山东省2013年高二暑假作业(七)理科数学

2013高二数学（理）暑假作业（七）
一、选择题 1．复数2
2(
)i i
+= A ．34i -- B ．34i -+ C ．34i - D ．34i +
2.设全集U 是自然数集N ，集合{}{}
1,2,3,1A B x N x ==∈≤，则如图所示的阴影部分的集合为
A.{}0,1
B.{}1,2
C.{}2,3
D.{}0,1,2
3. 已知x 与y 之间的一组数据：
x 0 1 2 3 y
1
3
5
7
则y 与x 的线性回归方程+=a x b y 必过点( ) A.(1.5 ,4) B. (2,2) C.(1.5 ,0) D.(1,2)
4. 曲线⎪⎩
⎪⎨
⎧+-=
++-=λλλλ
11132y x (λ为参数)与y 坐标轴的交点是（ ） A ．,0( )52 B ．,0( )51 C ．,0( )4- D ．,0( )9
5 5 .在ABC △中，60,6,10A b c ===，则ABC △的面积为
A. 156
B.153
C.15
D.30
6. 已知抛物线2
4y x =的准线与双曲线()22
21,0x y a a
-=＞交于A,B 两点，点F 为抛物
线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则双曲线的离心率是
A.3
B.6
C.2
D.3
7.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形且体积为1
2
，则该几何体的俯视图可以是
8. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为321S =，则4a = A ．32
B.24
C.27
D ．54
9．函数f (x )＝e x
－1x
的零点所在的区间是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2 10．
如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入（ ） A. k≤11 B.k≥11 C .k≤10 D .k≥10
11.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2
2
8150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是
A.4
3
-
B.54
-
C.35
-
D.53
-
12在下列函数中，最小值是22 A.12lg (0)lg y x x x =+
> B. 2sin sin y x x
=+()0,x π∈ C. 22
3
y x =
+ D.2x
x
y e e
-=+
二、填空题
13. 若不等式2
20ax bx ++>的解集是11
(,)23
-，则a b +的值为 .
14.在复平面内，记复数3i +对应的向量为OZ ，若向量OZ 绕坐标原点逆时针旋转
60 得到向量'OZ 所对应的复数为___________________．
15.已知实数[]0,10x ∈，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于47的概率为
16.过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1),则圆C 的方程为
三、
解答题
17.已知函数1
21
)(+-
=x a x f . （1）证明：不论a 为何实数()f x 总为增函数 （2）确定a 的值, 使)(x f 为奇函数； 18．(本小题满分12分)
如图所示，直角梯形ACDE 与等腰直角ABC ∆所在平面互相垂直，F 为BC 的中点， 90BAC ACD ∠=∠=︒，AE ∥CD ，
22DC AC AE ===.
（1）求证：平面BCD ⊥平面ABC ; （2）求证：AF ∥平面BDE ； （3）求四面体B CDE -的体积.
19．己知等比数列{}n a 所有项均为正数，首11a =，且435,3,a a a 成等差数列． (I)求数列{}n a 的通项公式；
(II)数列{}1n n a a λ+-的前n 项和为n S ，若*
21()n n S n N =-∈，求实数λ的值．
20.已知抛物线2
4y x =的焦点为F 2，点F 1与F 2关于坐标原点对称，直线m 垂直于x 轴（垂足为T ），与抛物线交于不同的两点P,Q 且125F P F Q ⋅=-.
（I ）求点T 的横坐标0x ；
（II ）若以F 1,F 2为焦点的椭圆C 过点21,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
①求椭圆C 的标准方程；
②过点F 2作直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，设22F A F B λ=，若[]2,1,TA TB λ∈--+求的取值范围.
2013高二 数学（理）暑假作业（七）参考答案
一、选择题
1-5 ACABB 6-10 BABBD 11-12AD 二、填空题 13.14- 14． 2i 15．1/2
16.
22
3)2x y -+=（ 三、解答题
17． (1) 依题设)(x f 的定义域为),(+∞-∞ 原函数即1
21
)(+-
=x
a x f ，设12x x <, 则1
2
1211
()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++, 12x x <, 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,12()()0,
f x f x ∴-<
即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. (2)
()f x 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-,即11
2121
x x
a a --
=-+++ 则11
221211211212=+++=+++=-x x
x x x
a ，
∴1.2a = 11().221
x f x ∴=-+
18．（1）∵面ABC ⊥面ACDE ，面ABC 面ACDE AC =，CD AC ⊥,
∴DC ⊥面ABC ， 又∵DC ⊂面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ABC . （2）取BD 的中点P ，连结EP 、FP ，则FP
1
2
DC ,
又∵EA
1
2
DC ，∴EA FP ，
∴四边形AFPE 是平行四边形，∴AF ∥EP ，
又∵EP ⊂面BDE 且AF ⊄面BDE ，∴AF ∥面BDE . （3）∵BA ⊥AC ，面ABC
面ACDE =AC ， ∴BA ⊥面ACDE .
