3.2 循环平稳性

L 0
∞ −∞
x(t
−
θ
)
f
X
(
y,
t
−
θ
)dydθ
∫ ∫ = 1 L
L
0 mX
(t
−θ )dθ
=
L1电子0科L m技大X 学(t通)d信θ学
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13
举例
例3.6 正弦随机电压信号 U(t) = Asin(2π / T)t，
其中A与T是确定量。经过随机时间滑动Θ， Θ 在 [0,T] 上 均 匀 分 布 ， 滑 动 后 的 随 机 电 压
为 V(t) = Asin(2π /T)(t −Θ) 。试问，
（1）V(t)是否是严格平稳的？ （2）计算V(t)的均值与相关函数。
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14
举例续
解： （1）因正弦信号U（t）是周期为T的确定信号。
U（t）可以认为是严格循环平稳的。经过随 机滑动Θ后,得到的随机信号V（t）是严格 平稳的。 （2）对于U（t）有，
FY (y1, y2,..., yn;t1,t2,...,tn) = E[FX (x1, x2,..., xn;t1 −Θ,t2 −Θ,...,tn −Θ)]
∫ = 1 L
L 0
FX
(x1,
x2,...,
xn
;t1
−θ,t2
−θ
,...,tn
−θ
)dθ
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6
严格周期平稳随机信号源自文库特性
则称X(t) 具有广义循环平稳性，也称X(t)
是广义循环平稳随机信号。L被称为X(t)的
循环周期。
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8
广义循环平稳性
定理3.3 若广义周期平稳随机过程的周期
为 L ， 而 Θ 是 [0,L] 上 均 匀 分 布 的 随 机 变 量，且Θ与X(t)统计独立。则X(t-Θ)是广
mu (t) = E[ Asin(2π / T )t] = Asin(2π / T )t Ru (t +τ ,t) = E[ Asin(2π / T )(t +τ ) Asin(2π / T )t]
= A2 sin(2π / T )(t +τ ) sin(2π / T )t
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严格循环平 均值、相关函数存在 广义循环平
稳随机信号
E[X (t + L)] = E[X (t)]
稳随机信号
R(t1,t2 ) = R(t1 + L,t2 + L)
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17
举例
例
广义循环平稳的实随机信号 U1(t)，平
稳周期为100，二阶概率密度函数 f1(u1,u2;t1,t2)
举例：随机二进制传输信号
W (t, s1 )
D1
W (t, s2 )
W(ti,ξ)
D2
W (t, s3 )
D3
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22
举例续：
随机二进制传输信号 根据定理3.2和定理3.3知：它是严格循环平稳、
广义循环平稳随机信号
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23
例3.6
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t2+2T tn+1+2T
t1+τ t3+τ
t1t2 t3 tntn+1
t2+τ tn+1+τ
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5
严格周期平稳随机信号的特性
定理3.2
若严格循环平稳随机过程{X (t), t ∈ T } 的周
期 为 L ， 而 Θ 是 [0,L] 上 均 匀 分 布 的 随 机 变 量 ， 且 Θ 与 X(t) 统 计 独 立 。 则 Y(t)=X(t-Θ) 是 严格平稳的，并且，其任意n维概率分布函数 有如下关系式（证明略）：
15
举例续
U(t)是广义循环平稳的，根据定理3.3，
V(t)是WSS R.S.
