第八章__图与网络分析

OORR
破圈法
生成树—解法（2）
这种方法是每步 从连通图中选一 个圈，并去掉该 圈的一条边，直 到图中不含圈为 止。
OORR
OORR
最小生成树—概念
定义16 连通图G=(V, E), 每条边上有非负权 L(e)，一棵生成树上各边的权之和，称为这 棵生成树的权，具有最小权的生成树，称为 最小生成树（最小支撑树），简称最小树。
相邻
e1
v1
e2
e3
v2
e4
e5
v5
v4 e6 v3
相邻
边数： m(G)=|E|
顶点数： n(G)=|V|
OORR
图与网络的基本概念（4）
无向边与无向图：若图中任一条边的端点 无序，即(vi, vj)与(vj, vi)是同一条边，则称 它为无向边，此时图称为无向图。 有向图：若图中边(vi, vj)的端点是有序的， 则称它是有向边（或弧），vi与vj分别称为 这条有向边的始点和终点，相应的图称为 有向图。
2
4
5
3
3
将此道路中的每条 边都变成重复边。
6
4
5 4
4
9
4
OORR
中国邮路问题解法（6）
第二步：调整可行方案。使重复边最多重复一 次
2
4
5
3
3
6
4
5 4
4
9
4
2
4
5
3
3
6
4
5 4
4
9
4
OORR
中国邮路问题解法（7）
24
5
3
3
6
4
5
4
4
9
4
第三步：检查图中每个
初等圈是否满足定理条 件（2），若不满足则进 行调整。
上述问题的解决依赖于以下结果：
定理5
已知图G*=G+E1无奇点，则
L(E1) l(e)
eE1
最小的充分必要条件为：
（1）每条边最多重复一次；
（2）对图G中的每个初等圈来说，重复边的 长度不超过圈长的一半。
OORR
中国邮路问题解法（4）
下面直观地说明，若定理5的条件不成立，则 可以得到总权比E1的更小的重复边集。
重复两次或以上 的去掉其中两条
将原来的重复边变成
2
1 5
4
非重复边，原来的非 重复边变成重复边
2
1 5
4
2
2
2
2
OORR
中国邮路问题解法（5）
解法第一步：确定初始可行方案。若图中没有 奇点，则它已经是欧拉图，按欧拉回路走即可。 否则，若有奇点，奇点必有偶数个，将奇点两 两配对，然后找出每对奇点间的一条道路，
3 4
5
3 4
61
2 7
非最小树
例如 如何用造价最省的电话线网将各有关单位连
起来的问题，就归结为求最小生成树的问题。OORR
最小生成树—解法（1）
避圈法：
这种方法每步从图 中挑选一条边，满 足：（1）它与已 经选出的边不构成 圈；（2）它是满 足条件（1）的权 最小的边，直到选 够n-1条边为止。
定义6 在有向图中，以顶点v为始点的边数 称为顶点v的出次，记为d+(v)；以v为终点 的边数称为v的入次，记为d-(v)。顶点v的 出次与入次的和称为点v的次。
OORR
图与网络的基本概念（9）
定义7 图G=(V, E), 若E'是E的子集，若V'是V 的子集，且E'中的边仅与V'中的顶点相关联， 则称G' = (V', E')为图G的一个子图，特别地， 若V' =V, 则称G'为G的一个生成子图（支撑子 图）。
m=n(n-1)/2
OORR
图与网络的基本概念（7）
定义4 图G=(V, E)的点集V可以分为两个非空 子集X，Y，即X Y =V，X Y=Ø，使得E 中的每条边的两个端点中必有一个属于X， 另一个属于Y，则称G为二部图（偶图），有 时记为G=(X, Y, E)
非二部图
二部图
OORR
图与网络的基本概念（8）
24
5
3
3
6
4
5
4
4
9
4
24
5
3
3
6
4
5
4
9
4
4 OORR
第三步要求检查每个初等圈，这一步可能是 相当繁琐的。例如上例中的图就包括下图所 示的初等圈。
OORR
树—树的概念
定义14 连通且不含圈的无向图称为树。树中 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝 点。
厂长
EH A BC D F G I J KL M N
6
v4
v1 0 3 1 4
A v2 3 0 5 2
v3
1
5
0
6
v4 4 2 6 0
v1 v2 v3 v4 OORR
欧拉回路（1）
定义13 连通图G中，若存在一条道路，经过 每边一次且仅一次，则称这条道路为欧拉道 路。若存在一条回路经过每边一次也仅一次， 则称这条回路为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图（E图）。