∴BA 就是四面体B CDE -的高，且BA =2. ∵DC =AC =2AE =2，AE ∥DC ， ∴11
(12)23,121,22
ACE ACDE S S ∆=+⨯==⨯⨯=梯形 ∴312,CDE
S ∆=-= ∴14
22.33
E CDE V -=⨯⨯=
19．（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由条件得423,3,q q q 成等差数列，所以
4326q q q +=
解得2,3=-=q q 或
由数列{}n a 的所有项均为正数,则q =2 数列{}n a 的通项公式为n a =1
2
n -(*)n N ∈
（Ⅱ）记n n n a a b λ-=+1,则112)2(22---=⋅-=n n n n b λλ 若0,0,2===n n S b λ不符合条件； 若2≠λ， 则
21
=+n
n b b ，数列{}n b 为等比数列，首项为λ-2，公比为2, 此时)12)(2()21(2
1)
2(--=---=
n n n S λλ 又
n S ＝21(*)n
n N -∈,所以1=λ
20．解：（Ⅰ）由题意得)0,1(2F ，)0,1(1-F ，设),(00y x P ，),(00y x Q -， 则),1
(001y x P F +=，),1(002y x Q F --=. 由521-=⋅F F ，得512020-=--y x 即42
020-=-y x ，① 又),(00y x P 在抛物线上，则02
04x y =，②
联立①、②易得20=x （Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意得1=c ，
设椭圆C 的标准方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，
则121
1
2
2=+b a ③ 122+=b a ④
将④代入③，解得12
=b 或2
1
2
-
=b （舍去） 所以212
2
=+=b a
故椭圆C 的标准方程为12
22
=+y x （ⅱ）方法一：
容易验证直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x ky =+
将直线l 的方程代入2
212
x y +=中得：22(2)210k y ky ++-= 设112212(,),(,),00A x y B x y y y ≠≠且，则由根与系数的关系， 可得：12222
k
y y k +=-+ ⑤ 1221
2
y y k =-
+ ⑥ 因为B F A F 22λ=，所以
1
2
y y λ=，且0λ<. 将⑤式平方除以⑥式，得：
22
1222
214142222
y y k k y y k k λλ++=-⇒++=-++ 由[]5111
2,1+22022λλλλλ∈--⇒-≤≤-⇒-≤++≤22
14022k k ⇒-≤-≤+
所以 7
2
02
≤
≤k 因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=-，所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+，
又12222k
y y k +=-+，所以2121224(1)4()22k x x k y y k ++-=+-=-+，
故222
2
2
2
12122222
16(1)4||(4)()(2)(2)k k TA TB x x y y k k ++=+-++=+++
22222222
16(2)28(2)828816(2)2(2)
k k k k k +-++==-++++， 令212t k =
+，所以2207k ≤≤ 所以2
7111622k ≤≤+，即71[,]162
t ∈， 所以2
2
2
7
17||()828168()4
2
TA TB f t t t t +==-+=--. 而71[
,]162t ∈，所以169()[4,]32
f t ∈.
所以||[2,8
TA TB +∈. 方法二：
1）当直线l 的斜率不存在时，即1-=λ时，)22,
1(A ，)2
2,1(-B ， 又T )0,2(
，所以((1,222
TA TB +=-+--= 2）当直线l 的斜率存在时，即[)1,2--∈λ时，设直线l 的方程为)1(-=x k y
由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12
22y x k
kx y 得0224)21(2222=-+-+k x k x k
设()()1122,,,A x y B x y ，显然120,0y y ≠≠，则由根与系数的关系，
可得：2221214k k x x +=+，2
221212
2k
k x x +-=⋅ 2
21212122)(k k
k x x k y y +-=
-+=+ ⑤
2
2
21212
2121)1)((k k x x x x k y y +-=++-=⋅ ⑥
因为F F 22λ=，所以
1
2
y y λ=，且0λ<. 将⑤式平方除以⑥式得：
2
214
21
k +-=
++
λ
λ
由[)1,2--∈λ得⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈+
2,251
λλ即⎪⎭⎫
⎢⎣⎡-∈++0,2121λλ
故0214212<+-≤-
k ，解得2
72
≥
k 因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=-， 所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+，
又2
22121)1(44k k x x ++-=-+，
2
22
22222
212
21)21(4)21()1(16)()4(k k k k y y x x ++++=++-+=+
2
2222222)21(221104)21(2)21(10)21(4k k k k k ++++=+++++=
令2211k t +=
，因为272
≥k 所以8121102≤+<k ，即⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈81,0t ，
所以2
2
2
5
1721042()2
2TA TB t t t
+
=++=+-
1694,32⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
.
⎥⎦⎤
⎝
⎛+8213,
2 综上所述：||TA TB +∈.。