材料力学第六章静不定

cos2
E 1 A1l2
FN 2
FN3
2cos
F
E1 A1l2
E2 A2l1 cos
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OAB为刚性梁，写几何方程。
450
①
②
O
A
B
l
l1 l l2
l
OAB为刚性梁， ①、②两杆材料相同， 抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。
F
①
F
O
B l1 C
bA

d EA
6l
；FN2

d EA()
3l
1

3

dE
6l
； 2


dE
3l
AB为刚性梁，写出所需方程。
变形协调关系
(d

l1)

2
l2 sin 450
平衡方程
①
d l1 A
C
2a
450 ②
l2 B
a
2FN1 FN2 sin 450 两杆均为拉力，计算①杆伸长必须用理论长度，不用实际长度。
l2 sin 45o

2l1
②
l
l
l
FN1 2l
2
FN2 l
EAsin cos EAsin b cos b
FN1 sin 2 FN2 sin 2b
l1 2 l2
sin sin b
l1

FN1 EA
( 2l
cos
)，l2

FN 2 EA
( l cos
b
)
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静不定结构的特点（3） ——温度应力
B
C
B
升温T oC
结构不因 温度变化 产生内力
A
C

A
D
升温T oC 结构会因 温度变化 产生内力
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对于无约束的杆件，当温度变化为 t t2 t1 时，杆
件的变形为： lt l t
q
d
l
EA()
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1

1
2
cos3 q
2 cos3
q
d
l
E 2 =3

1
cos2 q
2 cos3
q
d
l
E
注意：1杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短 , 应为压力。
FN2 FN1 FN3
qq
FN1
FN2
FN3
qq
A
正确
A
不正确
装配应力是不容忽视的，如：d/l=0.001， E=200GPa， q=30° 1 =113MPa ，2 = 3 =－65.2MPa
温度升高t度时，两杆的内力和应力分别为多少？ l1
解：受力图如图示（设二杆均受压）
①
列平衡方程 SMA=0
l
得 FN1 l FN2 2lFN1 2FN2
①杆在温度影响下伸长，在轴力作用 下缩短，②杆在轴力作用下缩短。刚 l
q
A
q
体绕A转动，变形几何关系图如图示。
由图可列出变形几何关系方程
2=3=12.5×10-6/0C，F=40kN。 设温度升高20 0C，求各杆的应力。
FN1
A l1

FN2
FN3
a
b
dc
B
l2
F l3
a
b
1
2
3l
c
A
d
B
刚体
解：平衡方程为 FN1+FN2+FN3－F=0
F
FN1a+Fc －FN3b=0
变形协调方程为
l2 d l1 a
l3 l1 a b
变形协调方程 。
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4
拉压静不定问题的解法
（1）静力平衡方程——力学——原有基础 （2）变形协调方程——几何——灵活思考 （3）材料本构方程——物理——构筑桥梁 （4）方程联立求解——代数——综合把握
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5
图示结构，求各杆轴力。 解：1、判断：一次静不定。
l
2l
2l1=l2
FN1
Ql1
lt

FN1l EA
，l2

FN2l EA
FAx
2lt 2FN1l FN2l
EA EA
A FAy
FN1

4 5
EAt1


4 5
Et
结合平衡方程，求得
FN2

2 5
EAt 2
2、列平衡方程
FN2 sin FN3 sin 0
B
C
E1A1 l1
E2A2 l2
D E3A3 l3=E2A2 l2
FN2 FN3
FN1 FN2 cos FN3 cos F 0
3、列几何(变形协调)方程
l3 l1cos
4、列物理方程

y
l3
A FN2
由此求得应力为
1=39.6MPa，2=102MPa，3=73MPa
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§6.3 扭转超静定问题
试求图示轴两端的约束力偶矩。 解: 受力分析,建立平衡方程
M x 0 M A M B M 0 (a)
未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一次超静定
变形分析,列变形协调方程
3杆用理论长度计算变形
A l1
FN1
l1

FN1l EA
，l2

FN2l EA
，l3

FN3l EA
A
l2 B 刚体
FN2
FN3
a
a
B 刚体
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4、补充方程
FN1l + 2FN2l + FN3l d
EA EA EA
补充方程与平衡方程联立解得:
FN1

