34 线性算子的基本定理

3.4 线性算子的基本定理
汉恩-巴拿赫延拓定理、逆算子定理、闭图像定理以及共鸣定理是泛函分析的四大基石，证明具有一定的技巧，应用非常广泛．前面已经学习了Hahn-Banach 定理，知道一般的线性赋范空间X 中存在足够多的线性连续泛函，从而使共轭空间的研究才有意义．本节探讨其它三个重要的定理．
汉恩-巴拿赫延拓定理(The Hahn-Banach Theorem)
定理 设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足
(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) X
G
F f
=．
其中X
F
表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；G
f
表示G 上的线性泛函的范数．
延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．
3.4.1 逆算子定理(The Inverse Mapping Theorem)
在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．
定义3.4.1 逆算子(广义上)
设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ⊂，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的
逆算子(invertiable operator)．
定义3.4.2 正则算子
设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：()G X Y ⊂→满足 (1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子， 则称T 为正则算子(normal operator)．
注1 ①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？
性质3.4.1 若T ：()G X Y ⊂→是线性算子，则1T -是线性算子． 证明 12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：
1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--
1212()y y y y αβαβ=+--0=
由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□
定理3.4.1逆算子定理
设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．
例 3.4.1 设线性赋范空间X 上有两个范数1⋅和2⋅，如果1(,)X ⋅和2(,)X ⋅均是Banach
空间，而且2⋅比1⋅强，那么范数1⋅和2⋅等价．(等价范数定理)
证明 设I 是从由2(,)X ⋅到1(,)X ⋅上的恒等映射，由于范数2⋅比1⋅强，所以存在0M >，使得x X ∀∈有
112Ix x M x =≤
于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ∀∈有
1212
I x
x M'x -=≤．
故范数1⋅和2⋅等价．□
3.4.2 闭图像定理(The Closed Graph Theorem)
学习微积分时，我们知道闭区间[,]a b 上的函数()y f x =图形是xoy 平面上的一条曲线，即为2R 中的一个点集(){(,)(),[,]}G f x y y f x x a b ==∈，特别当()[,]f x C a b ∈，这个点集()G f 为2R 中的闭集，现在将此结论推广到更一般的线性赋范空间上．
定义3.4.3 线性赋范空间的乘积
设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，考虑直积集{(,),}X Y x y x X y Y ⨯=∈∈，
1122(,),(,)x y x y X Y ∀∈⨯，α∀∈K ，在X Y ⨯上定义加法和数乘，
11221212(,)(,)(,)x y x y x x y y +=++，1111(,)(,)x y x y ααα=
那么X Y ⨯构成线性空间．设,x X y Y ∈∈，其范数分别为,x y ，于是在X Y ⨯上可定义范数
1(,)
()p p
p
p
x y x y =+(1)p ≤<+∞，(,)
max(,)x y x y ∞
=
最常用的是1(,)x y x y =+，1
2
22
2(,)()x y x y =+，(,)
max(,)x y x y ∞
=，可证明这些范
数都是X Y ⨯上的等价范数．此时称X Y ⨯为X 和Y 的乘积空间．
注2 通过上述范数的定义可知乘积空间X Y ⨯是线性赋范空间，于是在X Y ⨯中就有了开集、闭集、列紧集、收敛列、完备性等概念和相应的结论．例如点列{(,)}n n x y X Y ⊂⨯收敛于
00(,)x y 当且仅当
0000(,)(,)(,)0n n n n x y x y x x y y -=--→．
同时易证
00(,)(,)n n x y x y →⇔00,n n x x y y →→，
可见若F X Y ⊂⨯，F 闭集的的充要条件为：(,)n n n A x y F ∀=∈，若(,)n A A x y →=，即n x x →，n y y →，则有A F ∈．
定义3.4.4 闭算子
设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若T 的图像
