几何证明基础

几何证明基础
第一部分：命题的四种形式 一、 命题的定义： 判断一件事情的句子叫做命题。

二、 命题的结构：
命题=条件（题设）+结论
三、 命题的基本表述方式：
四、命题的分类
五、命题的四种形式:
【注】1、“互逆”和“互否”的命题不一定同“真”或同“假”
；
2、“互为逆否”的两个命题必同“真”或同“假” 。

第二部分：证明的基本常识 一、 证明的意义 必要性（仅凭观察、猜测、度量都是不够的）
二、 证明的定义：
陈述某一判断的充足理由的思维形式，即用已知的真实的理由推出一个判断的真实性。

三、证明的结构和要求
真实性待证明的判断，又叫待证命题。

证明的依据和理由。

利用论据来证明论题的推理过程。

论据充分 层次分明 步骤完整
论题要明确
论题必须始终如一（偷换概念）
论据必须真实（虚假理由，予期理由）
论据必须能推出论题（不能推证，不能推出）
论据不能靠论题论证（循环论证）
五、证明的依据
主要有：定义、公理、定理及其推论、已知条件、己证明的结论、等量性质、等式（不等式）性质等
3. 依题意和图形，写岀“已知”，“求证”
4. 分析题意，探索证明思路和方法
5. 依思路运用数学符号和语言有条理地写岀证明的过程。

6.
检查表达过程是否正确，完善。

七、证明方法
1证明的入手方式/
六、证明的一般步骤
1. 理解题意
2. 依题意画出正确的图形
1、“如果一一那么
2、“若__则
3、“已知一一求（证）一一”等形式。

命题
真命题
假命题
公理
*産理
（正确的命题）
（错误的命题）
1、证明 结构包括：广①论题:
2、证明的基本要求：
四、证明的规则：
A. B. 2 C.
D. y
互逆
I间接证法r反证法I 穷举法
I同一法（伪设法）
（重点介绍反证法）
①直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半。

②一个三角形中，最多只有一个直角。

③一个三角形中，至少有一个角大于或等于60。

（同一法简析）
例：正方形ABCD内有一点，使△ ADE为等腰△，且V DAE= V ADE=15 证明：△ BCE是等边三角形。

2、证题的思路「
1. 综合法：由“已知”看“可知”，推得“未知”。

即由已知的题设岀发，推导可能的结
J 论，最后得到未知的待证结论。

好比“顺水泛舟”简称为“由因导果”
2. 分析法：由“未知”，看“需知”，逐步靠拢“已知”。

即由待证命题岀发，找岀得到
L 这个结论的条件，逐一推到已知的题设。

好比“逆水行舟，执果索因”
”枚举归纳法（不完全归纳）
3、从推理形式归纳法：由特殊到一般的一种推理形式v普通归纳法（完全归纳法）
数字归纳法（科学归纳法）
｛演绎法：由一般到特殊的一种推理形式。

具体分三个部分：“大前提+小前提结论”
又称“三段论”
C i.证明两线段或两角相等
八、基本几何命题 2.证明线段或角的和差倍分。

3, 证明线段或角的不等关系。

4, 证两线平行或垂直。

J5.证线段成比例式或等积式。

）6.有关面积的计算或证明。

7. 定值问题
8. 点共线问题。

9. 线共点问题
10. 尺规作图问题。

第三部分：几何证明方法和问题归类
1、命题证明的不同流派
在几何命题的证明研究曾出现过不同风格特点的各种流派，如：变换派，计算派，结论派，图形派，杂派。

2、几种常见几何命题的证明
【A 】证明两线段或两角相等
•、常用的定理等依据
1. 利用相交线与平行线的有关定理
2. 利用角平分线定理及其逆定理
3. 利用三角形中角平分线逆定理
4. 利用等腰三角形的有关定理
5. 利用全等三角形的有关定理 6
利用相似三角形的有关定理 4. 圆外一点与圆心连线平分从这点向圆所引二切线所夹角
（弦心距）
二、基本方法 合同三角形法：利用两三角形全等或相似的有关定理证明
两线段或两角相等。

