概率论与数理统计第三章

Z 的密度函数为 f (z)
1 2
2 1 2 2
z2
2 2( 1 2 ) 2
e


fX (z y)fY (y)dy
被积函数大于零的区域为 : 1 z y 0 y 0
1 z 0时,fZ (z)
z 1
0
e ydy 1 e (z 1)
z (z 1)
z 0时,fZ (z)
z 1
z
e dy e e
1 y/2 e , 0 x 1, y 0, 解 : (1)f (x,y) f X (x)f Y (y) 2 0, 其它, 2 2 (2)a有实根即4X 4Y 0, X Y x2 2 1 x 1 1 2 y/2 P{X Y} f (x,y)dxdy dx e dy (1 e 2 )dx 0 0 2 0 2 x y
解: (1)
P{Z=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=1/6. P{Z=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=11/24. P{Z=2}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=0}=7/24. P{Z=3}=P{X=2,Y=1}=1/12. (2) Y 故Z=X+Y的分布列为 x 0 Z 0 1 2 3 1 pk 1/6 11/24 7/24 1/12 2
解 (1) P{Y m | X n} Cmp m (1 p)n m n 0 m n,n 0,1, 2, (2) P{X n, Y m} P{Y m | X n} P{X n} n m m nm Cn p (1 p) e n! 0 m n,n 0,1, 2,
0 1/6 1/8 1/24
1 1/3 1/4 1/12
(3)
P{M=0}=P{X=0,Y=0}=1/6; P{M=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=0, Y=1}=1/4+1/8+1/3=17/24; P{M=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=1/8; 即 M pk 0 1/6 1 17/24 2 1/8
3.设二维r.v.(X, Y)的概率密度为 Axy, 0 x 1, 0 y x, f (x,y) 0, 其它, (1)求常数A;(2)求边缘密度f X (x), f Y (y); (3)条件概率密度f X|Y (x | y);(4)P{X Y 1}.
解 : (1)因
注 : P{X Y 1} P{Z 1}
1 0
2 3 1 z dz . 3 6
6. 设离散型随机变量X与Y的分布列分别为 X 0 1 2 Y 0 1 pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3 且X与Y相互独立, 求:(1) Z=X+Y的分布列; (2) (X,Y)的联合分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).
4.设X与Y相互独立, e y , y 0, 1, 1 x 0, f X (x) f Y (y) 0, 其它, 0, y 0. 试求 : Z X Y的概率密度.
1.设某人从1, 2, 3, 4四个数中依次取出两个数, 记X为第一次所取出的数, Y为第二次所取出 的数, 若第一次取后不放回, 求X和Y的联合分 布律. P{X i, Y j} =P{X=i}P{Y=j|X=i}
第三章 习题课
一. 主要内容：
(1) 二维r.v.的分布函数, 离散型r.v.的联合 分布, 连续型r.v.的联合概率密度. (2) 边缘分布函数;边缘分布律;边缘概率密度.
(3) 条件分布律; 条件概率密度. (4) 随机变量的相互独立.
(5) 两个r.v.函数的分布.
二. 练习题: 1.设某人从1, 2, 3, 4四个数中依次取出两个数,记X 为第一次所取出的数, Y为第二次所取出的数, 若 第一次取后不放回, 求X和Y的联合分布律.
dx 8xydy dx
0 1/2
x
0
8xydy.
4.设X与Y相互独立, e y , y 0, 1, 1 x 0, f X (x) f Y (y) 0, 其它, 0, y 0. 试求 : Z X Y的概率密度.
解 : fZ (z)
0, i j, , 1 / 4 1 / 3 1 / 12, i j i,j 1, 2, 3, 4.
2.设某班车起点站上客人数服从参数为 ( 0) 的泊松分布, 每位乘客在中途下车的概率为p(0 p 1), 且中途下车与否相互独立,以Y表示中途下车的人数, 求 : (1)在发车时有n个人的条件下,中途有m人下车的概率; (2)二维随机变量(X, Y)的概率分布.
(4)
P{N=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1} +P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0} =1/6+1/3+1/8+1/24=2/3; P{N=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1}=1/3
即
N pk
0 2/3
1 1/3
1 y 1, 0 x 1, e 2 , y 0, 14题 : X ~ f X (x) Y ~ f Y (y) 2 0, 其它, 0, 且X与Y相互独立.(1)求X与Y的联合概率密度; (2)设含有a的二次方程为a 2 2Xa Y 0, 试求a有实根
y
1 e (z 1) , 1 z 0, z (z 1) f Z (z) e e , z 0, 0, 其它.
注：P106，17与此类似
5. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 8xy, 0 x 1, 0 y x, f (x,y) 0, 其它. 求Z X Y的概率密度.
2x , y x 1, 2 (3)当0 y 1时,f X|Y (x|y) 1 y 0, 其它,
(4)P{X Y 1}

1/2
x y 1

f (x,y)dxdy
0
dy
1 y
y
8xydx 1 / 6.或
1 1 x

1/2
0
的概率.
1 e
0
1
x2 /2
dx
e
x2 / 2
1 2
1
1wenku.baidu.com2
0
dx
1 2 ((1) (0)) 0.1445.
复习题（三）
第4题
2 由(X, Y)的概率密度f (x, y)知, X、Y相互独立, 且X ~ N(0, 1 ) 2 2 Y ~ N(0, 2 ), 则Z X Y ~ N(0, 1 2 ) 2
2. 设某班车起点站上客人数X服从参数为 ( 0) 的泊松分布, 每位乘客在中途下车的概率为p(0 p 1), 且中途下车与否相互独立,以Y表示中途下车的人数, 求 : (1)在发车时有n个人的条件下,中途有m人下车的概率; (2)二维随机变量(X, Y)的概率分布.
3.设二维r.v.(X, Y)的概率密度为 Axy, 0 x 1, 0 y x, f (x,y) 0, 其它, (1)求常数A;(2)求边缘密度f X (x),f Y (y); (3)条件概率密度f X|Y (x | y);P{X Y 1}.




f (x,y)dxdy 1,
1
0

x
0
A Axydxdy 1, 8
x 8xydy 4x 3 , 0 x 1, 0 (2)f X (x) f (x,y)dy ; 0, 其它, 1 2

A 8;
8xydx 4y(1 y ), 0 y 1, y fY (y) f (x,y)dx 0, 其它,
6. 设离散型随机变量X与Y的分布列分别为 X 0 1 2 Y 0 1 pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3 且X与Y相互独立, 求: (1) Z=X+Y的分布列; (2) (X,Y)的联合分布列； (3) M=max(X,Y); (4) N=min(X,Y).
5.解
2 3 3 z ,0 z 1 z 1 z3 f Z (z) 8( ),1 z 2, 2 3 12 0, 其它.