高考数学一轮总复习：集合

集合

[基础梳理] 1．集合的相关概念

(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈，不属于，记为．

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号

N

N *或N ＋

Z

Q

R

表示 关系 文字语言

符号语言 相等 集合A 与集合B 中的所有元素相同

A

B 且B

A

A ＝B

子集 A 中任意一个元素均为B 中的元素

A B 或B A 真子集

A 中任意一个元素均为

B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素

A

B 或B

A

空集

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

并集

交集

补集

图形表示

符号表示

A ∪

B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }

A ∩

B ＝{x |x ∈A

且

x ∈B }

∁U A ＝{x |x ∈U 且x A }

1．集合的运算性质

(1)并集的性质：A∪＝A；A∪A＝A；

A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B A.

(2)交集的性质：A∩＝；A∩A＝A；

A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A B.

(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．

2．集合的子集个数

若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．

3．两个防范

(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．

[四基自测]

1．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是() A．{a}A B．a A

C．{a}∈A D．a A

答案：D

2．已知集合A＝{x|x2－16＜0}，则∁R A＝()

A．{x|x≥±4} B．{x|－4＜x＜4}

C．{x|－4≤x≤4} D．{x|x≥4}∪{x|x≤－4}

答案：D

3．已知集合A＝{0，1，2}，集合B满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B有________个．

答案：8

4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}，则A∪B ＝________．

答案：{x|x＜2}

考点一 集合的概念◄考基础——练透

[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5

D ．4

解析：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个． 故选A. 答案：A

(2)设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5

D ．6

解析：a ∈{1，2，3}，b ∈{4，5}，则M ＝{5，6，7，8}，即M 中元素的个数为4，故选B. 答案：B

(3)已知N 是自然数集，设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x |6x ＋1∈N ，B ＝{0，1，2，3，4}，则A ∩B

＝( ) A ．{0，2} B ．{0，1，2} C ．{2，3} D ．{0，2，4}

解析：∵

6

x ＋1

∈N ，∴x ＋1应为6的正约数，∴x ＋1＝1或x ＋1＝2或x ＋1＝3或x ＋1＝6，解得x ＝0或x ＝1或x ＝2或x ＝5，∴集合A ＝{0，1，2，5}，又B ＝{0，1，2，3，4}，∴A ∩B ＝{0，1，2}．故选B. 答案：B

本例(1)变为已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

解析：A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 答案：B

与集合中的元素有关的问题的求解策略

(1)确定集合中的元素是什么． (2)看这些元素满足什么限制条件．

(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

(2018·高考北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)

A

C ．当且仅当a ＜0时，(2，1)A

D ．当且仅当a ≤3

2时，(2，1)

A

解析：若点(2，1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎨

⎧2a ＋1＞4，

2－a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞32，a ≥0，

解得a ＞32. 即点(2，1)∈A ⇒a ＞32， 其等价命题为a ≤3

2⇒点(2，1)A .

故选D. 答案：D