高考数学一轮总复习：集合

集合
[基础梳理] 1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈，不属于，记为．
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号
N
N *或N ＋
Z
Q
R
表示 关系 文字语言
符号语言 相等 集合A 与集合B 中的所有元素相同
A
B 且B
A
A ＝B
子集 A 中任意一个元素均为B 中的元素
A B 或B A 真子集
A 中任意一个元素均为
B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素
A
B 或B
A
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A ∪
B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }
A ∩
B ＝{x |x ∈A
且
x ∈B }
∁U A ＝{x |x ∈U 且x A }
1．集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪＝A；A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B A.
(2)交集的性质：A∩＝；A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A B.
(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．
2．集合的子集个数
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．
3．两个防范
(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．
[四基自测]
1．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是() A．{a}A B．a A
C．{a}∈A D．a A
答案：D
2．已知集合A＝{x|x2－16＜0}，则∁R A＝()
A．{x|x≥±4} B．{x|－4＜x＜4}
C．{x|－4≤x≤4} D．{x|x≥4}∪{x|x≤－4}
答案：D
3．已知集合A＝{0，1，2}，集合B满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B有________个．
答案：8
4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}，则A∪B ＝________．
答案：{x|x＜2}
考点一 集合的概念◄考基础——练透
[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5
D ．4
解析：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个． 故选A. 答案：A
(2)设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
解析：a ∈{1，2，3}，b ∈{4，5}，则M ＝{5，6，7，8}，即M 中元素的个数为4，故选B. 答案：B
(3)已知N 是自然数集，设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x |6x ＋1∈N ，B ＝{0，1，2，3，4}，则A ∩B
＝( ) A ．{0，2} B ．{0，1，2} C ．{2，3} D ．{0，2，4}
解析：∵
6
x ＋1
∈N ，∴x ＋1应为6的正约数，∴x ＋1＝1或x ＋1＝2或x ＋1＝3或x ＋1＝6，解得x ＝0或x ＝1或x ＝2或x ＝5，∴集合A ＝{0，1，2，5}，又B ＝{0，1，2，3，4}，∴A ∩B ＝{0，1，2}．故选B. 答案：B
本例(1)变为已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 答案：B
与集合中的元素有关的问题的求解策略
(1)确定集合中的元素是什么． (2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
(2018·高考北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)
A
C ．当且仅当a ＜0时，(2，1)A
D ．当且仅当a ≤3
2时，(2，1)
A
解析：若点(2，1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎨
⎧2a ＋1＞4，
2－a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞32，a ≥0，
解得a ＞32. 即点(2，1)∈A ⇒a ＞32， 其等价命题为a ≤3
2⇒点(2，1)A .
故选D. 答案：D
考点二 集合间的基本关系◄考能力——知法
[例2] (1)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( )
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16
解析：A ＝{x |(x －3)(x ＋1)≤0，x ∈N *}＝{1，2，3}， 真子集个数为23－1＝7，故选A. 答案：A
(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B A ，则实数
m 的取值范围为________． 解析：因为B
A ，所以①若
B ＝
，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2.
②若B ≠
，则⎩⎨⎧2m －1≥m ＋1，
m ＋1≥－2，2m －1≤5.
解得2≤m ≤3.
由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 答案：(－∞，3]
1．若本例(2)中，A B ，如何求解？
解析：若A
B ，
由⎩⎨⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎨⎧m ≤－3，m ≥3. 所以m 的取值范围为
．
2．若本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x ＜－2或x ＞5}，如何求解？ 解析：因为B A ，
所以①当B ＝
时，即2m －1＜m ＋1时，
m ＜2，符合题意． ②当B ≠
时，⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，或⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，
2m －1＜－2，
解得⎩⎨⎧m ≥2，m ＞4，或⎩
⎪⎨⎪⎧m ≥2，
m ＜－12，
即m ＞4.
综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
求集合间关系的常用方法技巧
(2019·中原名校联考
)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx ＜0，c ＞0}，若A
B ，则实数c 的取值范围为( )
A ．(0，1]
B ．[1，＋∞)
C ．(0，1)
D ．(1，＋∞)
解析：法一：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2＞0}＝{x |0＜x ＜1}，B ＝{x |x 2－cx ＜0，c ＞0}＝{x |0＜x ＜c }. 由A B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1，
故选B.
法二：A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2＞0}＝{x |0＜x ＜1}，取c ＝1，得B ＝{x |0＜x
＜1}，则A B成立，可排除C、D；取c＝2，得B＝{x|0＜x＜2}，则AB成立，可排除A，故选B.
