高等量子力学_第二章_算符

§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
设 A 和 B 为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对 易式 [ Ai , B]和[ B, Ai ] ：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ F , GM ] G[ F , M ] [ F , G ]M
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ FG , M ] F [G , M ] [ F , M ]G
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A, [ B, C ]] [ B, [C , A ]] [C , [ A, B]] 0 ( Jacobi恒等式）
(当[A,B]=0 时成立)
而当 [ A, B] 0 时是不成立的（参见本节§2-2） 。
逆算符 设在一个右矢空间中，算符 A 把定义域中的一个右矢
变为值域中的一个右矢 ：
A
若算符 A 所建立的这个关系是一一对应的，即对应值域中的 每一个 ，在定义域中有且只有一个 ，则由 到 的逆对 应关系存在，这种关系称为 A 的逆算符，用 A1 表示：




A ,B A
i

n i
n n! n! i n 1i A ,B A A i 1 , B A n i ! ! i 0 n i i! i 0 n i i!
n




在上式右边第二个取和式中，取j=i+1，得
n! n j 1! j 1! A j , B A(nn11i) j j 1
A B
若两个算符 A和B 满足
[ A, B] AB BA
AB BA
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。 定义： (2.2)
经常使用的几个对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ [ F , G ] [G , F ]
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [F , G M ] [F , G ] [F , M ]
由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从 一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：
AB C ABC
A 3 AAA
等等。
AB C AB AC
可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数：
F A a0 a1 A a 2 A 2 a n A n
§2 算符
主要内容：
§2-1 定义 §2-2 算符的代数运算 §2-3 作用于左矢的算符 §2-4 厄米算符和幺正算符 §2-5 投影算符
算符是矢量空间中又一重要概念。在这一节里，我们在右 矢空间中引入算符，并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及 其性质。这些性质很容易回到单一空间的表示方法中去。
§2-1 定义
一个算符A，其定义域是一个矢量空间，而又满足下列条件的， 称为线性算符：
A A A A a A a
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
A A A A a A a
*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。 算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。 定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域 中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须 规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢） 中每个右矢的作用结果即可。
线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是 它的一个子空间。
可以证明，线性算符具有下列性质： （1）线性算符的值域也是右矢空间（大空间本身或其子空间）。 （2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于或小于 定义域空间的维数。 （3）在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的右矢全体，也 构成一个右矢空间（定义域的子空间）。 复数对右矢的数乘，可以看成算符对右矢的作用，每一个 复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间：


A !
,B A

n i
A 1 i 1 1 n i A e A , B A e A i , B n i ! i 0 i! n 0 i 0 i!




(2.9)式这一类算符等式，还有一种证明方法是引入一个实变 量 ， 构造一个含 和一些算符的式子， 把它看成 的函数 F ( ) 而对它进行求导或积分，最后在所得等式中令 =1。
条件（1） ：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 AB AB

可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
条件（2） ：若 A 1 A 2 ，用 C 作用在此式两边：
CA 1 CA 2
但此式就是 1 2 ，条件(2)也得到满足，因此 A1 存在。
这是量子力学中常用的一个公式，是一个真正的无穷级数。 证明：利用(2.8)式，有
A A
A
e Be
1 A A A B e n 0 n!
A e Be A Be
i
1 n 1 n! A i n i A [ A B]e A , B A e n 0 n! n 0 n! i 0 n i !i! i
为证明（2.9）式可取

F e A Be A
这时
e Be
A
A
1 i A ,B i 0 i!


dF dF A A e AAAB BA eA e A[ A, B] A e AB BA A e A, B e eA d d d22F A d F eAA A, A, B eA A, A, B e e A [ A( 2) , B]e A 2 e d d 2 [ A, [ A, B]] A[ A, B] [ A, B] A
为交） 至于 BA 的定义域， A 的值域在 B 的定义域之内， BA ； 若 则 的定义域就是 A 的定义域，若 A 的值域只有一部分在 B 的定义 域内，则 BA 的定义域要比 A 的定义域小。
两个算符相等的定义是： A与B 有相同的定义域并且对域内 任意矢量 有
这时我们记作
A B
n 1