∫ ∫ mv
(t
)
=
1 T
T 0
mu
(t)dt
=
1 T
T Asin(2π / T )tdt = 0
0
∫ Rv
(t
+τ
,
t)
=
1 T
T 0
Ru
(t
+
τ
,
t
)dt
∫ = 1 T A2 sin 2π (t +τ ) sin 2π tdt
义平稳的，并且有如下关系式
⎧
∫ ⎪⎪
⎨ ⎪
∫ ⎪⎩
m R
X
(τ
= )
1 L
=
1 L
L 0
mX
L
R
0
(t )dt X (t +
τ
,
t
)d
t
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9
另一种证明思路
Y(t)=X(t-Θ)，且Θ与X(t)独立，由定理3.2
得
∫ ∫ ∫ ∫ ∴mY
(t
)
fY
=
( y,
∞
y
−∞
t) =
n维概率分布函数具有周期性，即：存在某
常数L>0，任取 t1 + kL,t2 + kL,...,tn + kL∈T 当 t1, t2 ,..., tn ∈T与x1, x2 ,..., xn ∈ Rn 时 ，有
F (x1, x2 ,..., xn;t1, t2 ,..., tn ) = F (x1, x2 ,..., xn;t1 + kL,t2 + kL,..., tn + kL) 成立。则称X(t) 具有严格循环平稳性 （SSCS），也称X(t)是严格循环平稳随机信 号。L被称为X(t)的循环周期。
得
∫ ∫ ∫ ∫ ∴mY
(t
)
fY
=
( y,
∞
y
−∞
t) =
fY ( y,
1L
L0
t)dy
f
=
X ( y,
∞
y
−∞
t −θ
1L L0
)dθ
fX ( y,
t
−
θ
)dθ
dy
∫ ∫ ∫ ∫ = 1 L
L 0
∞ −∞
yf
X
(
y,
t
−
θ
)dydθ
=1 L
L 0
∞ −∞
yf
X
(
y,
t
−
θ
)dydθ
∫ ∫ = 1 L
fY ( y,
1L
L0
t)dy
f
=
X ( y,
∞
y
−∞
t −θ
1L L0
)dθ
fX ( y,
t
−
θ
)dθ
dy
∫ ∫ ∫ ∫ = 1 L
L 0
∞ −∞
yf
X
(
y,
t
−
θ
)dydθ
=1 L
L 0
∞ −∞
yf
X
(
y,
t
−
θ
)dydθ
∫ ∫ = 1 L
L 0
∞ −∞
x(t
−
θ
)
f
X
(
y,
t
−
θ
)dydθ
∫ ∫ = 1 L
1 100
η 100
01
(t
)dt
;
t1
,
t
2
)du
2
∫ E[u2
(t1)u2
(t2
)]
=
R2
(t
+τ
,
t)
=
1 100
100 0
R1(t
+τ
,
t)dt
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19
举例：半随机二进制传输信号
W (t, s1 )
W(ti,ξ)
W (t, s2 )
W (t, s3 )
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均值 η1(t)和相关函数 R1(t1,t2)。另有随机滑动
A，A在[0,100]上均匀分布。U1(t)经过随机滑
动后得到 U2 (t)，试求：
（1）U2 (t)的平稳类型；
（2）U2 (t)的概率密度函数 f2 (u;t)和 f2 (u1,u2;t1,t2 )
（3）E[U2 (t)] 和 E[U2 (t1)U2 (t2 )]。
7
3.2.2 广义循环平稳性 （WSCS）
定义3.6 随机过程 {X(t),t ∈T}，如果其均值
与相关函数存在，并且具有周期性，即存
在常数L，使：
⎧m(t) = E[X (t)] = E[X (t + kL)] = m(t + kL) ⎨⎩R(t1,t2) = R(t1 + kL,t2 + kL)
= E⎡⎣E[X(t +τ +Θ)X*(t +Θ) Θ]⎤⎦
∫=
L 0
RX
(t
+τ
+θ
,
t
+θ
)
fΘ
(θ)dθ
∫ = 1 L
L 0
RX
(t
+τ
+θ,
t
+θ
)dθ
∫ = 1 L
L 0
RX
(t
+τ
,t)dt
所以X(t-Θ) 是广义平稳的。
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12
另一种证明思路
Y(t)=X(t-Θ)，且Θ与X(t)独立，由定理3.2
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25
例3.6续
（2） Z(t) =Y(t −D) = X(t −D)cosω0(t −D)
由定理可得Z(t)是广义平稳过程，并且，
∫ mZ
=
ω0 2π
2π /ω0
0
mX
cosω0tdt
=
0
∫ RZ
(τ
)
=
ω0 2π
2π
0
/
ω0
⎧ ⎨ ⎩
1 2
RX
(τ
)[cos
ω0
(2t
T0
T
T
∫ = A2 2T
T 0
⎡⎢⎣cos
2π
T
τ
−
cos
2π
T
(2t
+τ
)⎤⎥⎦dt
=
1 2
A2
cos
2π
T
τ
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16
