几种特殊类型函数的积分

1 5
1
1 x2
dx2
1 5
1
1 x2dx
2 ln | 1 2x | 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C .
5
5
5
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1
例2：求积分 x( x 1)2dx.
解:
x(
1 x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
2
2 tan x
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例9：求积分
I
sin 4
x
1
cos4
x
dx
解2：I
1 cos4 x(1 tan4 x) dx
1 cos2 x(1 tan4 x) d tan x
1 tan2 x 1 tan4 x d tan x
令 u tan x x 2arctan u（万能置换公式）
2 sin x 2sin x cos x
22
2tan x 2
sec2 x
2tan x 2
1 tan2 x
2u 1 u2
2
2
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cos
x
2 cos 2
x 2
1
1
2 tan2
x
1
2
1
2 u2
1
1 1
u2 u2
I
1
1
(1
t4 t 2 )2
(1
1 t 2 )2
1 t 2 dt
1 t2 1 t4 dt
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I
1 t2 1 t4 dt
1
1 t2
t
2
1 t2
dt
(t
1 1)2
2
d
(t
1) t
t
1
t1 arctan t C
2
2
1 arctan tan x 1 C
x
dx
1 4
1 cos2
x
dx
用万能公式较繁
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1 4
sin
1 x cos2
x
dx
1 4
1 cos2
x
dx
1 4
sin2 x cos2 sin x cos2 x
x
dx
1 4
1 cos2
x
dx
1 4
sin x cos2 x
dx
1 4
1 sin
x
dx
1 4
1 cos2
1)
x
A x1
Bx C x2 x 1
解得： A 2 , B 4 , C 5 ,
33
3
I
xdx
2 3
x
1
dx 1
4x 3 x2
x
5
3
dx 1
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x
1
dx 1
2 3
2x x2
1 3 2dx
x1
xdx
2 3
x
1
dx 1
2 3
2x x2
,
万能置换公式 令 u tan x x 2arctan u
2
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u
2
du
R(sin x,cos x)dx
R
1
2u u2
,
1 1
u2 u2
1
2 u2
du.
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例7：求积分
1
sin sin x
x
dx
1 tan 4
x
1 4
1 cos
x
1 4
1 sin
x
dx
1 4
1 cos 2
x
dx
1 1 ln csc x cot x 1 tan x C.
4cos x 4
4
说明：一般来说，用万能置换的计算量会比较大， 故在计算三角函数有理式的积分时，通常先 考虑其它方法，不得已再用万能置换。
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x
dx
1 4
1 cos2
x
d (cos
x)
1 4
1 sin
x
dx
1 4
1 cos2
x
dx
1 1 ln csc x cot x 1 tan x C.
4cos x 4
4
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例8：求积分 解2：同解1
1 sin x sin 3x sin
x
dx.
1 sin x sin 3x sin
此处P( x) ，Q( x) 之间没有公因式，即P( x) 是 Q( x)
既约分式。
(1) n m, 称此有理函数是真分式；
(2) n m, 称此有理函数是假分式；
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说明：
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和。
例
x3 x2
x 1
1
x
1 x2
cos
x
dx.
解： 由万能置换公式 令 u tan x 2
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
，
dx
1
2 u2
du，
1
sin sin x
x
cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
2u (1
1
u2 u)(1
1 u2 u2 ) du
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(1 u)2 (1 u2 )
三角函数有理式的主要积分类型及代换
(1) R(sin x)cos xdx 令 sin x t (2) R(cos x)sin xdx 令 cos x t (3) R(tan x)sec2 xdx 令 tan x t
(4) 若 R(sin x, cos x) R(sin x,cos x) 令 sin x t (5) 若 R( sin x,cos x) R(sin x,cos x) 令 cos x t (6) 若 R( sin x, cos x) R(sin x,cos x) 令 tan x t (7) 万能代换 令 tan x t
x
dx
1
1
11
4 sin
x cos2
dx x
4 cos2
dx x
1 4
1 sin
x
d
tan
x
1 tan 4
x
1 4
tan sin
x x
1 4
tan
x
cos x sin2 x
dx
1 tan 4
x
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1 tan x 4 sin x
1 4
tan
x
cos x sin2 x
；
解2:
x4
2x2 x3 1
1
x
2x2 x x3 1
1
x
2 3
3x2 x3 1
x1 x3 1
x
2 3
3x2 x3 1
x2
1 x
1
I
xdx
2 3
1 x3
dx3 1
(x
1 1)2
3dx
24
1 x2 2 ln | x3 1 | 2 arctan 2x 1 C
23
3
3
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(x
A1 a)k
(x
A2 a)k1
Ak xa
,
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k , 其中 p2 4q 0
则分解后含有下列项：
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中 Ai ， M i , N i 都是常数(i 1,2,, k ) ，用待定
第四节
第四章
几种特殊类型 函数的积分
一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理式的积分
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一、有理函数的积分
定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数.
