耦合理论

当波导1和波导2同时存在并相互靠近时，它们之间将产生相互 影响，严格的解应是将这两根光纤作为一个统一的耦合波导系统， 去求解一个统一的电磁场边值问题。
求解如此复杂的电磁场边值问题是极为困难的，而且一般也没
有解析解。但是在两个波导之间的耦合较弱的情况时，我们可以假
设耦合波导系统的场是原来波导1和波导2单独存在时的场的一个组
则根据理想的单根光波导满足的正交性，以及场量电场部分和磁场 部分满足的麦克斯韦方程可以得到耦合波方程为
da1 z
dz
j1a1 z
jK21a2
z
da2
z
dz
j2a2
z
jK12a1 z
6 9
K12 和K21 是耦合系数，它们直接决定了光纤1和光纤2之间相互影响 的大小。一般说来，耦合系数都是复数，并且可以采用Lorentz互易 定理证明它们具有如下互易特性
六、模式耦合理论
•1. 模式正交性与完备性 •2. 模式横向耦合理论 •3. 模式纵向耦合理论
•1. 模式的完备性与正交性
前几节中，分别用几何光学方法和电磁理论方法分析了光纤中 的电磁波传播问题。用电磁理论方法求解时，建立的一个重要的要 概念是模式，分别讨论了电磁导波模式的两种不同表达方式，即矢 量模和标量模。这种理想的光波导的导波模式满足边界条件，被称 为正规模。正规模满足模式的正交性和完备性。
s
s
式中各场量都表示横向磁场，而面积分是在包括包层的光纤 整个横
截面S上进行的。
(6-2)是两个导波模式之间的正交关系。可以证明每个导波模也
与辐射模正交，即满足如下数学关系
Etj
H trad
ds
E trad
Htj
ds
0
6 3
s
s
模式的正交性是可以通过Lorentz互易定理证明的。
E H* E* H ds 0 6 4 s
exp
j
i
k
z
Ak
z
i
k ik
Ai
exp
j
i
k
z
i
k ik
Ai
exp
是理想的光纤
折射率的分布，而实际的折射率分布为n，可以看成是理想光纤折射
率分布n0 的微扰。
而这种实际光纤中的场分布满足标量波方程
2 x, y, z k02n2 x, y, z 0 6 28
将实际光纤的光场分布(6-26)式代入标量波动方程(6-28)式，得到
i
Ai
z i2
d 2 Ai z
a1 z a1 cos Kze j z
a2
z
a1
sin
Kze
j
z
6 16
在弱耦合条件下，可以认为光纤1内的场即为a1zE10 和 a1zH10 ，波
导2内的场则为 a2 zE20和 a2 zH20 ，并假设 K12 1 ，则光纤1和光纤2
中传播的功率分别为
K 21
P1 z a1 z a1* z a12 cos2 Kz
数相同。
两个耦合系数中的有关量都是单根光纤存在时的模式场解，可认为 是已知的，求得的耦合系数代回(6-5)式，则可以完全得到横向耦合 系统的场分布。
•2. 模式的纵向耦合理论
光纤实际制作工艺常存在一些非理想性因素(包括 预制棒制作以及拉丝过程)，会引起纵向不均匀性。这 种不均匀性将导致光波的反射，因而在不均匀光波导 中会存在正、负两个方向传播的光波。
再对同一模式的情况讨论。此时有 2 1 ，则可得到
A2 L
jK12
L 0
A1
z
dz
6 12
将上式代入(6-9)式，同时利用 2 1 的条件，可解得
A1
z
B1e jKz B2e jKz
A2
z
K K21
B1e
jKz
K K 21
B2e
jKz
6 13
式中 K K12K21 ，B1, B2 为待定的积分常数，由初始条件决定。若假
严格求解这两个系数是非常困难的，简化的过程如下。
如右图示，将整个光纤耦合系 统分成三个区域。
如前所述，弱耦合条件下，可 认为波导1和波导2内的场分别为
E1 a1zE10 H1 a1zH10
HE22
a2 zE20 a2 zH20
波导1 波导2
D1
D3
n1 n3
D2
n2
两根互相平行的光波导
根据电磁波的传播理论，光纤1中的电场会在周围激励起磁场， 磁场也会在周围激励起电场。由麦克斯韦方程，可知光纤1周围有
