高中数学必修二直线与方程经典

高中数学必修2知识点——直线与方程

一、直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常

用k 表示。即0tan (90)k αα=≠。斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。

当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈时，0

90=α时，k 不存在。 ②过两点的直线的斜率公式：)(211

212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和

解：k 1=tan30°=

33 ∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3

例：直线053=-+y x 的倾斜角是( ) A.120° B.150° C.60°

（3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b

③两点式：

112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）即不包含于平行于x 轴或y 直线两点轴的直线，直线两点()11,y x ，()22,y x ，当写成211211()()()()x x y y y y x x --=--的形式时，方程可以表示任何一条直线。

④截矩式：1x y a b

+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。 对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：○

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是12

-，经过点A(8，—2)； . (2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； .

(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32

-； . 4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； .

例1：直线l 的方程为A x +B y +C =0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）

A ．C =0，B>0

B ．

C =0，B>0，A>0

C ．C =0，AB<0

D ．C =0，AB>0

例2：直线l 的方程为A x —B y —C =0，若A 、B 、C 满足AB.>0且BC<0，则l 直线不经

的象限是（ ）

A ．第一

B ．第二

C ．第三

D ．第四

（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k 的直线系：

()00y y k x x -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线

系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。 （三）垂直直线系 垂直于已知直线0Ax By C

++=（,A B 是不全为0的常数）的直线系： 0Bx Ay C '-+=

例1：直线l ：(2m+1)x +(m+1)y —7m —4=0所经过的定点为 。(m ∈R)

（5）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

（1）212121,//b b k k l l ≠=⇔；（2）12121-=

⇔⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（3）1212,k k b b ==⇔1l 与2l 重合；（4）12k k ≠⇔1l 与2l 相交。

另外一种形式：一般的，当1111110:0(,)l A x B y C A B ++=不全为， 与2222220:0(,)l A x B y C A B ++=不全为时，

（1）122112210//120A B A B l l B C B C -=-≠⎧⇔⎨⎩，或者1221122100

A B A B AC A C -=⎧⎨-≠⎩。 （2）1212120l l A A B B ⊥⇔+=。

（3）1l 与2l 重合⇔1221A B A B -=1221B C B C -=1221AC A C -=0。

（4）1l 与2l 相交⇔12210A B A B -≠。

例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值