第三章初等函数第1讲函数概念讲义

定义4 设 A、B为非空集合，如果按照某种对应
法则 f ，对于 A 中任一元素 a，B中都有且仅有
一个元素 b与之对应，就称 f是一个从集合 A到
集合 B的映射，记 f A B．特别地，当 A ，B
都是实数集合时，则称从A到 B 的映射f为函数．
函数通常记作 f A B ，当 a对应 b时称 b是 的函数值，或 b是a 的函数值，或 a 是 b 的象， 记为a b ，这a)时称 是 a的原b象．
函
拓展运算种类
1734年, 瑞士数学家：欧拉
数 概
18世纪函数概 念
解析函数
是指由一个变量与一些常量通过任何方式形 成的解析表达式，用f(x)表示x的函数
念
的 演 变
19世纪函 数概念
舍弃用数字表 达的限制
变量函数
1837年, 德国数学家：黎曼
对于x 的每一个值，如果y都有完全确 定 的 值 与 之 对 应 ， 不 论 x, y 所 建 立 的 对 应方式如何，y都叫做x 的函数
(2) 当 m Z 时，(mx) m(x)
(3) 当 r Q时，(rx) r (x)
四、反函数及其图像
1. 逆映射和反函数： • 满射：
• 单射：
• 一一映射（双射）：
• 逆映射：
1
:B A
定义 如果函数 y (x)是定义域 A到值
域 B上的一一映射，那么由它的逆映
射
:
B
A所确定的函数，叫做函
设
y
f
(x)
2x 1 xa
a
1 2
.
（1）求反函数 y f 1(x);
（2）当a取何值时，y f (x)和 y f 1(x可) 用直角坐标内的同一图像表示，并作略图．
定义6 设 A 、B是 R的子集， : A B是A到B 的函数， 则称 A B的子集
G {(a, b)a A, b ) 是函数 : A B 的图像．
例2 设f(x)是以实数集R为定义域的函数，
且对任意实数x,y，均满足(x y) (x) ( y) 求证：
(1) (0) 0; (x) (x)
§3.1 函数的一般概念
一、 函数概念发展与定义
1. 函数概念的发展
（1）函数相关术语与记号的引入
函数这一名词德国数学家莱布尼兹(Leibniz 1646—1716)所首先采 用的．
在最初，莱布尼兹用函数一词表示变量x的幂，即x2，x3，…．其 后莱布尼兹还用函数一词表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、 垂线的长度等所有与曲线上的点有关的量．
拓展数量区间为任意 20世纪, 美国数学家：维布仑
数学对象的集合 在变量y的集合与另一个变量x的集合之间,如
近代函数概念
映射函数
果存在着对于x 的每一个值, y有确定的值与之 对应这样的关系，那么,变量y叫做变量x的函
数
2. 函数的定义
定义1 如果两个变量按照某一确定的规律联系着, 当 第一变量变化时，第二变量也随着变化，就把 第二个变量叫做第一个变量（自变量）的函数．
二、函数的三要素
定义域、对应法则、值域 在研究函数的抽象定义时，不妨把函数
比喻为一个“机器”加工的过程，输入x
输出 y，而这关键的加工机制就是 ．
x x)y
定义5 （函数相等）
函数的相等 要求输入的 x相同，加工
机制相同，输出的 y也相同．
三、函数的表示法
• 解析法（公式法）
• 列表法
• 图像法
定义2设 A和 B 是两个集合，如果按照某种对应法则，
对于集合 A中的任何一个元素，在集合 B中都有
唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集
合A 到集合 B的函数,记作 f : A ．B
定义3设 A和 B是两个集合，A B是一个非空子集,
如果满足 对于任意 a A,存在唯一的b B 使(a, b) f , 则 f 称为 A到 B的一个函数．
欧拉(Euler 1707—1783)发明了函数的记号：f(x)．柯西(Cauchy 1789—1857)引入了术语“自变量、因变量”．
公元前300年左右：古巴比伦
2
早期函数概念
自然函数
依一定规律依赖于一个变量的另一个 变量
（
抽象
1667年，苏格兰数学家：格雷戈里
）
17世纪函数概念 代数函数
它是从一些其它的量经过一系列代数运 算而得到
是它的逆映射（反函数），则 • （1） 1 I B （表示B上的恒等射）；
1 I A
• （2）1是一一映射的； • （3）1 是唯一的； • （4）的逆映射就是1．
例2 设
源自文库
(x)
2x 3 x 1
，y
g ( x)
的图像与y 1 ( x 1)的像关于
直线 y x对称，求 g(x)．
例3
数的反函数．
反函数的习惯表示为:
1
y :B A
2. 反函数的图像
定理1 函数 y = f x) 的图像和它的反函
数
y
=
ƒ
-1
(
x
)的图像关于直线
y
x
对称．
思考：为什么函数
y
(x) 的反函数
y
1
(x)
的图像关于 y x 对称？
3.互反函数间的辩证关系
定理2 设函数 : A B是一一映射， 1 : B A