结构的位移计算

这里：d i、 di 、 di 描述微段的总变形，由材料力学知：
di =ds 、di =0ds 、 di = ds 其中： — 曲率， 0 — 剪应变， — 拉伸应变 即有： 1 ·kn =
(M
l
+ Q 0 + N )ds
4、当考虑到实际位移同时有支座沉陷时，则
8-10
① 对图8-5a中的位移状态应用虚功原理 要点：位移状态是给定的，力系则可根据我们的意图来 虚设。 ② 意图：为了便于求出 ，希望在虚功方程中除了拟求 的未知位移外，不再包含别的未知位移。因此，在选择虚力 系时应当只在拟求位移的方向设置单位荷载，而在其他地方 不再设置荷载。这个单位荷载与相应的支座反力组成一个虚 设的平衡力系，如图8-5b如所示。 根据平衡条件，可求出支座A的反力： R1=-b/a ③列虚功方程：令图8-5b A C 中的虚设平衡力系在图8-5a中 的实际刚体位移上作虚功，即 R1 得出虚功方程如下： 图 8-5 (b)
1、结构位移计算概述 (1) 计算结构位移目的
一是验算结构的刚度，即验算结构的位移是否 超过允许的位移限值(例如吊车梁允许的挠度限值通 常规定为跨度的1/600)；
二是为超静定结构的内力分析打下基础(因为在 超静定结构的内力分析中，不仅要考虑平衡条件， 而且还必须考虑变形方面的条件)。
8-4
(2) 产生位移的原因(主要有下列三种)：
三、计算步骤
1、虚设单位力系，P=1沿的方向和性质施加； 2、求出 M、Q、N、 RK ； 3、利用公式计算( 、0、、cK 为已知)。 关键：根据拟求位移虚设单位力系，在此提出广义位 移和广义荷载的概念。
8-22
四、广义位移和广义荷载(看例子) 广义位移 广义单位荷载P=1 单位力
线位移
= - RKcK 。
注意：当为正时，说明实际位移方向与P=1 指向相同， 为负时则相反。
8-16
§8-2 结构位移计算的一般公式
本节讨论：变形体系的位移计算，即：结构内部有应变 产生的情况。
选择一静定刚架说明位移计算的一般公式推导过程。
一、公式推导
虚功方程涉及两种状态，一种是实际位移状态(可由多种 因素造成，支座沉陷引起的位移计算已经讲过)，一种是虚设 力系状态，现在以结构在荷载作用下引起的位移计算为例。 讨论的问题：实际位移状态由荷载引起，拟求k点沿n-n 方向的位移kn。
第八章 结构的位移计算
§8-0 简介 §8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移 §8-2 结构位移计算的一般公式
§8-3 荷载作用下的位移计算
§8-4 荷载作用下的位移计算举例 §8-5 图乘法 §8-6 温度作用时的位移计算 §8-7 互等定理
8-1
本章讨论两个问题： 第一，讨论刚体体系虚功原理的另一种应用形 式：虚设力系，求刚体体系的位移。 第二，利用刚体体系有局部变形时的位移，根 据叠加原理求变形体体系整体变形时的位移，得出 结构在荷载、温度等因素作用下的位移计算公式。 结构位移计算是本章讨论的主题，而虚功原理 则为解决这个主题提供理论基础。
① 荷载作用； ② 温度变化和材料胀缩； ③ 支座沉降和制造误差。 结构各点产生位移时，结构内部是否也同时产生应变呢？ 这里有两种情况：
cA A l 图 8-1