F小(x1结, x2,..., xn;t1,t2,...,tn)
=F(x1,x2,...,xn;t1 +τ,t2 +τ,...,tn +τ)
E[X (t)] = 常数
20
举例续：
半随机二进制传输信号 m(t) = E[ X (t)] = E[ X (n)] = 2 p −1 = p − q, t ≥ 0
R(t1,t2) = 4pqδ ([t1 /T] −[t2 /T]) +1− 4pq
它是严格循环平稳、广义循环平稳随机信号
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21
24
例3.6续
解：（1）
mY (t) = E[Y(t)] = E[X(t)]cosω0t = mX cosω0t
RY (t +τ,t) = RX (τ)cosω0(t +τ)cosω0t
=
1 2
RX
(τ
)[cosω0
(2t
+τ
)
+
cosω0τ
]
Y（t）是循环平稳信号，周期为 2π / ω0
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18
举例续
解 (1)由定理3.3可知，U2 (t)为广义平稳随机信号。
（2）由定理3.2可得
∫ f2
(u1,u2;t1,
t2
)
=
1 100
100 0
f1(u1,u2;t1 −θ,t2 −θ)dθ
+∞
∫ ∫ （3）
f2 (u1; t1 )
E[u2 (t)] =
= −∞ f2 (u1, u2
注意：定理3.2中的公式不仅限于严格周期 平稳的随机信号，它适用于所有的随机信 号，只要随机滑动是均匀的并且与随机信 号本身独立即可。
⎛ 严格循环 ⎞ ⎯经⎯周⎯期内⎯均匀⎯的随⎯机滑⎯动⎯→ ⎛ 严格平稳 ⎞
⎜ ⎝
平稳过程
⎟ ⎠
←⎯ ⎯以任⎯意值⎯为周⎯期 ⎯⎯
⎜ ⎝
过程
⎟ ⎠
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3
严格周期平稳随机信号的特性
严格平稳随机信号可以看作严格周期平稳 随机信号，而其平稳周期可以是任意值。
严格周期平稳随机信号通过在其平稳周期 内均匀地随机滑动后，变为SSS R.S.。即定 理3.2。
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4
t1+2T t3+2T
t1t2 t3 tntn+1
+
τ
)
+
cos
ω0τ
]⎫⎬ ⎭
dt
=
1 2
RX
(τ
)
cos ω0τ
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26
例3.6续
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27
第3章 作业2 3.7
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28
L
0 mX
(t
−θ )dθ
=
1 L
L 0
mX
(t
)dθ
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10
广义循环平稳E[E性( X Y )] = E[X ]全期望公式
证明：令 Y(t)=X(t-Θ)，且X(t)是广义周期平 稳的。其均值
mY = E[Y(t)]= E[X(t −Θ)]= E⎡⎣E[X(t −Θ) Θ]⎤⎦
第3章 平稳性与功率谱密度
3.1 平稳性与联合平稳性 3.2 循环平稳性 3.3 平稳信号的相关函数 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 3.5 白噪声与热噪声 3.6 应用举例
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1
3.2 循环平稳性
L=2π/ω
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2
3.2 循环平稳性
定义3.5 随机过程 {X (t),t ∈ T} ，如果其任意
∫ ∴mY
= E⎡⎣mX (t −Θ) Θ⎤⎦ =
L 0
mX
(t
−θ)
fΘ(θ)dθ
∫ t=t−θ
=
1
L
L
0 mX (t)dt
fΘ
(θ
)
=
⎧1/ ⎨⎩ 0,
L, θ ∈[0, L]
otherwise
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11
相关函数：
R(t +τ,t) = E[Y(t +τ)Y*(t)] = E[X(t +τ +Θ)X*(t +Θ)]
R(t +τ ,t) = R(τ )
严格平稳 均值、相关函数存在 广义平稳
随机信号
除Gauss R.S.
随机信号
以任意周期 在一个周期内独 立均匀滑动
以任意周期 在一个周期内独 立均匀滑动
F(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)
E[X (t)] = 常数
=F(x1,x2,...,xn;t1 +L,t2 +L,R..(.t,t+nτ+,Lt))= R(τ )