浅谈高中数学不等式的解题方法

浅谈高中数学不等式的解题方法

不等式的证明问题，由于题型多变、方法灵活多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，它可以和很多内容结合，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大，解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式灵活运用常用的解题方法。

不等式常用的解题方法：比较法、综合法、分析法、反证法、换元法、放缩法、数学归纳法、判别式法、函数极值法。

（一）比较法

比较法证可分为差值比较法（简称求差法）和商值比较法（简称求商法）。它证明不等式有三个步骤：作差（商）、变形、判断。

（1）差值比较法

差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b ≥0，a ≥b ；a-b ≤0，a ≤b ”。其一般步骤：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等。③判断（正号、负号、零）。变形常用的方法：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。

应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 例1 已知a ，b 都是实数，且a ≠b ，求证 a +b ＞a b+ab

证明：（a +b ）— (a b+ab )=（a –a b ）—（a b –b

） = a （a-b ）-b （a-b ）

=（a – b ）（a-b ） =（a+b ）（a-b ）

∵a ，b ＞0，∴a+b ＞0 又∵a ≠b ，∴（a-b ）＞0 故（a+b ）（a-b ）＞0即（a +b ）(a b+ab )＞0

∴a +b ＞ a b+ a b

例2 已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +a 1)(b +b 1)4

25 证明：∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41 4

25)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a （2）商值比较法

商值比较法的理论依据是：“若a 、b ∈R+，a/b ≥1，a ≥b ；a/b ≤1,a ≤b ”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的关系。

应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 例 3 已知a ，b 是正数，求证：a b ≥a b ,当且仅当a=b 时，等号 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b b a a

b a b b-a a-b a-b

证明：( a b )/( a b )=a b =(a/b)

根据要证的不等式的特点（交换a ，b 的位置，不等式不变） 不妨设a ≥b ＞0，则a/b ≥1,a-b ≥0,∴(a/b) ≥1

当且仅当a=b 时，等号成立。 ∴a b ≥a b 当且仅当a=b 时，等号成立。

（二）综合法

综合法利用已知事实（已知条件、重要不等式或已证明的不等式）作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，推导出所要证明的结论。这种从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或因导果法。其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。

例 4 已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +a 1)(b +b 1)4

25 证明：∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab 1 22225(1)1139(1)1251611(1)1441644ab ab ab ab ab ab

⎧-+≥⎪-+⎪∴-≥-=⇒-≥⇒⇒≥⎨⎪≥⎪⎩

425)1)(1(≥++b b a a 即 （三）分析法

分析法是指从需证的不等式出发，逐步寻求不等式成立的充分条件，直至所

需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证的定理、性质等），从而得出要证的命题成立。其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

例5 已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +a 1)(b +b 1)4

25证明：欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，

即证4(ab )2－33(ab )+8≥0，即证ab ≤4

1或ab ≥8 ∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立

∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤4

1，从而得证 （四）反证法

有些不等式的证明，从正面不好证，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B,先假设A ≤B,由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B 。凡涉及到的证明不等式为否定命题、唯一命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。

例 6 已知x ，y>0，且x+y>2,试证(1+x)/y,(1+y)/x 中至少有一个小于2.

证明：假设（1+x ）/y,(1+y)/x 都不小于2，

即（1+x ）/y ≥2且（1+y ）/x ≥2,

∵x,y>0,∴1+x ≥2y,1+y ≥2x,

2 a b b a a-b

∴2+x+y ≥2(x+y) ∴x+y ≤2,

这与已知条件x+y>2矛盾

∴（1+x ）/y,(1+y)/x 中至少有一个小于2

（五）换元法

换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法；(2)增量换元法。

例 7 求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值。

解：∵y ＞0， ∴原不等式可化为y x +1≤a 1+y

x ， 设y x =tan θ，θ∈(0，2

π)

∴tan θ+1≤a 即tan θ+1≤a se c θ

∴a ≥sin θ+cos θ=2sin(θ+

4π)， ③ 又∵sin(θ+4π

)的最大值为1(此时θ=4π

)

由③式可知a

（六）放缩法

放缩法是指证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的。

例 8 求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值。 解：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得 x +y +2xy ≤a 2(x +y )，即2xy ≤(a 2－1)(x +y )，

① ∴x ，y ＞0，∴x +y ≥2xy ， ②

当且仅当x =y 时，②中有等号成立

比较①、②得a 的最小值满足a 2－1=1，

∴a 2=2，a =2 (因a ＞0)，∴a （七）数学归纳法

数学归纳法指当不等式取第一个值时成立，如果假设不等式在k 时成立，而又能在此基础证明不等式在k+1时成立，那么就可以肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立。