B
C
C

2l/3
D

l/3
① 例如在图8-1中，如果静定多跨梁的支座A有给定的 位移 c A，那么杆AC将绕B点转动，杆CD绕D点转动。这时， 各杆只发生刚体运动，而应变却等于零。
8-2
本章要求： 1、了解结构位移产生的原因、位移的种类、位 移计算的目的； 2、掌握单位荷载法求解结构位移的基本原理；
3、重点掌握应用图乘进行求解结构位移的方 法—图乘法； 4、了解广义单位荷载和广义单位位移的概念；
5、了解互等定理—是超静定结构内力计算的基 础。
8-3
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
B
C P=1 HA=0 YA=0
C =A (刚体转动) ( )
可以看出结构上任一点的转动皆为 A ， 即刚体是整体转动的。
A
分析可知：虚设单位荷载时，应该是单 位集中力在相应的线位移上做虚功，单
MA=-1
图 8-6 (d)
位集中力偶在相应的角位移上做虚功。这样才能为虚设的单 位力系提供方便。
(2) 应用形式 虚设位移，求未知力→虚位移原理(虚位移法)； 虚设力系，求未知位移→虚力原理(虚力法)。 本章主要介绍虚力法求位移。 (3) 虚设力系求刚体位移 如图8-5a所示的静定梁， 支座A向上移动一个已知的
c1 A´
C A a
b
B
距离c1 ，现在拟求B点的竖
向位移。

B´
图 8-5(a)
8-12
② 应用单位荷载法求不同的位移时，应当选择不同的单 位荷载。
我们虚设单位荷载的目的是希望在虚功方程中正好包含 拟求的未知位移。因此，虚设的单位荷载应当正好是与拟求 位移相应的单位荷载。也就是说，这个单位荷载所作的虚功 在数值上应当正好等于拟求的位移。
例8-1 图8-6a示刚架，各杆的长度 为L，支座A产生位移，下移cA，顺 时针转动为 A 。求：B点的水平位 移 BH 、C点的竖向位移 CV 和C点 的转角C。 解：(1)求B点的水平位移 BH(如 图8-6b)：
1
B
· 1R1=0 1+c
8-11
④ 求位移 ： = -c1R1=b/a·1 c 方法特点： ① 虚功方程实质上是几何方程； ② 关键是在拟求位移方向虚设单位荷载单位荷载法； ③ 采用静力平衡方法解几何问题。 (3)支座移动时静定结构的位移计算 首先要说明的是：
① 在静定结构中，支座移动时并不引起内力，也不引起 应变。因此，支座移动时静定结构的位移计算问题都是刚体 体系的位移计算问题，因而可用刚体体系虚功原理来求解。
( RKcK= -YA·A+ MA · A ) c ④ 求出BH
A
HA=0 YA =1
BH =YA·A -MA · A =L · A () c
(2) 同理可求C点的竖向位移CV (如图8-6c)
MA =-L
(c)
CV =cA -L · A
8-14
(3) 同理可求C点的转角C (如图8-6d)
Wi = dwi = ( d i + Q d i + N d i) (单杆) M
W e = 1 · kn
即： 1 · kn =
(M d
i
+ Q d i + N d i
) )
8-19
对于多杆结构，有：
1 · kn =
(M d
i
+ Q d i + N d i
支座移动时静定结构的位移计算的步骤： (1) 沿拟求位移方向(双向)虚设相应的单位荷载P=1，并 求出P=1 作用下的支座反力 RK 。 (2) 令虚设单位力系P=1在实际位移状态上做功，列出虚 功方程：
8-15
1· + RKcK=0
— 拟求位移，是广义位移；
cK — 实际位移状态的支座沉陷量； RK — 单位荷载下对应cK的支座反力。 RKcK 是代数和， RKcK 乘积为两者方向一致时为正， 反之为负。 (3) 解出拟求位移：
由此可以看出：计算位移的问题本来是一个几何问题在图8-1所示刚体体系位移问题中，如果支座位移 cA是一 个微量，则根据几何关系即可直接求出下列角位移和线位移： 杆AC的角位移： C点的线位移：
= cA / l
C = l / 3 = c A / 3
杆CD的角位移： = C /(2l / 3) = c A / 2l 图8-2所示变形体体系位移问题，实际上也是一个几何 问题。根据曲率与挠度之间的几何关系
3、M、Q、N、 RK 、与 、0、、cK 是彼此无关的两 套物理量分属于两个不同的状态。
4、公式适用于直杆杆系，也适用于小曲率杆件，当 R>5h时可用(R—曲率半径，h —杆件截面高度)。
8-21
5、公式可用于各种因素引起的各种结构的位移计算，只 是此时、0、 (di、 di 、 di )的计算不同而已。 6、结果分析：当 >0时，说明拟求位移 的指向与虚设 P=1指向一致；当<0时，表示方向相反。
B
C CH
C
CV
C´
A CA A´
A
c
图 8-6 (a)
8-13
① 根据拟求位移BH 在B点虚设水平单 位荷载P=1 ② 可求出支座A的支座反力为 YA=0、HA=1、MA=-L ③ 列虚功方程
B
C
P=1
(b)
A MA YA B P=1 C HA
1· BH -YA·A+MA · A=0 c
1 ·kn + RK cK = (M + Q 0 + N )ds l
考虑到k点及n-n方向的任意性则有
= (M + Q 0 + N ) ds - RK cK l
此即为结构位移计算的一般公式。
8-20
二、公式的几点说明
1、公式是一个普遍性公式，可用于求解结构(静定或超 静定)上任一截面的沿任意方向的位移(广义位移)(弹性材料或 非弹性材料)。 2、P=1是广义单位荷载——其性质取决于拟求位移的性 质，求得的位移的量纲是正确的(考虑公式左边是功的量纲、 或公式两边同除以P=1)。
一、荷载作用下弹性位移的一般公式为：
=


