34 线性算子的基本定理

3.4 线性算子的基本定理

汉恩-巴拿赫延拓定理、逆算子定理、闭图像定理以及共鸣定理是泛函分析的四大基石，证明具有一定的技巧，应用非常广泛．前面已经学习了Hahn-Banach 定理，知道一般的线性赋范空间X 中存在足够多的线性连续泛函，从而使共轭空间的研究才有意义．本节探讨其它三个重要的定理．

汉恩-巴拿赫延拓定理(The Hahn-Banach Theorem)

定理 设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足

(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) X

G

F f

=．

其中X

F

表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；G

f

表示G 上的线性泛函的范数．

延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．

3.4.1 逆算子定理(The Inverse Mapping Theorem)

在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．

定义3.4.1 逆算子(广义上)

设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ⊂，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的

逆算子(invertiable operator)．

定义3.4.2 正则算子

设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：()G X Y ⊂→满足 (1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子， 则称T 为正则算子(normal operator)．

注1 ①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？

性质3.4.1 若T ：()G X Y ⊂→是线性算子，则1T -是线性算子． 证明 12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：

1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--

1212()y y y y αβαβ=+--0=

由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□

定理3.4.1逆算子定理

设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．

例 3.4.1 设线性赋范空间X 上有两个范数1⋅和2⋅，如果1(,)X ⋅和2(,)X ⋅均是Banach

空间，而且2⋅比1⋅强，那么范数1⋅和2⋅等价．(等价范数定理)

证明 设I 是从由2(,)X ⋅到1(,)X ⋅上的恒等映射，由于范数2⋅比1⋅强，所以存在0M >，使得x X ∀∈有

112Ix x M x =≤

于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ∀∈有

1212

I x

x M'x -=≤．

故范数1⋅和2⋅等价．□

3.4.2 闭图像定理(The Closed Graph Theorem)

学习微积分时，我们知道闭区间[,]a b 上的函数()y f x =图形是xoy 平面上的一条曲线，即为2R 中的一个点集(){(,)(),[,]}G f x y y f x x a b ==∈，特别当()[,]f x C a b ∈，这个点集()G f 为2R 中的闭集，现在将此结论推广到更一般的线性赋范空间上．

定义3.4.3 线性赋范空间的乘积

设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，考虑直积集{(,),}X Y x y x X y Y ⨯=∈∈，

1122(,),(,)x y x y X Y ∀∈⨯，α∀∈K ，在X Y ⨯上定义加法和数乘，

11221212(,)(,)(,)x y x y x x y y +=++，1111(,)(,)x y x y ααα=

那么X Y ⨯构成线性空间．设,x X y Y ∈∈，其范数分别为,x y ，于是在X Y ⨯上可定义范数

1(,)

()p p

p

p

x y x y =+(1)p ≤<+∞，(,)

max(,)x y x y ∞

=

最常用的是1(,)x y x y =+，1

2

22

2(,)()x y x y =+，(,)

max(,)x y x y ∞

=，可证明这些范

数都是X Y ⨯上的等价范数．此时称X Y ⨯为X 和Y 的乘积空间．

注2 通过上述范数的定义可知乘积空间X Y ⨯是线性赋范空间，于是在X Y ⨯中就有了开集、闭集、列紧集、收敛列、完备性等概念和相应的结论．例如点列{(,)}n n x y X Y ⊂⨯收敛于

00(,)x y 当且仅当

0000(,)(,)(,)0n n n n x y x y x x y y -=--→．

同时易证

00(,)(,)n n x y x y →⇔00,n n x x y y →→，

可见若F X Y ⊂⨯，F 闭集的的充要条件为：(,)n n n A x y F ∀=∈，若(,)n A A x y →=，即n x x →，n y y →，则有A F ∈．

定义3.4.4 闭算子

设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若T 的图像

(){(,),()}G T x y y Tx x D T ==∈

是乘积空间X Y ⨯的闭子集，则称T 为闭线性算子，简称闭算子．