成几何约束
可解约束
f ( r)0
(单侧(面)约束) f(r,t)0
完整约束 不完整约束
L


ml2
L mgslin
代入 ddt(qL)qL 0
d(m2l)mg siln0
dt
m2lmsgiln0
m2lmg l0 动力学方程
理论物理导论
［例3］
如图所示，滑轮组悬挂三个重物，质量分别为m1、m2和 m3，试分别求出这三个重物加速度的大小。滑轮及绳子 的质量可忽略不计。
分析： 利用拉格朗日方程组可求解
A
关键是找出广义坐标，因三个重物，
二个滑轮，在同一平面作一维运动，
需5个参量描述，又A固定和两个绳长 m 1 一定的约束，故只需2个独立坐标q1，q2 m 2
q1
B q2
m3
理论物理导论
解： 建立如图所示的一维坐标系Ox
O
三重物分别对应的坐标为x1， x2 ， x3
所以各重物的加速度为：
x1q1(m m 1m 1 2 4m (4 2m )m 23 m m 1)1m m 2 3g x2q1q2((4 m m 12 4 3 m m 21 ))m m 3 3 m m 1 1 m m 2 2g x3q1q2((4 m m 12 4 m m 1 2 ))m m 3 3 3 m m 1 1 m m 2 2g
12m1q12 12m2(q1q2)2 12m3(q1q2)2 12(m1m2 m3)q12 12(m2 m3)q22 (m3 m2)q1q2 体系的势能为： Vm 1gx1m 2gx2m 3gx3 m 1g(l1s1q1)m 2g(q1l2s2q2)m 3g(q1q2) (m 1m 2m 3)gq1(m 2m 3)gq2(m 1gs1m 1gl1m 2gs2m 2gl2) (m 1m 2m 3)gq1(m 2m 3)gq2V0
理论物理导论
体系的拉格朗日函数为： L T V 1 2 ( m 1 m 2 m 3 ) q 1 2 1 2 ( m 2 m 3 ) q 2 2 ( m 3 m 2 ) q 1 q 2
( m 1 m 2 m 3 ) g q 1 ( m 2 m 3 ) g q 2 V 0 代入拉格朗日方程组有： d d t( q L 1 ) q L 1 d d t [ ( m 1 m 2 m 3 ) q 1 ( m 3 m 2 ) q 2 ] ( m 1 m 2 m 3 ) g 0 d d t( q L 2 ) q L 2 d d t[ ( m 2 m 3 ) q 2 ( m 3 m 2 ) q 1 ] ( m 2 m 3 ) g 0 化简为： ( m 1 m 2 m 3 ) q 1 ( m 3 m 2 ) q 2 ( m 1 m 2 m 3 ) g 0