第四讲 项目效果模型

i i i i
(ref : IV ( z ' x) 1 ( z ' y )) cov( yi , zi ) cov( yi , zi ) / var( zi ) y回归z的系数 cov( xi , zi ) cov( xi , zi ) / var( zi ) x回归z的系数
* 1, T i 0 Ti * 0, Ti 0 E[ y1i | Ti 1] E[ i | i ]
(a) (b)
E[ y0i | Ti 1] E[ i | i ] (a ) (b) E[ y1i | Ti 1] E[ y0i | Ti 1] TT ATE
yi xi Ti i , 对所有人都可以观测到 Ti* zi i
* 1, Ti 0 Ti * 0, T 0 i
(Barrow-Cain-Goldberger 1980) 两步法 乐观
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yi Ti i Ti* i
因为Ti 1或是 0 是随机事件， 所以Ti 与 yi 是独立的，即：
E[ y1i | Ti 1] E[ y1i ]
E[ y0i | Ti 0] E[ y0i ]
所以 E[ ] E[ y1 y0 ] ATE TT
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（三） 是不是显著不为 0？
所以 IV
cov( yi , zi ) cov(Ti , zi )
, IV 是的一致估计。
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解释：IV，“Natural Experiments” 随机试验： cov(Ti , i ) 0 真实世界： cov(Ti , i ) 0 IV：
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在 potential outcome framework 的框架下，各种效果定义如 下：
i y1i y0i TT E[ y1i | Ti 1] E[ y0i | Ti 1] E[ i | Ti 1] ATE E[ y1i ] E[ y0i ] E[ i ] s E[ i | i S ]
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2、 Bjorklund 和 Moffitt (1987) Marginal Effect 和 Average Effect
f ( )
B A
M
'

' (Average) Treatment Effect on the Treated (Ti 1)
当项目是 A 扩大到 B 时，新进入项目的人的效果，叫做 Marginal Effect。
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工具变量法：
IV ( z ' x)1 z ' y, 是的一致估计 。 注：IV 不需要假设 是特定的分布（distribution free）
二阶段最小二乘法 y x z 是工具变量
ˆ 第一阶段：x 回归 z， x z ,得 x
ˆ ˆ ,得 ˆ， y x 第二阶段：y 回归 x
cov( zi , i ) 0 cov( zi , Ti ) 0
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一个例子:(一元回归)
yi 0 xi i xi是内生的，一个IV：zi 则： IV ( y y )( z z ) ( x x)( z z )
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两种结果 y1i : Ti 1 时的结果
y0i : Ti 0 时的结果
一般用 I i 1来表示个体 i 经历了某一事件（event）或某 一项目（treatment） 。 现在想知道这一事件（event）或项目（treatment）的效 果（treatment effect） 。
E[ y0i | Ti 1] E[ y0i | Ti 0]为偏差(Bias).
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（三） OLS？
yi Ti i ， OLS 有偏。 因为 corr (Ti , i ) 0
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（四） 截距项目模型（Intercept Only Model） 1、 基本模型
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三、选择性样本模型（Selection model） （一） 假设：数据不是由随机试验产生的 例如Ti 1或是 0 不是随机事件 对所有的样本点，均可观测到 yi 和 I i 。 即：对Ti 1，有 y1i ， 对Ti 0 ，有 y0i ， （合称 yi ） 但Ti 1或是 0 是选择的结果（Selection）
只有当E[ y0i | Ti 1] E[ y0i | Ti 0]时， ＝TT
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所以一般而言：
E[ y1i | Ti 1] E[ y0i | Ti 0]
E[ y1i | Ti 1] E[ y0i | Ti 1] E[ y0i | Ti 1] E[ y0i | Ti 0] TT E[ y0i | Ti 1] E[ y0i | Ti 0]
“有偏”，即使 Bi =0。 因为 E[i | Ti 1] E[i ] ，
E[i | Ti 1] ：“Treatment Effect on Treated”
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f ( )
Ti 0
ATE TT
Ti 1

