离散数学 图的矩阵表示

7.3 图的矩阵表示

▪无向图的关联矩阵▪有向图的关联矩阵▪有向图的邻接矩阵▪有向图的可达矩阵

无向图的关联矩阵

定义设无向图G=<V,E>,V={v

1,v

2

,…,v

n

},E={e

1

,

e 2,…,e

m

},令m

ij

为v

i

与e

j

的关联次数，称(m

ij

)

n m

为G

的关联矩阵，记为M(G).

e 1e 2e 3e 4

e 5

1

23

4

例:求下图G 的关联矩阵

上图G 的关联矩阵:1232100001110()00111M G υυυ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥12345

e e e e e

无向图的关联矩阵

平行边的列相同

)4(2)3()

,...,2,1()()2()

,...,2,1(2)1(,11m

m n i v d m m j m j

i ij i m

j ij n

i ij =====∑∑∑==性质：

（5）当且仅当v i 为孤立点。

∑==m

j ij m 1,0

有向图的关联矩阵

⎪⎩⎪

⎨⎧-=的终点

为，不关联

与，的始点

为j i j i j i ij e v e v e v m 10,1定义设无环有向图D =<V ,E >,V ={v 1,v 2,…,v n },E ={e 1,e 2,…,e m },令

则称(m ij )n ⨯m 为D 的关联矩阵，记为M (D ).

e 5e 6

e 3

e 2

e 1e 453412

例:求图G 的关联矩阵。上图G 的关联矩阵:1234

1000001111

00()011011000111M G υυυυ⎡⎤⎢

⎥--⎢⎥=-⎢

⎥⎢⎥---⎢⎥1234

56e e e e e e

有向图的关联矩阵(续)∑∑∑∑===-======-=+

=j

i ij m j i ij m j i ij n

i ij m n

i v d m v d m m j m ,1110

)3(,...,2,1),()1(),()1()2()

,...,2,1(0)1(性质

(4)平行边对应的列相同

定义设有向图D =<V ,E >, V ={v 1, v 2, …, v n }, E ={e 1, e 2, …, e m }, 令为顶点v i 邻接到顶点v j 边的条数，称( )m n 为D 的邻接矩阵, 记作A (D ), 简记为A .

)

1(ij a )

1(ij a 有向图的邻接矩阵

234

1⏹求下图G 的邻接矩阵。

●解上图G 的邻接矩阵。

12000010()10010010A G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

给出了图G 的邻接矩阵，就等于给出了图G 的全部

定义设有向图D =<V ,E >, V ={v 1, v 2, …, v n }, E ={e 1, e 2, …, e m }, 令为顶点v i 邻接到顶点v j 边的条数，

称( )m ⨯n 为D 的邻接矩阵, 记作A (D ), 简记为A . 性质

的回路数

中长度为的通路数中长度为1)4(1)3(,...,2,1),()2(,...,2,1),()1()

1(,)

1(1)1(1)1(D a D m a n

j v d a n

i v d a n ii j

i ij j n i ij i n j ij ------=====∑∑∑∑-

=+

=)

1(ij a )

1(ij a 有向图的邻接矩阵

D 中的通路及回路数

)

(l ij a

)

(l ii a

∑∑==n

i n

j l ij

a

11)(∑

=n

i l ii a 1

)(定理设A 为n 阶有向图D 的邻接矩阵,则A l (l ≥1)中

元素

为D 中v i 到v j 长度为l 的通路数，为v i 到自身长度为l 的回路数，

为D 中长度为l 的通路总数，

为D 中长度为l 的回路总数.

D 中的通路及回路数(续)

例有向图D 如图所示,求A ,A 2,A 3,A 4,并回答诸问题：

(1)D 中长度为1,2,3,4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？(2) D 中长度小于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？

∑∑==n

i n

j l ij

b

11)

(∑=n

i l ii b

1

)(推论

设B l =A +A 2+…+A l (l ≥1),

则B l 中元素

为D 中长度小于或等于l 的通路数，

为D 中长度小于或等于l 的回路数.

演示文稿后

等