连通图（2）
定义9 若在无向图中，一条链的第一个点与 最后一个点重合，则称这条链为圈。只有重 复点而无重复边的圈为简单圈，既无重复点 又无重复边的圈为初等圈。
初等圈
非简单的圈
OORR
有向图 道路 回路
连通图（3）
无向图 链（或道路） 圈（或回路）
道路
不是道路 OORR
连通图（4）
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相 连，则称此图为连通图。任何一个不连通图 总可以分为若干个连通子图，每一个称为原 图的一个分图（连通分支）。
根
分枝点
有向树
叶
根树
定义18 若有向树T恰有一个顶点的入次为0， 其余顶点的入次为1，则称T为根树
OORR
根树的应用
根树常用来表示指挥系统上下级的隶属关系， 系统的分类、溯源与继承等关系。如管理系 统的组织结构，家族谱系，计算机文件目录 结构，数据结构等等。
OORR
二叉树
定义19 在根树中，若每个顶点的出次小于或 等于m，称这棵树为m叉树。若每个顶点的 出次恰好等于m或0，则称它为完全m叉树。 当上述的m=2时，该树分别称为二叉树、完 全二叉树。
第八章 图与网络分析
OORR
引例
哥尼斯堡七桥问题
A
A
Cຫໍສະໝຸດ Baidu
D
C
D
B
B
OORR
环球旅行问题：
OORR
环球旅行问题的解
另一个著名的问题: 中国邮路问题
OORR
第1节 图与网络的基本知识
图可以用来做什么：
管理当中，事物及事物间的联系可以用图来描述
五只球队的比赛情况
工作分配问题
甲
戊
甲
A
乙
B
乙
丁
丙
丁
C
丙
戊
ae
d
f
b
c
对增加了重复边后得到的 新图G*，很明显其总权的 大小取决于增加的重复边 权的大小。因此中国邮路 问题转化为如下问题：
ae
d
f
b
c
在连通图G=(V, E)中，求一
个边的集合E1E，将E1中 所有边都变成重复边得到
新图G*，使得G*中无奇点，
且
L(E1) 最l(e小) eE1
OORR
中国邮路问题解法（3）
OORR
图与网络的基本概念（5）
环(自回路) e1
v1
e2
e3
e4 v2
e5
v5
定义2 不含环和多重边 的图称为简单图。含多 重边的图称为多重图。
v4 e6
简 单
v3
图
多重边
OORR
图与网络的基本概念（6）
定义3 每一对顶点间都有边相连的无向简单 图称为无向完全图；有向完全图是指每一对 顶点间有且仅有一条有向边的简单图。 完全图顶点数n与边数m间成立如下关系:
OORR
生成树—概念
定义15 若图G的生成子图是一棵树，则称该 树为图G的生成树（支撑树），或简称为图G 的树。
定理7 图G有生成树的充分必要条件是图G
是连通的
OORR
避圈法
生成树—解法（1）
这种方法是每步从 连通图中选出一条 边，使得它与已经 选出的边不构成圈， 直到选够n-1条边为 止。
一个图的生成树不 是唯一的。
乒乓选手抽签情况
人 财总 事 务工 科 科程
师
生 产 副 厂
经 营 副 厂
长
长
新技
产术 品科生设 供 动 开 产备 应 力 发 科科 科 科 科
销检 售验
OO科RR科
树—树的性质
定理6 T=(V, E), |V|=n, |E|=m, 则下列关于树的说 法是等价的。
（1）T是一个树（即T是不含圈的连通图）
D
图已经应用于物质结构、交通、信息传递等的描述OORR
图与网络的基本概念（1）
图：这里讨论的图由点以及点与点间的连 线构成，与平面几何的图不同，这里只关 心图中有多少个点，点与点间有无连线， 至于点与点间的连线是直线还是曲线，点 的相对位置，则是无关紧要的。
OORR
图与网络的基本概念（2）
定义1 一个图是由点集V={vi}和V中的元素 的无序对的一个集合E={ek}所构成的二元组， 记为G=(V, E)，V中的元素vi叫做顶点，E中 的元素ek叫做边
子图
生成子图OORR
图与网络的基本概念（10）
有时需要用图来表示事物及事物之间的定量
的联系，这时图中除了顶点与边外，还有与
点或边有关的某些数量指标，常称它们为
“权”，权在图中可以表示距离、费用、通
过能力等。这种点或边带权的图称为网络
（或赋权图）
11 1
32
5 7
3
4
2
1 5
8 3
6 OORR
连通图（1）
OORR
树—树的性质
（2）T无圈，且m=n-1