转借代换法： 根据适当的定理，添加若干辅助线以它们为媒介代换成待证结论。

【B 】证明线段或角的和差倍分
一、常用定理
仁有关线段的定理：卜直角△斜边上中线等于斜边的一半。

b. Rt △中30°的角所对的边等于斜边一半。

c. 中位线定理。

d. 三角形的重心定理，垂心定理等。

£.比例或相似形的性质定理。

2、有关角的定理：玄.△内角和与外角定理。

-b.有关两角互余，互补，相等的定理。

c .等弧上圆周角（或弦切角）与圆心角的有关定理
二、常用的证明方法：
q =a-c
1、 截长补短法；证明线段 a=b ± c 可作一线段p=b ± c ，然后证a = p 或者作一线段，q =a +c 再证b = q
对于角的有关命题身份此可证，称为“割补法”。

2、 加倍折半法： 若证明 线段a = 2b ，可将线段b 加倍，即作线段c = 2b ，再证a = c ，或者
1
作线段p = a ，b = p （角变同理可仿证）
3、直接运用有知定理或化为三角形有关的面积问题解决。

三：练习作业
1. 平等四边形 ABCD 中，自钝角 A 作AF 丄BC 于F ，BD 交AF 于E ，DE=2AB ，证明 v ABD= v 2EBC
2. 平行四边形 ABCD 中，BC=2AB, M 为AD 中点，CE 丄AB 于E ,则V DME=3 V AEM
.1弦切割定理与相交弦定理
2.弦切角定理
3圆内接四边形外角等于内对角定理
利用平行四边形的有关定理 利用圆的如下定理：
【C］证明两线段或两角的不等关系
一、常用的定理
1. △中两边之和大于第三边。

2. 两个△中，若有两组对边对应相等，而夹角不等，则夹角大的所对边也较大；反之第三边大的所对夹角也大。

3. △中大边对大角，大角对大边。

4. △的外角定理
5. 垂线与斜线，切线与切线的比较定理。

6. 同圆或等圆中，两弧或两弦的比较定理。

7. 不等量公理。

8. 某些代数不等式。

二、常用证明方法
1.利用有关定理及不等量公理。

2.利用和等换集中分散的条件
3.利用比例，面积的计算证明
三、练习作业
1
1. 边长为1的正△内有五个点，证明：至少有两点间的距离小于一
2
1 1
2. 在厶ABC中,AB=2AC，则最小边与三角形的周长之比界于一与一之间。

,
6 4
3. 设M是等腰△ ABC底边BC的中点。

P是厶ABM内部一点，则V APB > V APC
4. 三角形任一角的平分线小于两夹角边的半和。

【D］证两线垂直或平行
一、常用定理
1. 有关垂直的定理
①垂直的定义
②等腰△顶角平分线（底边中线）是底边上的高。

③菱形（正方形）的两条对角线互相垂直
④半圆周角是直角
⑤平分弦（非直径）的直线垂直弦。

⑥二圆的连心线垂直平分公共弦。

2. 有关平行的定理
①平行线的定义，及判定公理，定理
②三角形（梯形）中位线定理
③平行（垂直）于同一直线的二直线平行
④关于同圆内不相交二弦间的弧相等，则二弦平行
⑤平行线截得比例线段定理。

二、常用证法
1. 直接应用有关定理
2.
过渡氏换
三、练习作业
1. 自圆外一点 A 引切线，切点为B ,过AB 中点M 作割线交圆于 C,D ,连AB,AD 又交圆于E F,则AB // EF
2. 点P , Q , R 是厶ABC 的边BC CA , AB 的中点，PR 中点M , AM 与PQ 交于N ,贝U BM // CN 3设.BE , CF 是厶ABC 的高，在高线 BE 上截取BP=AC ，在高线 CF 上取CQ=AB ，求证：AP 丄AQ 4.0 0. Q 0'交于A,B 。