记 ' E[i | Ti 1] 则 E[ yi | Ti ] 'Ti , 当Bi 0 所以Ti 的系数是 ' ，即当 i 依 i 而不同时，估计出的Ti 的 系数是 ' 。
困难：对Ti 1的 i 而言，只能观测到 y1i ，不能观测到 y0i ；
失踪数据（missing data）
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二、 经典随机试验（Fisher） (Classical Experiment) （一）化肥对农业产量的影响 n1 n0块地
i 1,...n1 , 施肥 i n1 1,...n1 n0 , 不施肥 哪块地施肥是随机决定的。 Ti 1, 施肥（treated group） Ti 0, 不施肥（control group） yi 产量
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（二） 因此，由数据我们可以估计：
E[ y1i | Ti 1] E[ y0i | Ti 0]
设 E[ y1i | Ti 1] E[ y0i | Ti 0] 可不可以用 来估计TT ? 但TT E[ y1i | Ti 1] E[ y0i | Ti 1]
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f ( )

0 Bias
E[ i | i ]

E[ i | i ]
f ( )
i
Ti 0
Ti 1
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OLS：
E[ y1i | Ti 1] E[ y0i | Ti 0] E[ i | Ti 1] E[ i | Ti 1] E[ i | Ti 0] E[ i | Ti 1] Bi
与 Switching Regression model 相同。
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当Ti 0
2、识别和估计 Random coefficient model： 同 Switching Regression model ML 2-step.
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四、工具变量法（Instrumental Variables） （一）复习 y x
如果E[ x ' ] 0 OLS 有偏
假设存在一变量 z，满足 (1) E[ z ' x] 0 (2) E[ z ' ] 0 则 z 称为工具变量，
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1 n1 y1 yi n1 i 1 1 n1 n0 y0 yi n0 i n1 1
y1 y0 是项目效果(treatment effect)的一个估计量。
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（二）为什么可以用 来估计？
1 n1 y1 yi 是Ti 1的样本均值，所以 n1 i 1
y1 y0
设 yi 是 iid 分布，方差为 2 ，则
var( y1 )
2
n1
, var( y0 )
2
n0 n1 n0 2 n1n0
所以var( y1 y0 ) var( y1 ) var( y0 )
当 yi 为正态分布或在大样本中
y1 y0 n n 1 0 n1n0 tn1 n0 2
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（四）OLS
yi Ti i 得：＝ y1 y0
t 检验同（三） 。
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（五）经济学中的试验 负所得税（Negative Income Tax） 培训项目（JTPA）(reduced form) 电力价格 试验经济学 （Robert Moffitt, 2002）
但E[ y0i | Ti 0] E[ i | i ]
E[ i | i ] E[ i | i ]
( Bias Bi )
Bi 0, 如果E[ ii ] 0
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:Treatment Effect
E[ y1 ] E[ yi | Ti 1] E[ y1i | Ti 1]
1 y0 n0
n1 n0 i n1 1

yi
是Ti 0 的样本均值，所以
E[ y0 ] E[ yi | Ti 0] E[ y0i | Ti 0]
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ATE E[ y1i ] E[ y0i ]
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（五） Random coefficient model 1、Random coefficient model
Random Coefficients Model : yi xi iTi i Ti* zi i 让： i i i 则：yi xi i ( i i ), 当Ti 1 yi xi i , Ti* zi i
ˆ 不再与 相关。 注： x
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（二）截距项目模型（Intercept Only Model）
yi xi Ti i
不失一般性，简化为 yi 0 Ti i 设 zi 是 IV，则：
cov( yi , zi ) cov( 0 Ti i , zi ) cov( 0 , zi ) cov(Ti , zi ) cov( i , zi ) 0 cov(Ti , zi ) 0
第四讲 项目效果模型 Treatment Effect Model 一、 潜在的结果分析框架 Potential Outcome Framework Neyman (1923) Rubin (1974, 1978) 1 两种状态: Ti 0
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例如：
1，参加再就业培训 Ti 0，否 1，大学生 Ti 0，否 1，施化肥 Ti 0，否 1，服用感冒药 Ti 0，否