答案：B
考点三集合的运算◄考基础——练透
角度1集合的基本运算
[例3](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝() A．{x|－1＜x＜2}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析：∵x2－x－2＞0，∴(x－2)(x＋1)＞0，∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．
由图可得∁R A＝{x|－1≤x≤2}．
故选B.
答案：B
(2)(2018·高考天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝()
A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
解析：全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁R B＝{x|x＜1}．
∵集合A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩(∁R B)＝{x|0＜x＜1}．故选B.
答案：B
(3)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，则(∁U B)∩A＝()
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1]∪(0，3)
C．[0，3) D．(0，3)
解析：集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0＜x≤4}，集合B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}＝{x|x≥3或x≤－1}．
因为全集U＝R，所以∁U B＝{x|－1＜x＜3}，所以(∁U B)∩A＝(0，3)，故选D.
答案：D
对于集合的运算，一般涉及离散型数集、连续型数集或抽象集合，破解此类型问题的关键点：
(1)化简集合，使集合中的元素特性更明朗；
(2)画数轴或韦恩图，并标出元素(或范围)；
(3)根据集合运算定义，得出结论．
角度2集合的逆运算
[例4](1)已知A＝{1，2，3，4}，B＝{a＋1，2a}．若A∩B＝{4}，则a＝() A．3B．2
C．2或3 D．3或1
解析：∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4，若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4，6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3，4}，不符合题意，综上，a＝3，故选A.
答案：A
(2)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)·(x－2)＜0}，且A∩B ＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．
解析：由|x＋2|＜3，得－3＜x＋2＜3，即－5＜x＜1，所以集合A＝{x|－5＜x＜1}，因为A∩B＝(－1，n)，所以－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，代入可得3(1＋m)＝0，所以m＝－1，解不等式(x＋1)(x－2)＜0得－1＜x＜2，所以B＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝(－1，1)，即n＝1，所以m＝－1，n＝1.
答案：－11
由集合的运算结果，求集合中的参数是根据运算的意义和方法，先确定集合，再确定参数．
1．(2019·济南期中测试)已知集合A ＝{x |ax －6＝0}，B ＝{x ∈N |1≤log 2x ＜2}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的所有值构成的集合是( ) A ．{2} B ．{3} C ．{2，3}
D ．{0，2，3}
解析：B ＝{x ∈N |1≤log 2x ＜2}＝{2，3}．因为A ∪B ＝B ，所以A B ，当a ＝0
时，集合A 为空集，符合题意，当a ≠0
时，A ＝{x |ax －6＝0}＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫6a ，由题意得6
a ＝2
或6
a ＝3，解得a ＝3或a ＝2，所以实
数a 的所有值构成的集合是{0，2，3}，故选D. 答案：D
2．(2019·广州模拟)已知x ∈R ，集合A ＝{0，1，2，4，5}，集合B ＝{x －2，x ，x ＋2}，若A ∩B ＝{0，2}，则x ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1
D ．2
解析：因为A ＝{0，1，2，4，5}，B ＝{x －2，x ，x ＋2}，且A ∩B ＝{0，2}， 所以⎩⎨⎧x －2＝0x ＝2，或⎩⎨⎧x ＝0，x ＋2＝2，当x ＝2时，B ＝{0，2，4}，A ∩B ＝{0，2，4}(舍)；
当x ＝0时，B ＝{－2，0，2}，A ∩B ＝{0，2}． 综上，x ＝0.故选B. 答案：B
本题的易错点是由0∈B ，2∈B 得到x ＝2或x ＝0后，就直接得到错误答案(x ＝2或x ＝0)，忘记验证A ∩B ＝{0，2}是否成立．
1.数学抽象——集合的新定义(创新题)
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象.
[例1](2019·中原名校3月联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这
两个集合构成“偏食”．对于集合A＝{－1，1
2，1}，B＝{x|ax
2＝1，a≥0}，若A
与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为________.
解析：当a＝0时，B为空集，满足B A，此时A与B构成“全食”；当a＞0
时，B＝{1
a
，－
1
a
}，由题意知
1
a
＝1或
1
a
＝
1
2，解得a＝1或a＝4.故a的取值
集合为{0，1，4}.