在。

0上取点D ,设DA , DB 的延长线交。

0'于Q,R _则OD 丄QR
【E 】线段成比例式或等积式的证明
一、 常用定理
1. 平行线截得比例线段定理
2. 三角形内，外角平分线定理
3，相似形对应线段成比例 4射影定理 5. 圆幕定理
二、 常用方法
1•利用相似三角形 或有关其它定理。

2•利用中间比作桥梁
3•利用比例，面积或其它计算方法证明 4•若待证等式为多项式
5•证明若干比之和（或积）等于 1或其它常 数
① 设法把各比化为分母相同的比（或等比）
，使之相加后分子等于分母（或相乘后约分为 1）
② 利用面积 比的有关性质，将这几个比化为分母相同的面积比（或相等的面积比，使之相
加（或相乘）后分子等于分母（或约分为 1）
（思考作业二）
（1） 非钝角△的外心到三边的距离之和，等于外接圆与内切圆半径之和。

（2） 不能内接圆的凸四边形中，两对角线之积小于两双对边乘积之和
，而大于其差•
⑶0 ABC 内一点，过0点作EF,QP,GH 分别平行 BC,CA ,AB
(4) 0 ABC 内一点，AO,BO,CO 与 BC ,CA,AB 分别交于 D,E,F
BD CE AF ,
1 DC EA FB
【F 】关于面积计算的证法
、常用定理
1•等（同）底（同）高的两个厶（或平行四边形）的面积相等 2•面积公式 3•勾股定理
4•有关面积之比的定理①等咼（底）
的△面积比
② 相似△面积比
③ 等（补）角△面积之比
、常用证法
求证:①
HQ
BC
AC AB
②GH EF QP AB
BC CA
=2
求证:
依赖于两个公理：*l A ）面积不变性 ________ 全等形面积相等
UB ）面积可加性 ____ 大的图形可由少的拼成
3. 转化为线段计算来证明
【G 】定值问题
一、 什么是定值问题？
二、 常用证法（通法）：特殊位置求定值，一般情况证结论 三、 思考练习：
1、 设OA,OB 为O 0任两条半径，作BE 丄OA,垂足为E; EP 丄AB,垂足为 P , 求证:OP 2+EP 2为定值
（R 2）
2、 在一园中，随便取两条互相垂直的弦 AB,CD.P 为垂足，则PA 2+PB 2+PC 2+PD 2为定值（4R 2）
3、 在园内定点P 作互相垂直的二弦 AB.CD,则它们的平方和是一个常数 .
4、 定弦AB 的同侧有二名形弧 APB,ACB ,由A 和B 引任意弦APD 与BPC 交APB 于P 则 AC 与BD 的
交角一定.
【H 】点共线的证明
一、 证明三点共线是最基本的问题，常用方法有：
1. 利用等角或补角
2. 利用平行线或垂直线
3. 连结AB 再证CE,AB （C 在AB 上）
4. 证其三点所成△等的面积为零
5. 利用 menelaus 定理
二、 例题讲析 三、 思考练习题
1. 三角形两角的平分线及第三角的外角平分线各与边对所在直线的交点共线
2. 过三角形的顶点所作外接园的切线各与对边所在直线的交点共线
3.
将一顶点P 与正三角形ABC 的顶点相连.求证:三连续的中垂线各与对边所在直线的交点共线 .
4. 证明园内接六边形三双对边所在直线的交点共线
.
【I 】 关于线共点的证法
一、常用证明方法
1. 证明其中两线交点在第三线上 （如△中”诸心”可题）
2. 先确定两线交点，然后在第三线上找两点，再证明这三点共线（此法称作”一致法”）
3. 先确定两线交点，然后在第三线上找出一点与交点相连，再证明连线与第三线重合•
4. 证明各线都通过一点
5. 利用 已知的线共点的定理
（变更原题）
6. 禾U 用cwa 定理：设X,Y,E 各是△ ABC 三边（所在直线 上的点）BC, CA,BA 上的点，则
AX ,BY ,CE 共点或平行的充要条件是
：
1•直接引用腾定理 2•利用等积变换
① 相对计算法 ② 割补法
