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蕴含约束：数量非负 xij 0;i 1,2, j 1,2,3,4
第9页
模型
24
min
cij xij
i1 j1
xi1 xi2 xi3 xi4 ai ; i 1,2
s.t. x1 j x2 j b j ; j 1,2,3,4
xij 0;i 1,2, j 1,2,3,4
第10页
❖ 不等式变等式
❖ 不等式变不等式
第17页
不等式变等式
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn si bi , si 0
或
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
松弛变量
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn si bi , si 0
第8页
问题分析
可控因素：从仓库Ai 运往 B j 的产品数量 设为 xij ;i 1,2, j 1,2,3,4 目标：总运费最小
24
费用函数 cij xij i1 j1
受控条件： 从仓库运出总量不超过可用总量，运入零售点的数量不低于需求量。 由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即
xi1 xi2 xi3 xi4 ai ; i 1,2 x1 j x2 j b j ; j 1,2,3,4
蕴含约束：产量为非负数
x1 , x2 , x3 0
第5页
模型
max 3 x1 5 x2 4 x3 2x1 3x2 1500
s.t. 2x2 4x3 800
3x1 2x2 5x3 2000 x1 , x2 , x3 0
第6页
计算结果
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
max z x1 x2
2x1 x2 2
s.t .
x1 x1
2x2 2 x2 5
x1 0
2675.000
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X1
375.000000
0.000000
X2
250.000000
0.000000
X3
75.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
1)
0.000000
1.050000
2)
0.000000
运筹学课件
运
决
筹
胜
帷
线性规划
千
幄
里
之
之
中
Linear Programming
外
第1页
线性规划
线性规划问题 可行区域与基本可行解 单纯形算法 初始可行解 对偶理论 灵敏度分析 计算软件 案例分析
第2页
线性规划问题
线性规划实例
生产计划问题 运输问题
线性规划模型
一般形式 规范形式 标准形式 形式转换 概念
❖目标转换
求最大可以等价成求负的最小
max c x min c x
❖ 约束转换 ❖ 实例
第16页
约束转换 ❖等式变不等式
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
剩余变量
第18页
不等式变不等式
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
或
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
第19页
例2.1.3 把问题转化为标准形式
第3页
生产计划问题
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表 2.1.1所示，试制订总利润最大的生产计划
单位产品所需原 产品 料数量（公斤） Q1
产品 Q2
产品 Q3
原料可用量 （公斤/日）
原料P1
2 3 0 1500
原料P2
0
2
4
800
原料P3
3
2
5 2000
单位产品的利润 3
5
4
（千元）
第4页
D { x Ax b, x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体 称为最优解集合 O {x D c x c y,y D }
最优值：最优解的目标函数值
v c x, x O
第15页
模型转换
❖变量转换
令自由变量 x j
x
j
x
j
，其中x
j
,
x
j
为非负变量
q
约束条件
第11页
注释
x j ; j 1,2,..., n 为待定的决策变量， c (c1 , c2 , , cn ) 为价值向量， c j ; j 1,2,..., n 为价值系数， b (b1 , b2 ,..., bm ) 为右端向量， 矩阵
a11 a12
A
a 21 am1
0.625000
3)
0.000000
0.300000
第7页
运 输问 题
一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库Ai ;i 1,2 发送到零售点 B j ; j 1,2,3,4 ，仓库Ai 能供应的产品数量为 ai ;i 1,2 ，零售点 B j 所需的产品的数量为b j ; j 1,2,3,4 。 假设供给总量和需求总量相等，且已知从仓库Ai 运一个单 位产品往 B j 的运价为cij 。问应如何组织运输才能使总运费 最 Ai 小？
一般形式
目标函数
min z c1 x1 c2 x2 cn xn
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi ; i 1,2,..., p
s.t
.axij1
x1
0;
a j
i2 x2 1,2,...,
a q
in
x
n
bi ;i
p 1,..., m
x
无
j
限
制;
百度文库
j
1,2,...,
a 22 am2
为系数矩阵。
a1n
a2n
a mn
第12页
规范形式
minc x
Ax b
s.t .
x
0
第13页
标准形式
minc x
Ax b
s.t .