可以证明，光波导纤维中实际可以存在的任何电磁场必然可以 表示为有限多个离散的导波模式和具有连续谱的辐射模式的叠加.， 这就是所谓模式完备性。
数学上，模式的完备性表示为
E
j
ajEj
j
a j E j Erad
H a j H j a j H j Hrad
j
j
6 1
上式中，E j , H j 表示第j个向正Z轴方向传播的导波模的电磁场
e
j
K
z
a2
z
A2
z
e j2z
1 2
a2
k12 k21
a1
e
j Kz
1 2
a2
k12 k21
a1
e
j
K
z
6 15
从上式可以看到，由于两根光纤的相互影响，可以认为光纤1和光纤 2中的光波场都分裂为两个波，其相位常数分别是原相位常数 的微 扰结果， K和 K。
如果再令初始条件 a2 0 ，则可将上式简化为
6 22
上式中负号表示功率交换过程中波导1失去功率，而积分区域是波导 2的横截面。
另一方面，由前面的(6-17)式，以及耦合方程(6-9)式，又可以得到
dP1 d
dz
a1a1* dz
a1
da1* dz
a1*
da1 dz
2 Re
ja1*a2K21
比较(6-22)式和(6-23)式，可以得到耦合系数为
合，即
E A1 z E1 A2 z E2
H
A1 z H1
A2
z
H2
6 5
必须注意到的是，上式说明光纤1和光纤2同时存在时，总的光
波场已不是两根光纤场量的简单叠加。由于相互作用的影响，两根
光纤的场量叠加形成的总场量是随z变化的。也就是说，它们的叠加
系数是随着距离z变化的。
如果将光纤1和光纤2中的光波模式写为如下形式
H12 j0n32E12 6 18
上式中的 E12就是光纤1中的磁场在光纤1周围激励起的电场；这 个关系，在波导2内，可以表示为
H12 j0n32E12 j0n22E12 j0 n32 n22 E12 j0n22E12 j0 n32 n22 a2 z E102
j0n22E12 Jd 6 19
矢量，而 E j , H j 表示第j个向负Z轴方向传播的场的电磁场矢量， Erad , Hrad 则是辐射模。式中的系数由模式的正交性和激励条件决定.
模式正交性指的是光波导中各导波模式在无损耗条件下独立传 播，不同模式之间没有能量耦合. 数学上，模式的正交性表示为
Eti Htj ds Eti Htj ds 0 i j 6 2
K12 K2*1
利用 (6-8)式和耦合方程(6-9)式，可以得到
dA1 z dz
jK21A2
z e j12 z
dA2 z dz
jK12 A1
z e j2 1z
6 10
对上式求解时，先假设在z=0处A2(0)=0，即在起始端，假设光纤2中
没有光波，则对(6-10)的第2式积分可以得到
P2
z
a2
z
a2*
z
a22
sin
2
Kz
6 17
上式说明了一个有趣的现象，光波功率在光纤1和光纤2之间周期性 交换，如果 sin2 Kz 1 ，则光功率完全耦合到光纤2中。
上面结果只是弱耦合的情况，实际的光波场，还要考虑另外一项的 影响。
(6-15)式 和(6-16)式的结果只能说是耦合模方程的形式解，因为在所 得结果中，有两个重要的参数，即耦合参数K12和K21并未给出。
光波导的纵向不均匀性，还将导致波导内传播 模式正交性的破坏，在不同的传播模之间会产生能 量耦合。
由于光纤的纵向不均匀性，理想波导模式单独传播的条 件在这种光纤结构中已受到破坏。此时，其中传播的光波场 是一个极为复杂的电磁场边值问题的解。
但在纵向均匀性不是很严重的情况时，或者说只是光纤 受到微扰时的情形，可以把其中的光波场表示为理想光纤模 式的叠加，即
x, y, z
Ai
z
i
x,
y,
z e j zi
Ai
z
i
x,
y,
z
e
j
zi
6 26
i
i
上式的“＋”和“－”号就表示了正负两个传播方向传播的模式，
而其中 i的,
i
是理想波导模式，必然满足波动方程
i2
2 i
k02n02 i2
i
0
6 27
理想的波导模式
i
,
i必然还满足正交归一关系。n0
E1 E10e j1z ; H1 H10e j1z
E2
E10e j2z ; H2