BX CY AE XB YC EA 1 1
XC
YA EB
XC YA
EB
二、例习题选析
1•以非正厶ABC 的三边分别向外作正△ BCA '正△ CAB '，正△ ABC '求证：AA ' ,BB ' CC '三共点
（该点为△的负等角中心）
2•在一四边形中，若有一双对角的平分线与他的对角线共点
，则其他双对角平线与另一对角
线也共点•
3•设△ ABC 中,BC 边在v A 的外角平分线上的投影为
B '
C '贝U BC ' ,CB '与v A 的平分
线共点•
4•在△ ABC 中,以BC 为直径作圆交 AB,AC 于E,F.求证:圆在E,F 的切线与高线 AD 共点• 下面介绍值行注
意的”两点”,”三线”,”五定理”
范马点：各内角都小于 120°的三角形内有一点，若该点对各边的视角相等，则该点到 三顶点的距离之和极小，这个点叫范马点.
密克点：设在△ ABC 三边BC ,CA,AB 所在直线上各任取一点X,Y,E 则
QAYE ,QBEX, QCXY 共点，这个点叫做 X,Y,E 对于△ ABC 的密克点.
三线 欧拉线：三角形的外心，重心，垂心三点共线，这条直线叫做欧拉线.
一" 彳牛顿线：完全四边形的三条对角线之中点共线，这条直线叫做牛顿线.
西摩松线：三角形外接圆周上任一点在三边
（所在直线）上的投影共线，这条直线
叫做园上这点的西摩松线.
五定理
托列迷（ptolerny ）定理：园内接凸四边形，两双对边乘积的和等于两对角线的乘积 . 西摩松（simson ）定理:三角形外接圆周上任一点在三边所在直线
上的投影共线.
笛沙格（desargues 定理:两三角形对应顶点连线会于点，则对应边所在的直线的交点共线
梅涅芳氏（menelaus ）定理：即梅氏定理：设X,Y,EG 各是△ ABC 三边BC,CA,AB 或其延长线上的 “ 点，则它们共线的充要条件是 - ___________________堅•△旦=1或 上冬丄丫
1
XC YA EB
XC YA EB
塞瓦（cwa ）定理：设X,Y,E 分别是△ ABC 三边（所在直线）过BC,CA,AB 上的点，则AX,BY ,CE
共点或平行的充要条件是 __________ 9工• 胆=1或卫生• 些1
XC YA EB XC YA EB
【尺规作图】
、几何作图的基本知识
几何作图：按预定条件，作岀适合条件的几何图形的过程 .
尺规作图：在初等几何中，几何图形只限于直线型和圆 ，而不讨论其它曲线.而直线和图 总可由直尺和园规来作，并且规定.J 直尺__半面/无刻度/直/无限长
［圆规—两脚无限长，并能开闭自如
在初等几何中，作图工具若只限于直尺和圆规的话，这种几何作图叫作尺规作图，也叫 规矩作图或初等作图/欧氏作图
2、 解作图题？
使用合适的工具和恰当的方法，作出适合条件的几何
图形的过程叫做解作图题
3、 几何作图的分类定位作图
｛
（一）有关概
念
〔活位作图
J全活位作图
"乎活位作图
4、作图的解及解的个数
对定位作图而言：凡适合条件图形都称为作图的解，能作出多个这样的图形就称有多少个”解”
对活位作图而言：若适合条件的图形彼此合同，则不论有多少都说它只有一个解，当且仅当适合条件的图形彼此不能合同时，才称作不同的解.
对定位/活位作图都有：所求作的图形不存在时,便说'无解”
5、两个重要概念（两种提法）的区别：
无解”与”作图不能问题”不能混为一谈，所谓”无解”根本就没有，即不存在，重点为”无”所谓”作图不能问题”，只是在工具和功能限制下，不能作出图形，若取消这些限制就不一定不能解了.
（二）几何作图的地位和作用
1、几何作图的地位________ 由几何作图可解决存在问题，从而为几何命题的讨论带来实际可
仿的模型，因此几何作图乃为几何中的首要问题•
2、几何作图的作用：