x
0
第14页
概念
可行解（或可行点）：满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x2 , xn ) 可行集（或可行域）：所有的可行解的全体
问题分析
可控因素：每天生产三种产品的数量，分别设为x1 , x2 , x3 目标：每天的生产利润最大
利润函数 3x1 5x2 4x3 受制条件：
每天原料的需求量不超过可用量： 原料P1 ： 2x1 3x2 1500 原料P2 ：2 x2 4 x3 800 原料P3 ： 3 x1 2 x2 5 x3 2000
第9页
模型
24
min
cij xij
i1 j1
xi1 xi2 xi3 xi4 ai ; i 1,2
s.t. x1 j x2 j b j ; j 1,2,3,4
xij 0;i 1,2, j 1,2,3,4
第10页
❖ 不等式变等式
❖ 不等式变不等式
第17页
不等式变等式
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn si bi , si 0
或
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
松弛变量
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn si bi , si 0
第8页
问题分析
可控因素：从仓库Ai 运往 B j 的产品数量 设为 xij ;i 1,2, j 1,2,3,4 目标：总运费最小
24
费用函数 cij xij i1 j1
受控条件： 从仓库运出总量不超过可用总量，运入零售点的数量不低于需求量。 由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即
xi1 xi2 xi3 xi4 ai ; i 1,2 x1 j x2 j b j ; j 1,2,3,4
蕴含约束：产量为非负数
x1 , x2 , x3 0
第5页
模型
max 3 x1 5 x2 4 x3 2x1 3x2 1500
s.t. 2x2 4x3 800
3x1 2x2 5x3 2000 x1 , x2 , x3 0
第6页
计算结果
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
max z x1 x2
2x1 x2 2
s.t .
x1 x1
2x2 2 x2 5
x1 0
2675.000
VARIABLE VALUE
REDUCED COST
X1
375.000000
0.000000
X2
250.000000
0.000000
X3
75.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
1)
0.000000
1.050000
2)
0.000000
运筹学课件
运
决
筹
胜
帷
线性规划
千
幄
里
之
之
中
Linear Programming
外
第1页
线性规划
线性规划问题 可行区域与基本可行解 单纯形算法 初始可行解 对偶理论 灵敏度分析 计算软件 案例分析
第2页
线性规划问题
线性规划实例
生产计划问题 运输问题
线性规划模型
一般形式 规范形式 标准形式 形式转换 概念
❖目标转换
求最大可以等价成求负的最小
max c x min c x
❖ 约束转换 ❖ 实例
第16页
约束转换 ❖等式变不等式
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
剩余变量
第18页
不等式变不等式
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
或
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
第19页
例2.1.3 把问题转化为标准形式
第3页
生产计划问题
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表 2.1.1所示，试制订总利润最大的生产计划
单位产品所需原 产品 料数量（公斤） Q1
产品 Q2
产品 Q3
原料可用量 （公斤/日）
原料P1
2 3 0 1500
原料P2
0
2
4
800
原料P3
3
2
5 2000
单位产品的利润 3
5
4
（千元）
第4页
D { x Ax b, x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体 称为最优解集合 O {x D c x c y,y D }
最优值：最优解的目标函数值
v c x, x O
第15页
模型转换
❖变量转换
令自由变量 x j
x
j
x
j
，其中x
j
,
x
j
为非负变量
q
约束条件
第11页
注释
x j ; j 1,2,..., n 为待定的决策变量， c (c1 , c2 , , cn ) 为价值向量， c j ; j 1,2,..., n 为价值系数， b (b1 , b2 ,..., bm ) 为右端向量， 矩阵
a11 a12
A
a 21 am1
0.625000
3)
0.000000
0.300000
第7页
运 输问 题
一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库Ai ;i 1,2 发送到零售点 B j ; j 1,2,3,4 ，仓库Ai 能供应的产品数量为 ai ;i 1,2 ，零售点 B j 所需的产品的数量为b j ; j 1,2,3,4 。 假设供给总量和需求总量相等，且已知从仓库Ai 运一个单 位产品往 B j 的运价为cij 。问应如何组织运输才能使总运费 最 Ai 小？
一般形式
目标函数
min z c1 x1 c2 x2 cn xn
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi ; i 1,2,..., p
s.t
.axij1
x1
0;
a j
i2 x2 1,2,...,
a q
in
x
n
bi ;i
p 1,..., m
x
无
j
限
制;
百度文库
j
1,2,...,
a 22 am2
为系数矩阵。
a1n
a2n
a mn
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规范形式
minc x
Ax b
s.t .
x
0
第13页
标准形式
minc x
Ax b
s.t .
x
0
第14页
概念
可行解（或可行点）：满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x2 , xn ) 可行集（或可行域）：所有的可行解的全体
问题分析
可控因素：每天生产三种产品的数量，分别设为x1 , x2 , x3 目标：每天的生产利润最大
利润函数 3x1 5x2 4x3 受制条件：
每天原料的需求量不超过可用量： 原料P1 ： 2x1 3x2 1500 原料P2 ：2 x2 4 x3 800 原料P3 ： 3 x1 2 x2 5 x3 2000