H e j2z 10
则耦合波的形式为
6 6
其中
E a1 z E10 a2 z E20
H
a1 z
H10
a2
z H20
6 7
a1 z A1 z e j1z
a2
z
A2
z e
j2z
6 8
A2
L
L
jK12 0 A1
z
e j2 1z dz
6 11
上式说明，光纤2在原先没有光波的条件下，经传播距离L后，
建立起振幅为A2(L)的光波场。
另外，2 1 0 时， e j2 1 z是一个高速振荡的因子，在耦合
距离L内，不可能积分得到一个有效大小的值。也就是说，在光纤1
与光纤2之间，仅当相位常数相近或同一模式间才能产生有效耦合。
设 a1z 0 a1 ，a2 z 0 a2，则可得到
B1
1 2
a1
K 21 K
a2
B2
1 2
a1
K 21 K
a2
6 14
则由 (6-13)式和耦合方程(6-14)式，可以得到
a1
z
A1
z
e j1z
1 2
a1
k21 k12
a2
e
j Kz
1 2
a1
k21 k12
a2
•2. 模式的横向耦合理论
如右图示，两根互相平行的光纤，构成了一个耦合波导系统.由 于有另一根光纤的存在，无论是光纤1还是光纤2中的光波场都将受 到另一根光纤中光波场的影响。
为分析两根相互靠近的光纤 的影响，首先假设两根光纤单独 存在时的场量分别为
a.)只有波导1存在时
E1
E110e j1z E102e j1z
dz 2
m j2
dAi z
dz
i2 Ai
z k02n2 Ai
z
i
em
ji
z
0
6 29
利用所谓缓变条件，以及理想波导模式的正交规一化关系，并对上
式两边分别同乘以
* k
exp
jk z
，然后在波导横截面上对上式积
分，可以得到
Ak z
i
k ik
Ai
exp
j
i
k
z
i
k ik
Ai
6 23
K21
0
4
Re
S2 E210* E102
n32 n22 dxdy
同样的过程，可以得到另一个耦合系数
6 24
K12
0
4
Re
S1 E101* E202
n32 n22 dxdy
6 25
两个耦合系数的形式是一样的，只是积分截面不同，从上两式可以
看到，如果两根光纤的几何结构和电磁参数一致时，则两个耦合系
p 1 z'
4z
S2 a2
z
E210
J
* d
a2*
z
E210* Jd dxdydz
则单位长度上交换的功率为
6 21
dP1 1
dz 4
S2 a2
z
E210
J
* d
a2*
z
E210* Jd
1 2
S2 Re a1*
z a2
z
j 0
n32 n22
E210E102* dxdy
波导1内 波导1周围
H1
H110e j1z H120e j1z
波导1内 波导1周围
两根互相平行的光波导
b).只有波导2存在时
E2
E210e j2z E220e j2z
H2
H210e j2z
H
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
220e
j
2
z
波导2内 波导2周围 波导2内 波导2周围
上述各表达式中的各场量都是单根理想光纤存在时的导波模 式。如果光纤是单模光纤，则各场量是光纤的主模式；如果是多模 光纤则应理解为光纤中可能存在的传播模式的完备组合。
上式说明，光纤1中的电场 E1在光纤2中激励起了极化电流 J d,而
光纤2中的电场为a2 zE210，这个电场将会对上述极化电流作功，产
生功率交换。单位体积内的功率交换量可以从相关理论得到，为
p
1 4
a2
z
E210
J
* d
a2*
z
E210* Jd
6 20
则在一段距离的光纤结构中的功率变换为
上述导波模式之间，以及导波模式和辐射模式之间的完备性与 正交性对于单根的理想光纤是成立的。
实际上，任何光纤都不可能是理想光纤；光纤会存在损耗，几 何形状也会因实际工艺的影响而有微小的变化，波导周围也可能有 其他导波结构或障碍物存在，在这些非理想情形下，光波导模式之 间都会有能量的耦合。
我们将关注两根平行光纤之间存在的模式横向耦合问题，还有 光纤纵向不均匀性引起的模式纵向耦合问题。