数学归纳法教案

§2.3.1数学归纳法教案

一、教情分析

数学归纳法作为直接证明的一种特殊方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。人教课标版教科书把数学归纳法安排在选修2-2第二章推理与证明中，教学时间为2课时，本教案为数学归纳法的第一节课。在此之前，学生已经通过数列一章内容和推理与证明内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，知道不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论的归纳推理是合情推理，而由合情推理得出的结论未必正确。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要载体，也是培养学生严密的推理能力及抽象思维能力的好素材。

二、教学目标

1.知识与技能目标

（1）了解不完全归纳法属于合情推理，而由合情推理得出的一般结论未必正确。（2）能以递推思想为指导，理解数学归纳的原理与实质．

（3）掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题．

2.过程与方法目标

（1）通过对数学归纳法的学习，让学生经历知识的构建过程——发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

（2）借助“多米诺骨牌”让学生体会类比的思想。

（3）感受从有限思维发展到无限思维的思考过程。

3.情感态度价值观

（1）利用多米诺骨牌，努力创设课堂愉悦情境，提高学生学习的兴趣和课堂效率。

（2）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。

三、教学重难点

1.重点

理解数学归纳法的原理，明确用数学归纳法证明命题的两个步骤，初步会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的数学恒等式。

2.难点

对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。

四、教学手段与方法

多媒体辅助，采用情境教学法、类比教学法、自主探究、合作交流的教学模式，问题探究和启发式相结合的教学方法。

五、教学过程

1、创设问题情境

（1）法国数学家费马观察到：

12342222215,

2117,

21257,

2165537

+=+=+=+= 都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如122+n

（n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数670041764112525⨯=+=F 不是质数,从而推翻了费马的猜想。

这告诉我们，由合情推理所获得的结论不一定可靠。

（2）提出数学问题

数列{}n a ，已知11a =，*1(N )1n n n a a n a +=∈+，通过对n =1,2,3,4前四项的归纳，我们能否猜想出通项公式？

设计意图：借助数学史料，引导学生体会归纳法，并回顾之前学习，了解不完全归纳法的局限性，同时肯定它的价值和意义。提出问题，培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，我所找的突破口就是学生的概括过程。

刚才我们从有限项归纳猜想得到的通项公式一定是正确的吗？怎么去验证？正整数有无限多个，不可能一一验证，那么该如何证明这类有关正整数的命题呢？我们要寻求一种方法：通过有限步骤推理，证明n 取所有正整数都成立。引出数学归纳法。

设计意图：怎么验证不完全归纳法所得结论，构造悬念，激发学生探究问题的欲望，问题层层递进，为学生营造探究的课堂氛围。特点是师生互动，学生能积极参与。

（3）演示多米诺骨牌游戏，分解过程，引导学生思考：多米诺骨牌全部倒下要满足什么条件

设计意图：展示多米诺骨牌游戏，活跃课堂氛围，激发学生的兴趣。这里从生活中多米诺骨牌引入，使抽象的原理寓于简单的事例当中，通俗易懂，让学生观察多米诺骨牌倒下过程，将抽象的数学找到现实的固着点，形象化的展示，通过探讨骨牌全部倒下的条件，初步尝试，感性认识，为类比得出数学归纳法做铺垫。

2、类比探究 你认为证明数列的通项公式是*1(N )n a n n

=∈这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？

能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

设计意图：把问题作为教学的出发点，引导学生学会类比，激起学生探究热情，让学生将生活例子回归理性，帮助学生积极思考，主动构建新知识。

类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境1中对于通项公式猜想，设想将全部正整数由小到大依次排列为无限长一队1,2,3,4,,,1,k k +……，将多米诺骨牌原理中的第一块骨牌倒下对应于验证猜想1=n 成立，第k 块倒下，使第1

k +块倒下对应于当k n =时猜想成立，即1k a k

=，那么能推出=n 1+k 时等式也成立，那么111

k a k +=+，这样，对于猜想，1=n 时等式成立2=⇒n 时等式成立3=⇒n 时等式成立⇒……所以n 取任何正整数猜想都成立，即数列的通项公式是1n a n

= 设计意图：使学生经历一次数学研究与发现的完整过程，并进一步熟悉数学归纳法。

3、概念新知

上面这种证明方法叫做数学归纳法，数学归纳法一般被用于证明与正整数有关的数学命题，下面请同学们总结一下用数学归纳法证题的步骤。

学生交流后，共同总结：

（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；

（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。

根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确。概括起来就是“两个步骤，一个结论。”

设计意图：方法的提炼事实是对一种模式的提炼，通过对引例数学问题的解决过程的体验，学生由感性认识上升为理性认识，感受数学思维的严密性，理解类比在我们解决问题中的作用，培养学生合作交流和归纳抽象的能力。

4、提问质疑，理解升华

问题1：数学归纳法两个步骤各起到了怎样的作用呢？

问题2：第一步中起点可作适当偏移。如n 边形内角和

问题3：这一思想方法在生活中由应用吗？（比如火车开动）

设计意图：问题1,2让学生更深刻的了解数学归纳法的本质，问题3通过举例子，让学生进一步理解数学归纳法的原理，体会数学与现实生活之间的联系和类比，增进对数学学习的兴趣。

5、巩固新知，规范步骤

例：用数学归纳法证明：1211+2+2++221()n n n N ++=-∈L

设计意图：让学生应用中感受数学归纳法的本质，同时注意学生在书写表达上是否规范。

6、小结（师生共同完成）