将此式的求和傀标j再改成i，即可与第一和式相加，于是得
A
n 1
n 1! Ai , BAn1i B ! i 0 n 1 i i!
n 1
这是与原式完全相同的形式，只是原来的n成为n+1，这说明原 式若对n成立，对n+1亦成立。由于我们已经证明原式对n=1成 立，因此，原式对任何整数n都成立。证毕。
甚至可以构成无穷级数（我们不去仔细考察由此引起的数学问
题），例如可以写 1 2 2 1 3 3 1 n n 1 aA a A a A a A e aA 2! 3 ！ n 0 n!
(2.3)
注意上式是算符的指数函数的定义式。在此定义下，关系式
e A e B e A B
n
0 1
A , B B A , B A, B A , B A, A, B B
2
n n i n! n i A B A , B A A i , B A n i i ! i 0 i 0 n i i! n n （i） n 1 （ （ （ A B A[ A ，B] A n i A[ A i） B] [ A i） B] A [ A i 1） B] ， ， ， i i 0 n n
规定一个具体的对应关系，用 A 来表示。使右矢空间中的某 些右矢与其中一些右矢相对应，例如使 与 相对应，记为
A
这样的对应关系 A 称为算符。我们说算符 A 作用于右矢 ， 得到右矢 。
在算符的定义中，被算符A作用的右矢全体，称为A的定义 域；得出的右矢全体称为值域。二者可以不同，也可以部分或 完全重合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。
n n i n! n i A B A , B A A i , B A n i ! i 0 i i 0 n i i! n n




例2：证明：
e Be
A
A
1 i A ,B i 0 i!
A



A
（2.9）
A1 既然存在，将 AB=1 用 A1 左乘，得
A1 B
将 CA 1用A 右乘得
定理证毕。
1
A 1 C
在 A 的定义域为无穷维空间的情况，此定理指出：当(2.4) 式中 B和C 都存在时，才能说 有A 1 存在， B和C 中只有一个是不 够的。但当 A 的定义域为有限维时，可以证明 B 与 C 二者中存 在一个，即可断定算符 A 有逆。
显然，对于 [ A i , B ] 型的多重对易式有
（ [ A，A i） B ]] [ A i 1） B ] [ （ ， ， （ （ （ A[ A i） B] [ A i） B ] A [ A i 1） B ] ， ， ，
（2.6） （2.7）
பைடு நூலகம் 例1：证明：
n n i n! n i A B A , B A A i , B A n i ! i 0 i i 0 n i i! n n
A 1
逆算符 A1 满足
A A AA 1
1
1
逆算符 A1 的定义域和值域分别是 A 的值域和定义域。逆算符相 当于算符的除法，有时也写成
1
A
1 A
不是所有的算符都有逆。一个算符A有逆的条件如下：
（1） 在 A 中对于每一个 , 总有 存在； （2） 若 A 1 A 2 ，则必有 1 2 。
A , B B B, A B A , B A, B B, A B, A A , B A, A, B B, A B, A, A
0 0 1 1 2 2
（2.5）
……………….. ………………….
这两条须同时满足，对于每一个 ，条件(1)要求有 ，条件(2) 要求只有一个 。
定理 设A是一个定义域和值域都在全空间的线性算符，若有另
外两个线性算符B和C存在，满足 AB=1, 则算符A有逆，而且 CA=1 (2.4)
A BC
证明: 我们证明这样的A满足有逆条件(1)和(2)。
1




（2.8）
上式右端可把取和上限推至无穷，由于 m!当m 0 时定义为 ， i 的上限实际上仍是 n。
证明： 用数学归纳法证明，当n=1时上式为
AB BA [ A, B]
原式成立。下面我们从原式出发，推出用n+1代替n的同样形 式的式子。 将原式从左方用A作用，得
n （i） n 1 A B A[ A ，B] A n i i 0 i
a a
其中两个特殊的算符：
，， 1 1
对一切 成立；前者称为零算符，后者称为单位算符。
两个算符 A与B 的和 A B 及乘积 BA 的定义是：
A B
BA B A
A B

A B 的定义域是 A与B 两算符的定义域的共同部分（数学上称