即
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
x 1 arctan 22
x
1 x
2
1 2
x 1 ln 22
x x
1 x
1 x
2 C
2
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二、三角函数有理式的积分
三角函数的有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构
成的函数．一般记为 R(sin x,cos x)
求 R (sin x , cos x) dx 的一般方法：
1
例1 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
(1
1 2 x )(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0,
B 2C 0, A C 1,
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例6：求积分
dx x4
1
解: 原式 1
2
(x2
1) ( x2 x4 1
1)
dx
1
2
1
2
1
1 x2
x2
1 x2
d( x
dx 1)
x
( x 1 )2 2
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
1 d( x
dx 1
x
)
2 ( x 1 )2
2
注意本题技巧 按常规方法较繁
(1 u)(1 u2 ) du
1 u
1 u2du
1
1
du u
1
1 u2
du
u 1 u2du
1
1
du u
arctan u 1 ln(1 u2 ) ln | 1 u | C
2
u tan x 2
x 2
ln | sec x | ln | 1 tan x | C.
2
2
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A
4, 5
B
2,C 5
1, 5
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(1
1 2 x )(1
x2
)
1
4
5 2
x
2x 5 1 x2
1 5
.
(1
1 2x)(1
x2 ) dx
1
4
5 2x
dx
2x 5 1 x2
1 5dx
4 5
1
1 2
dx x
2 5
1
x x2
dx
1 5
1
1 x
2
dx
2 5
1
1 d(2x) 2x
例8：求积分
1 sin x sin 3x sin
x
dx.
解1： sin A sin B 2sin A B cos A B
2
2
1 sin x sin 3x sin
x
dx
2
1 sin x sin 2x cos
x
dx
1 sin x 4sin x cos2
x
dx
1 4
sin
1 x cos2
1dx x
(
x
1 1)2
dx
x
1
dx 1
ln | x | 1 ln | x 1 | C . x1
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例 3：求积分 I
x4 2x2 1 x3 1 dx
；
解1:
x4
2x2 1 x3 1
x
2x2 x 1 x3 1
x
(
x
2x2 1)(
x1 x2 x
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例 4：求积分 I
(
x2
4
x
1 4)(
x2
4
x
dx 5)
；
解: I
1
1
(
x2
4x
4
x2
4x
) dx 5
(
x
1 2)2dx
(
x
1 2)2
dx 1
1 arctan( x 2) C x2
2
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例9：求积分 I
sin 4
x
1
cos4
x
dx
解1: 满足 R( sin x, cos x) R(sin x,cos x)
令 tan x t x arctant
sin2
x
tan2 x 1 tan2
x
t2 1 t2
dx
1
1 t
2
dt
cos2
x
1
1 t2
. 1
多项式的不定积分是容易求的，因此， 下面我们只讨论真分式的不定积分。
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设 P( x)是真分数，它的不定积分可按下面步骤求： Q( x)
（1）将Q( x) 在实数范围内分解成一次多项式和 二次多项式的乘积：( x a)k ，( x2 px q)l ，其中 p2 4q 0，k , l 是正整数；
x
1
dx 1
x2
1 x
dx 1
xdx
2 3
x
1
dx 1
2 3
d( x2 x 1) x2 x 1
(
x
1 1)2
3dx
24
1 x2 2 ln | x3 1 | 2 arctan 2x 1 C
23
3
3
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例 3：求积分 I
x4 2x2 1 x3 1 dx
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例5：求积分
解: 原式
( x2 2x 2) (2x 2)
( x2 2x 2)2
dx
(
x2 x2
2x 2 2x 2)2
dx
(
x
2
2
x 2x
2
2)2
dx
(
x
dx 1)2
1
d( x2 2x 2) ( x2 2x 2)2
1 arctan( x 1) x2 2x 2 C
（2）按Q( x) 的分解结果，将 P( x) 拆成若干个部分 Q( x)
分式的和（部分分式是指如下两种类型的分式：
(
x
A a)n
， (
Mx x2 px
N q)n