FN3


2 5
Et
② l2 FN2
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刚性梁AB悬挂于三根平行杆上。l=2m，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，
d=0.2m。1杆由黄铜制成，E1=100GPa，A1=2cm2，1=16.5×10-6/ 0C。
2和3杆由碳钢制成，E2=E3=200GPa，A2=1cm2， A3=3cm2 ，
刚体
F
∆l1
∆l2
2(l2+l3 ) =l1 +l3
（c）
∆l3
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还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。
FN1
FN2
FN3
∆l1
∆l2
∆l3
（a）
∆l1 ∆l2
（b）
对应受力图
∆l3
∆l1 ∆l2
（c）
∆l3
（a） F
FN1
FN2
FN3
（b） F
FN1
静不定结构 ？——产生装配应力
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已知三根杆EA相同，1杆有制造误差d，
求装配后各杆的应力。
解：因制造误差，装配时各杆必须变形，
因此产生装配内力。 一次静不定问题。 平衡方程：FN2=FN3
FN1－2FN2cosq=0
FN1
FN2
FN3
qq
A
几何方程：l1＋l2 / cosq =d
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1
3、静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差。 也是需要补充的方程数目。
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未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
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2
4、多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束。若没有这 些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定)
5、多余约束力：多余约束提供的约束力。 静不定次数 = 多余约束力数目
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二、拉压静不定问题的解法
1、判断静不定次数； 2、列静力平衡方程； 3、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系，具体问题需
具体分析。一般通过“变形几何图”列方程。 特别注意：力与变形相对应！！ （即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应） 4、列物理方程：变形与力的关系； 5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得
第六章 简单超静定问题
§6.1～§6.2 概述及拉压静不定问题
一、静定静不定概念 1、静定问题——仅用静力平衡方程就能求出全部未知 力，这类问题称为静定问题. 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。 2、静不定问题——仅用静力平衡方程不能求出全部未 知力。又称超静定问题。 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
设有A、B两个凸缘的圆轴，在力偶M的作用下发生了变形。这时把一个 薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除M。设轴和圆筒的抗扭刚度 分别是G1Ip1和G2Ip2，试求轴内和筒内的扭矩。
T2
M
M
A
B
T1
解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加力偶M解除后，圆轴必然力图恢 复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭 矩T1和T2。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作用，平衡 方程为
FN1 FN3
F

l1
x
l1

FN1l1 E1 A1
，l2

l3

FN 2l2 E2 A2
F
5、列补充方程
将物理方程代入几何方程得补充方程
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6
FN 2l2 FN3l3 FN1l1 cos
E 2 A2 E3 A3 E1A1
解得
FN1

1
F 2E2 A2l1
3 F 1.24F ()
内力假设与变形假设应一致。
内力假设受拉，变形只能假设伸长。
内力假设受压，变形只能假设缩短。
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11
图示静不定结构， 可列如右变形图。 ∆l1
a
a
∆l1
1
2
3
∆l2 （a）
∆l2 （b）
几何方程
∆l3
2l2=l1 +l3
∆l3 2(l2+l1 ) = l3 +l1
2

l2 l2

2l1 2l1

l1 l1

1
2 E2 1 1 E1
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图示支架承受力F 作用，①杆的抗拉刚度 为EA，②杆的抗拉刚度为1.5EA，③杆的
B
①
抗拉刚度为2EA。求各杆的轴力。 解：平衡方程为
C
②
300
300
A
FN1 cos 300 FN2 FN3 cos 300 0 FN1 sin 300 FN3 sin 300 F 0
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物理方程为
l1

FN1l E1 A1
1Tl
l2

FN2l E2 A2
2Tl
l3

FN3l E3 A3
3Tl
FN1
A l1
FN2
FN3
a
b
dc
B
l2
F l3
物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得： FN1=7.92kN，FN2=10. 2kN，FN3=21.9kN
物理方程：
l1
FN1l EA
l2

FN2
l
cosq
EA
l3
B
2
l1 l2
C
D
1
3
l
d
qq
A
注意1杆变形计算时用l
物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得
FN1

1
2
cos3 q
2 cos3
q
d
l
EAFN2 =FN3

1
cos2 q
2 cos3
AB AC CB 0
AC

T1a GI p

( M A )a GI p
CB
T2b GIp

M Bb GIp
代入上式
建立补充方程
M Aa M Bb 0 (b)
联立求解方程(a)与(b)
MA

Mb ， ab
Ma MB ab
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FN2
FN3
（c） F
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静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大

A
F
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C
刚度增加 内力不变
A
F
14
静不定结构的特点（2） ——装配应力
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
式中： ——材料的线膨胀系数。
图示构件因温度变化引起的内力
FN
温度变化引起杆的长度变化，多余
B
约束限制了这个变化，引起温度内力。
几何方程：
l
l = lt-lF = 0
物理方程：
lt=lt， lF =FNl / EA
A
为材料的线膨胀系数
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图示结构，EA及线膨胀系数相同的两杆①和②与刚体相连，当杆①
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图示悬吊结构AB梁刚性，各杆EA相同，杆3短d，求各杆装配应力。
解：1、平衡方程
FN1－FN2+FN3=0 FN1=FN3
2、几何方程
a
a3
1
2
l3 l d
2(l1 l2 ) d (l3 l1)
即 l1 2l2 l3 d
3、物理方程
③
F
D
l
变形协调方程
l3 A l2
FN1
l3 sin 300

l2
cot 300
300
l1 FN2
A
300
FN3

(l1

l2 cos 300
sin 300
)

l2
tan
300
F
300
化简得 3l2 l1 l3
300 300
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物理关系为
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OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450

2l1
即 l2 2l1