(){(,),()}G T x y y Tx x D T ==∈
是乘积空间X Y ⨯的闭子集，则称T 为闭线性算子，简称闭算子．
引理3.4.1 设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，T ：()G X Y ⊂→是线性算子，那么T 为闭线性算子⇔()n x D T ∀∈，当n x x X →∈，n Tx y Y →∈时，必有()x D T ∈且Tx y =．
证明 ⇒如果T 为闭线性算子，那么当()n x D T ∈，n x x X →∈，n Tx y Y →∈时，显然有{(,)}()⊂n n x Tx G T ，而且在乘积空间X Y ⨯中有(,)(,)n n x Tx x y →，由于()G T 是X Y ⨯中的闭集，
故(,)()x y G T ∈，即()x D T ∈，Tx y =．
⇐(,)()n n x Tx G T ∀∈，当(,)(,)n n x Tx x y →
时，显然有n x x →，n Tx y →，由条件知()x D T ∈且Tx y =．于是(,)(,)()x y x Tx G T =∈，即()G T 中的每一收敛点列的极限都在()G T 中，所以()G T 是闭集，即T 为闭线性算子．□
注3 对于线性算子而言，已有三个主要的概念：连续性、有界性和闭性，其中连续性和有界性等价，因此，需要研究“线性有界算子”与“闭线性算子”之间的关系．
定理3.4.2 设T ：()()D T X Y ⊂→是线性有界算子，如果()D T 是X 的闭线性子空间，那么T 为闭线性算子．
证明 设()n x D T ∈且有n x x X →∈，n Tx y Y →∈．因为()D T 是X 的闭线性子空间，所以
()x D T ∈；又因为T 有界，即连续算子，所以
lim lim n n n n y Tx T x Tx →∞
→∞
===
故根据上述引理可得T 为闭线性算子．□
注4 当()D T X =时，若T ：X Y →是线性有界算子，则由定理知T 为闭算子． 定理3.4.3 闭图像定理
设X 和Y 都是Banach 空间，T ：()()D T X Y ⊂→是闭线性算子，()D T 是X 的闭线性子空间，那么T 为线性连续算子．
证明 略．
推论3.4.1 设X 和Y 都是Banach 空间，()T X Y ∈→，那么
T 为线性有界算子⇔T 为闭算子．
例3.4.2 设[0,1]X C =，(1)(){()[0,1]}[0,1]D T x X x't C C =∈∈=，定义微分算子D ：()D T X
→如下：()x D T ∀∈，()d
x x t dt
=
D ，则D 是闭算子，但是D 无界的． 证明 由第三节例3.3.3后的反例知：令()()[0,1]n t a n x t e C --=∈，可得
()[,]
max 1n t a n t a b x e --∈==；n x n =→∞D
知T 是无界的．下证T 是闭算子．设()n x D T ∈，且n x x →，n Tx y →．因为在[0,1]C 中的收敛是函数列的一致收敛，由()()()'n n x t Tx t y t =→，即()'n x t 在[0,1]C 上一致收敛()y t ，所以有
0()lim ()t
t 'n n y d x d ττττ→∞
=⎰
⎰0
lim ()t
'n n x d ττ→∞=⎰lim[()(0)]n n n x t x →∞
=-()(0)x t x =-
即0()(0)()t
x t x y d ττ=+⎰，从而()()x t D T ∈ ，且()()Tx x't y t ==，根据上述引理3.4.1(闭算子的等价条件)知，T 是闭算子．□
例3.4.2说明算子的闭性不蕴含有界，下面的例子则说明有界也不蕴含闭性．
例 3.4.3 设[,]X C a b =，()[,]D T P a b =是[,]a b 上的实系数多项式函数的全体，再令:()[,]T D T C a b →是恒等算子，那么T 是线性有界算子，但T 不是闭算子．
证明 因为()x D T ∀∈，Tx x =，所以显然有T 是线性有界算子．令()sin ()x t t X D T =∈-，由于()[,]D T P a b =在X 中稠密，所以存在点列{}()n x D T ⊂，使得()n x x n →→∞，即n n Tx x x =→，但是(,)(sin ,sin )()x Tx t t G T =∉，故T 不是闭算子．□
3.4.3 共鸣定理(The Banach-Steinhaus Theorem)
在许多数学问题中，常常会遇到一族算子的有界问题，而不是仅仅考虑某一个算子的有界问题，即需要讨论这一族线性有界算子在什么条件下一致有界？要回答这一问题，涉及到如下在理论和应用上大都十分重要的定理——共鸣定理．
定义3.4.5 一致有界
设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，()F B X Y ⊂→，如果{ }T T F ∈是有界集，则称算子族F 为一致有界．
定理3.4.4 共鸣定理
设X 是Banach 空间，Y 是线性赋范空间，算子族()F B X Y ⊂→，那么
{ }T T F ∈是有界集(F 一致有界)⇔x X ∀∈，{ }Tx T F ∈为有界集．
证明 (1) 必要性⇒ 因为{ }T T F ∈是有界集，所以存在0M >，T F ∀∈，有T M ≤，于是x X ∀∈，不妨设x a =，那么
Tx T x M x M a ≤≤≤⋅
因此{ }Tx T F ∈为有界集．
(2) 充分性⇐x X ∀∈，定义sup F
T F
x x Tx ∈+ ，显然F ⋅是X 上的范数且比⋅强，下面证
明(,)F X ⋅完备．