答案：{0，1，4}
易错警示在解决有关A∩B＝，A B等问题时，一定先考虑A或B是不是空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
2.数学建模——集合思想与方法的应用(教材阅读)
[例2]某店统计了两天的售出商品的情况．第一天售出19种商品，第二天售出了13种商品．这两天都售出的商品有3种.
(1)第一天售出，但第二天未售出的商品有________种.
(2)这两天共售出________种商品.
解析：如图，设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，
第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素，则A∩B中共有
3个元素.
(1)第一天售出，第二天未售出的共有19－3＝16种.
(2)这两天共售出的种数为19＋13－3＝29种.
答案：(1)16(2)29
课时规范练
A组基础对点练
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B ＝()
A．{0，2}B．{1，2}
C．{0} D．{－2，－1，0，1，2}
解析：A∩B＝{0，2}∩{－2，－1，0，1，2}＝{0，2}．
故选A.
答案：A
2．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝() A．{0}B．{1}
C．{1，2}D．{0，1，2}
解析：∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1，2}．
故选C.
答案：C
3．(2018·高考天津卷)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则(A∪B)∩C＝()
A．{－1，1}B．{0，1}
C．{－1，0，1} D．{2，3，4}
解析：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{－1，0，2，3}，
∴A∪B＝{－1，0，1，2，3，4}．
又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，
∴(A∪B)∩C＝{－1，0，1}．
故选C.
答案：C
4．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则()
A．M＝N B．M N
C．M∩N＝D．N M
解析：因为M＝{x||x|≤1}，所以M＝{x|－1≤x≤1}，因为N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，
所以N ＝{y |0≤y ≤1}，所以N
M ，故选D. 答案：D
5．(2019·日照3月联考)已知集合
M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( )
A ．
B ．{(4，0)，(3，0)}
C. [－3，3]
D ．[－4，4] 解析：由题意可得M ＝{x |－4≤x ≤4}，N ＝{y |y ∈R }，所以M ∩N ＝[－4，4]．故选D.
答案：D
6．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{1，2，3，4}，则(A ∪B )∩C ＝( )
A ．{2}
B ．{1，2，4}
C ．{1，2，4，6}
D ．{1，2，3，4，6}
解析：由题意知A ∪B ＝{1，2，4，6}，
∴(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．
答案：B
7．设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：由集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，易知A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，故选
C.
答案：C
8．已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝________． 答案：{－1，2}
9．已知集合U ＝{1，2，3，4}，A ＝{1，3}，B ＝{1，3，4}，则A ∪(∁U B )＝________． 解析：∁U B ＝{2}，∴A ∪∁U B ＝{1，2，3}．
答案：{1，2，3}
B 组 能力提升练
10．已知全集U ＝{0，1，2，3}，∁U M ＝{2}，则集合M ＝( )
A ．{1，3}
B ．{0，1，3}
C ．{0，3}
D ．{2}
解析：M ＝{0，1，3}．
答案：B 11．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，m }．若A ∩B ＝B ，则实数m 的值是( )
A ．0
B ．2
C ．0或2
D ．0或1或2 解析：∵A ∩B ＝B ，∴B
A ，∴m ＝0或m ＝2.
答案：C
12．设全集U ＝R ，集合
A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2＞0，
B ＝{x ∈R |0＜x ＜2}，则(∁U A )∩B ＝( )
A ．(1，2]
B ．[1，2)
C ．(1，2)
D ．[1，2] 解析：依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x ＜2}＝[1，2)，选B. 答案：B
13．(2019·惠州模拟)已知集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集
合B 的子集的个数为( )
A ．3
B ．4
C ．7
D ．8
解析：由题意知，B ＝{0，1，2}，则集合B 的子集的个数为23＝8.故选D. 答案：D
14．设集合A ＝{3，m }，B ＝{3m ，3}，且A ＝B ，则实数m 的值是________．
答案：0
15．已知集合A ＝{1，2，3，4}，集合B ＝{x |x ≤a ，a ∈R }，A ∪B ＝(－∞，5]，
则a 的值是________．
答案：5
16．设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x B }．若A ＝
{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，则A －B ＝________．
解析：∵A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}
＝{x|2＜x＜5}，A－B＝{x|x∈A且x B}，
∴A－B＝{0，1，2，5}．
答案：{0，1，2，5}
17．已知集合M＝{x|y＝x－1}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则∁R(M∩N)＝________．解析：由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x＜2}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．∴∁R(M∩N)＝{x|x＜1或x≥2}，即∁R(M∩N)＝(－∞，1)∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1)∪[2，＋∞)。