①建立学生由抽象到具体的几何观念；
②作图可推证具体的材料，使学生学以致用,培养独立思考能力和创造力•
③为制图学奠定理基础
④培养学生逻辑思维能力和分析问题的能力•
（三）作图的条件要求
每一个作图题都有预先给定的条件，不过如果条件不适当，图形就不一定能作出或准确定地
作出•因此作图条件必须满足三点
需注意的是：这三点乃作图题的图形确定的必要条件而非充要充要条件，有时条件适合上面三点，但作图仍不能确定■
（四）作图公法
作图公法实质是说明尺规的功能问题，而尺规的功能问题实质上是解决怎们用直尺/圆规制作图题的问题•在初等几何中，一般是规定以三条公法的有限次结合来解决几何中尺规作图题的①通过已知两点可以作一条直线.
、②已知园心和半径可以作一个圆
③已知两直线，一直线和一圆或两圆，若其相交，则可求其交点.
（1）除以上三条公法外，还另有一条规约—在已知直线上或外可任取点，不得附加任何条件•
（2） ____________________________________________________ 根据以上公法，假定直尺和圆规可以并且只可以有如下功能________________________________________ 画直线/作圆/求交点•其中，直线用直尺画，圆用圆规作•交点可单用直尺/圆规作或直圆规兼而用之作• ”
（3）规定作图时为三条公法的有限次结合，这个有限次结合很重要，如果取消这一规定，有的尺
规作图不能的问题便成为可能的了，至少在理论上是可能的了.
（4）最后，不有一个成明文的”规矩”就是直尺/圆规两种工具不能同时合并一起使用•否则有的尺规作图不能问题也会变成可能了•
（五）作图的一般步骤：解作图题时，一般釆用下列步骤：
①已知 ___ 详尽写岀题中的已知条件
②求作 ___ 把所作图形的特征叙述出来
③分析 ___ 可作草图.帮助分析已知和求作的关系
④作法 ___ 类似证明，严密地写出作图步骤及方法
⑤证明—因在分析时，往往将条件互换，有时并不一定为等价转化，故需证明.
⑥讨论 ___ 仍人全面着手，从分析/归类/系统地考查图形的有无/多少/解是否确定等问题.
二、作图成法
（一）关于直线型中直线/线段及其比例问题
①在一直线上截取一线段等于已知长线段
②过定点（在直线上或外）作该直线的垂线
③过定点作直线的平行线
④作一线段的垂直平分线
⑤等分一已知线段
⑥作一线段等于已知两线段的和
⑦作一线段等于已知两线段之差
⑧内（外）分一已知线段为另二线段的比
⑨作三条已知线段的第四比例项
⑩作二线段的比例中项
（11）a为已知成段长,m为正有理数，作一线段等于a眉（12）a,b为二已知线段，作一长为的线段a2 b2
（13）a.b为已知两线段，且a> b作长为.a2-b2的线段.
⑭）把一线段内（外）分成中外比（黄金分割）
（二）关于直线型中三角形诸问题
①以一定射线为边•端点为顶点，在其一例作一角等于已知用
②作一已知角的平分线
③已知两边作Rt △必须
④已知边长作正厶已知三边
⑤已知下列条件作三角形：已知两边及夹角
已知两角及夹边已知两角及另一角
所对的边已知两边及其中一边的对
角已知两角及其中一角的对边（三）关于圆的有关问题
①已知弦及内接角作弓形弧
②平分—已知园弧
③作已知半径的两弧的内（外）连接
④过定点作定圆的切线
⑤作两定圆的内（外）公切线
⑥作已知三角形的外接圆/内切圆/旁切圆
⑦作已知园的内接（外切）正△/正方形/正六边形
（四）有关面积及其它问题
①已知对角线长作正方形
②用已知线段为一对应边，作△相似于已知△
③用已知线段为一对应边•作多边形相似于已知多边形
④已知一边及一邻角，作一△，使之与一已知厶等积（等积变形）
⑤作一正方形，使之与已知△等积•
三、作图法
这里指具体的数学问题，暂不作。

注
-
求
作
△
至
少要
有
一
条
边。