如果s u p ()0m n
m n m n F
T F
x x x x T x x ∈-=-+-→(,)m n →∞，由X 是Banach 空间知存在
x X ∈，使得
0n x x -→()n →∞．
又因为0ε∀>，N ∃∈N ，使得只要,m n N ≥，便有
sup m n T F
Tx Tx ε∈-<．
从而T F ∀∈有
n n m m Tx Tx Tx Tx Tx Tx -=-+-n m m Tx Tx T x x ≤-+-0→()n →∞．
因此得sup ()0n n T F
x x T x x ∈-+-→()n →∞，即0n F
x x
-→，可见(,)F X ⋅完备．
根据等价范数定理知范数F ⋅和⋅等价，从而存在0M >，使得x X ∀∈有
sup sup F
T F
T F
Tx x Tx x
M x ∈∈≤+=≤
于是可得T F ∀∈有T M ≤．□
注5 共鸣定理也称为一致有界定理(或原理)，由共鸣定理知，当F 不一致有界时，即
sup{ }T T F ∈=∞，则存在0x X ∈，使得0sup{ }Tx T F ∈=∞，称0x 为算子族F 的共鸣点．
例3.4.4 设无穷矩阵
111212122212j j i i ij a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
满足2
1
ij i a ∞
=<∞∑，1,2,3,j = ，并对任何212(,,,,)i x x x x l =∈ 有
Tx xA =11
12121
2221212(,,,,)j j i i i ij a a a a a a x x x a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
12(,,,,)i y y y = 2y l =∈
其中1
j i ij i y x a ∞
==∑，1,2,j = ，证明算子T 是线性连续算子．
证明 显然22()T l l ∈→是线性算子，又知2l 是Banach 空间，所以由闭图像定理知，算子T 连续等价于T 是闭算子．设2{}n x l ⊂，()n x x n →→∞，2n Tx y l →∈，下面证明y Tx =．记
12(,,,,)i x x x x = ；00
012(,,,,)j Tx y y y = ；12(,,,,)j y y y y = ；
12(,,,,)n n
n n i x x x x = ；12(,,,,)n n n n j Tx y y y = ．
由n Tx y →知，对每一个j 而言，有
122
1()n
n j
j j
j j y y y y ∞
=-≤-∑0→ (n →∞)
另一方面对每一个j 有
01
()n n j
j
i i ij i y y x
x a ∞
=-=
-∑
1
()n i i ij i x x a ∞
=≤-∑
112
2
2
2
11
()()n ij i
i i i a x x ∞
∞
==≤-∑∑
12
2
1
()
ij n i a x x ∞
==-∑0→ (n →∞)
所以0j j y y =，即y Tx =．由闭算子的等价条件知T 是闭线性算子．□
例3.4.5 (Fourier 级数的发散问题) 存在一个周期为2π的实值连续函数，它的Fourier 级数在0t =点发散.
证明 记周期是2π的实值连续函数全体为2C π，对于2f C π∈，f 导出的Fourier 级数为：
01
1
(cos sin )2n n n a a nt b nt ∞
=++∑，其中 1
()cos d n a f t nt t π
π
π
-
=
⎰ (0,1,2,n = )；1
()sin d n b f t nt t π
ππ
-
=
⎰ (1,2,3,n = ).
当0t =时，级数为01
1
2n n a a ∞
=+∑，前1n +项部分和为
01
1
11
()()[12cos ]d 22n
n
n n n n S f a a f t nt t π
ππ-
===+=
+∑∑⎰
记1
()12cos n
n n K t nt ==+∑，计算可得1
sin()2()sin 2
n n t
K t t +=
(计算略)，于是 1()()()d 2n n
S f f t K
t t π
ππ
-
=
⎰．
下面证明存在2f C π∈，使得{()}n S f 发散．显然2:n S C π→R 是线性泛函．又因为
[,]
1()max {()}()d 2n n
t S f f t K
t t π
ππππ
-
∈-≤⋅
⎰n M f ≤⋅
其中1()d 2n n
M K
t t π
ππ-
=⎰，所以n S 是2C π上的线性连续泛函．可证明n S 的范数为1()d 2n n n
S M K
t t π
ππ
-
==
⎰(证明略)．
由于2C π是Banach 空间，为了证明存在2f C π∈，使得{()}n S f 无界，根据共鸣定理，只需证{}n S 无界．因为
1
sin()1
2d 12sin 2
n n t S t t π
π
π
-
+=
⎰202sin(21)d sin n s s s π
π+=⎰ (2t s =) (1)22(21)0
2(21)
sin(21)2
d k n
n k k n n s
s s
πππ
++=++≥
∑⎰
(1)2202
sin 2
d k n
k k u u u
πππ
+==
∑⎰
((21)u n s =+)
(1)2202
2
2
sin d (1)k n
k k u u k ππππ
+=≥+∑
⎰
(1)22202
4
1sin d 1k n
k k u u k π
π
π+==+∑⎰ 22
2004
1sin d 1n
k u u k π
π==+∑⎰22
41
1n
k k π==+∑→∞
所以{}n S 无界．□。