MM P NNP ds + kQ QP ds ds + EI EA GA
d2 w =1/ R = dx 2
即可由曲率 求出挠度 w 。 位移计算虽然是一个几何问题，但是最好的解法并不是 几何法，而是虚功法。
8-7
本章的位移计算有两个方面： 一是：应用刚体虚功原理计算刚体体系的位移；
二是：应用刚体虚功原理与叠加原理计算变形体体系的 P 位移。
(3) 结构位移的种类
角位移
单位力偶矩
一对单位力(方向相反)
相对线位移
相对角位移
一对单位力偶矩(方向相反)
8-23
8-24
§8-3 荷载作用下的位移计算
前提：只考虑荷载作用，其他情况不考虑。
结构位移计算的一般公式：
= (M + Q 0 + N ) ds - RK cK l
当不考虑支座沉陷时有：
= (M + Q 0 + N ) ds l
利用材料
力学的结果：
MP = EI
NP = EA
QP 0 =k GA
8-25
这里：E和G分别为材料的弹性模量和剪切弹性模量；A和I分
别是杆件截面的面积和惯性矩；EI、EA、GA分别是杆件截 面的抗弯、抗拉、抗剪刚度；k是一个与截面形状有关的系数。
① 绝对线位移C (CH ， CV)
② 绝对角位移C
(b)
t1 t2 CV
(a)
CV
C
CH
C
荷载产生 (c)
B
C CH
C
CV
C´
C
CH
C
cA
A
t2 > t1
温变产生
A´
A
c
图 8-3
支座沉陷产生 8-8
③ 相对线位移ABH= AH+ BH ④ 相对角位移AB= A+B 相对线位移和相对角位移 又称为广义位移。 在梁中，一般水平位移， 与竖向位移相比较小，通常可 忽略不计，故一般只求竖向位 移，就是通常所说的“挠度”。
AH A
A P2
AB
P1
BH
B
B
图 8-4
2、利用虚功原理求刚体体系的位移
(1) 虚功原理 设体系上作用有任意的平衡力系，又设体系发生符合约 束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所做的虚 功总和恒等于零。
8-9
“虚”——指形成功的力和位移彼此独立无关。
“实功”——指力在其本身产生的位移上做功。
8-17
M0
k k´
n
p2
n
k
P=1 ds
p1
n
kn
ds
di
n
N N
d i d i
Q
Q
M
M
ds
ds
(a) 实际位移状态
(b) 虚设单位力系状态
图8-7
8-18
1、虚设一个单位力系状态(如图8-7b)；
2、取微段ds进行分析(如图8-7a、b)； 3、列虚功方程：根据变形体虚功原理(证明见§14-2节) 外力虚功We=内力虚功Wi 在此：
8-5
② 例 如 在 图 8-2 中 ， 简 支梁在荷载作用下，各点产 生线位移(挠度w)；同时梁 由于承受弯矩M而产生曲率 和应变。 在上面两个例子中，前 一个是刚体体系的位移问题 (有位移，但无应变)； 后一个是变形体体系的 位移问题(有位移，也有应 变)。
q w x
1 R=
M
M
图
8-2