OORR
树—树的性质
（3）T连通，且m=n-1
OORR
树—树的性质
（4）T无圈，但每加一新边就得到唯一的 一个圈 T是边数最多的无 圈图
OORR
树—树的性质
（5）T连通，但任舍去一边就不连通 T是边数最少的连 通图
OORR
树—树的性质
（6）T中任意两点有唯一一条链相连
定理3 无向连通图G是 欧拉图，当且仅当G中 无奇点
OORR
欧拉回路（2）
推论1 无向连通图G为欧拉图，当且仅当G的 边集可以划分为若干个初等回路。
推论2 无向连通图G中有欧拉道路，当且仅
当G中恰好有两个奇点。
哥尼斯堡七桥问题无解
一笔画问题
A
C
D
B
OORR
欧拉回路（3）
定理4 连通有向图G是欧拉图，当且仅当它的 每个顶点的出次等于入次。
定义8 无向图中一个点、边交错的序列，序
列中的第一个和最后一个元素都是点，若其
中每条边以序列中位于它之前和之后的点为
端点，则称这个点边序列为图中连接其第一
个点与最后一个点的链。链中所含的边数称
为链长。
链，但只是简单链 而非初等链
简单链：没有重复边；初 等链：既无重复边也无重 复点。对有向图可类似定
义致链，，则如称果 为各 道边 路的 。方向OOR一R
4
1
1 2 13 1
4
4
5 52 4 5
3
2
4
1
1 2 13 1
4
4
5 52 4 5
3
2
OORR
最小生成树—解法（2）
破圈法：
这种方法每步从图 中任选一条圈，然 后去掉该圈中权最 大的边，直到图中 没有圈为止。
4
1
1 2 13 1
4
4
5 52 4 5
3
2
OORR
根树
定义17 若一个有向图在不考虑边的方向时是 一颗树，则称这个图是有向树。
定义5 以v为端点的边数，叫做点v的次 (degree)，记作deg(v), 或简记为d(v)。
d(v1)=4
e1
v1
e2
e3
v2
d(v2)=3
e4 e5 奇点 v5
偶点
v4 e6 v3
悬挂点 悬挂边
孤立点
OORR
图中顶点次的性质
定理1 任何图中顶点次数的总和等于边数 的2倍。
定理2 任何图中次为奇数的顶点必有偶数 个。
连通图
非连通图
OORR
图的矩阵表示—邻接矩阵
对于图G=(V, E), |V|=n, 构造一个矩阵A=(aij)nn,
其中：
aij
1, 0,
(vi , v j ) E 其他
v2 v1
v3
v1 0 1 1 0 0 0
v4
v2 0 0 0 1 0 0
A
v3
0
1
0
0
0
0
v5
v6
v4 0 0 0 0 1 1
例
e1
V={v1,v2,v3,v4,v5}
v1
e2
v2
e4
e5
e3
v4
e6
v3
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(v1,v1), e2=(v1,v2)…
v5
OORR
图与网络的基本概念（3）
相邻：图中的两点间存在连线（边），则 称这两点相邻，并称它们是这条边的端点； 若两条边有公共的端点，则称这两条边相 邻，并称它们是其公共端点的关联边。
OORR
中国邮路问题解法（1）
若G是欧拉图，则按欧拉回路走，就是满足 要求的经过每边至少一次且总权最小的走法。
ae
d
f
b
c
若G中有奇点，则G不是
欧拉图，因此要连续地走
过每边至少一次，则必然
有某些边不止一次走过。
这相当于在G中添加一些
重复的边，使得到的新图
G*没有奇点且满足总路
程最短。
OORR
中国邮路问题解法（2）
v5
0
0
1
0
0
1
v6 0 v1
0 v2
0 v3
0 v4
v50OORvR06
图的矩阵表示—权矩阵
对于网络（赋权图）G=(V, E), |V|=n, 其中边
(vi, vj)上有权wij，构造一个矩阵A=(aij)nn, 其
中：
aij
0w,ij
, (vi , 其他
v
j
)
E
v1 1
3 v2
4
2
5
v3
连通有向图G有欧拉道路，当且仅当这个图中
除了两个顶点外，其余每个顶点的出次等于
入次，且这两个顶点中，一个顶点的入次比
出次多1，另一个的入次比出次少1。
v2
v1
v4
v3
v6 v5
OORR
中国邮路问题
一个邮递员，负责某一地区的信件投递， 他每天要走邮局出发，走遍该地区所有街 道，再返回邮局，问应如何安排送信的路 线可以使所走的总路程最短？ 用图论的语言描述就是：给定一个连通图G， 每边有非负权l(e)，要求一条回路过每边至 少一次，且满足总权最小。