第九章组合变形 第一节斜弯曲

第二节 斜弯曲
1. 分析载荷，判断变形类型 两个对称弯曲的组合(弯弯组合) 2. 作内力图，确定危险截面及其 上内力 危险截面位于固定端 A 处，其上
A
z
Fz
y
B
F Fy
l
Fz
z
A
B
铅垂弯矩： M z Fl cos
水平弯矩： M y Fl sin
说明： 1）规定使截面上第一象限的点
受拉的弯矩为正。 2）组合变形强度计算时，弯曲内力只 考虑弯矩。
Mz
y

z
A
y
B
Fy

My
3. 分析危险截面上的应力 铅垂弯矩 Mz 引起的应力
z
A
Fz
y
B
Mz z y Iz
水平弯矩 My 引起的应力
F Fy
l
y
My Iy
z
yt max
1
4. 确定危险点及其应力状态 显然，危险点为 4点或 2 点。 危险点为单向拉伸(压缩)应力状态， 其处最大正应力
可见，载荷虽然只偏离了铅垂线 15°，但最大正应力却为原来的 3.5 倍。因此，当截面的 Wz 和 Wy 相差较大时，应尽量避免斜弯 曲。
[例2] 图示矩形截面梁，已知 l = 1 m，b = 50 mm，h = 75 mm。试 求梁中最大正应力及其作用点位置。若截面改为直径 d = 65 mm 的 圆形，再求其最大正应力。 解： 梁为斜弯曲 作弯矩图 可见危险截面位于固定 端处，其上铅垂弯矩、 水平弯矩分别为
1.5 kN m
M z 1.5 kN m
M y 2 kN m
Mz
x
x
2 kN m
My
1
抗弯截面系数
bh2 Wz 46875 mm3 6 hb2 Wy 31250 mm3 6
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1.5 kN m
x
Mz
梁中的最大弯曲正应力发 生在固定端截面的 1、2 两点处， 大小为
zc max
2
A
zt max
3
4
yc max
max
My Mz Wz Wy
z
A
B
F 中性轴
l
y
说明： 1）对于无棱角截面，则需根据中性轴判断危险点。 记中性轴上任一点的坐标为 ( z0 , y0 ) ，由 = 0，得中性轴方程
My Mz y0 z0 0 Iz Iy
Mz Mz
x
x
My
My
M z 29 kN m
M y 7.76 kN m
查型钢表，No. 32a 工字钢的抗弯截面系数
Wz 692 cm3
Wy 70.8 cm3
根据具有棱角截面的斜弯曲梁的强度条件
max
29 103 7.76 103 6 Wz Wy 692 10 70.8 106 Mz My
梁的最大弯矩最大
将 F 沿 y、z 主轴分解，有
Fy F cos 29 kN
Fz F sin 7.76 kN
作弯矩图， 可见跨中截面为危 险截面，其上铅垂弯矩、水平 弯矩分别为
M z Fy l / 4 29 kN m
M y Fz l / 4 7.76 kN m
41.9 MPa 109.6 MPa 151.5 MPa [ ] 160 MPa
所以，大梁的强度符合要求
max
Mz Wz

My Wy
41.9 MPa 109.6 MPa 151.5 MPa
讨论：若载荷不偏离铅垂线，则有
max
M
max
Wz

Fl 4 43.3 MPa Wz
x
2 kN m
My
max
My Mz 1.5 103 2.0 103 96 MPa 9 9 Wz Wy 46 875 10 31 250 10
若截面改为直径 d = 65 mm 的圆形，再求其最大正应力： 圆形截面梁的截面没有棱角，不能按上述方法计算，因为两个弯矩 引起最大应力点不是同一个点。由于圆为中心对称图形，故只需将 危险截面上的两个弯矩合成后，即可按对称弯曲计算。 危险截面上的合成 弯矩
中性轴为一条通过截面形心的直线
离中性轴最远的点即为危险点
2）中性轴的斜率
m
A
tan
y0 I z tan z0 I y

y
z
n
若 Iz ≠ Iy，则 ≠ ，即中性轴不垂
F 中性轴
直于载荷作用平面，故称为斜弯曲 5. 根据危险点的应力状态建立强度条件
l
危险点为单向拉伸(压缩)应力状态，故对于具有棱角截面的斜弯 曲梁，其强度条件为
2 M M z2 M y
2.5 kN m
故得此时该梁中的最大弯曲正应力为
max
M 2.5 103 N m 92.7 MPa π Wz 653 10 9 m 3 32
M z 1.5 kN m
M y 2 kN m
max
My Mz ≤ [ ] Wz Wy
式中，Mz、My 分别为危险截面上的铅垂弯矩、水平弯矩
[例1] 如图，桥式起重机大梁由 No. 32a 工字钢制成，梁长 l = 4 m， 材料的许用应力[ ] = 160 MPa 。吊车行进时载荷的方向偏离铅垂 线一个角度 。已知 =15°、F = 30 kN，试校核大梁强度。 解： 大梁为斜弯曲 当小车行至梁跨度中点时，