飞越北极飞机航线的讨论与分析(1)汇总

飞越北极飞机航线的讨论与分析

摘要

本文研究飞机从北京飞越北极到达底特律的时间节约问题。在飞行速度恒定的条件下，转化为计算飞机航程的问题。首先，本文根据地球的不同形状的假设建立两种不同的模型，均使用了mathematica 数学软件进行了相关数据的计算和整理。

针对问题一，我们利用已有的立体几何知识，利用球面两点的距离模型和弧长计算模型，通过mathematica4.0软件求出北京至底特律原来航线的总路程

1S =14576.4km ，飞行时间1t =14.8739h ；从北京至底特律现在路线飞越北极总路

程2S =10802.8km ，飞行时间2t =11.0233h;节省时间△t =1t -2t =3.8506h ，节省3.8506h,故“北京至底特律的飞行时间可节省4小时”是合理正确的；

针对问题二，我们利用极限法模型，取用最大半径赤道半径来计算，基于模型一，通过mathematica4.0软件求出从北京至底特律现在路线飞越北极总路程1S =14642.5km ，飞行时间1t =14.9408h; 从北京至底特律现在路线飞越北极总路程2S =10814.7km ，飞行时间2t =11.0354h;节省时间△t =1t -2t =3.9054h,节省3.9054h,故“北京至底特律的飞行时间可节省4小时”是合理正确的；

所以两个模型的求解均符合题目的要求。

关键词：飞越北极，球面距离，极限法，mathematica

一.问题重述

7月1号起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北极等地。据相关部门估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线会飞经10处。请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时”从数学上作出一个合理的解释，分地球是半径为6371km的球体和地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378km，子午线短半轴为6357km两种情况来进行讨论

二.问题分析

题中要求我们将从北京飞越北极抵达底特律的航行时间跟原来的航行路线所用时间进行比较看是否真的有节省时间。由于地球的形状会对计算球面上两点距离造成一定的影响，所以我们分地球是球体和地球是椭球体两种情况来分析。

针对第一种情况的分析：

当地球是球体时，建立空间坐标系，我们可以根据给出的经纬度，转化为三维坐标，求出点与点之间的球面距离。首先求出两点间的距离，利用解三角方程，最后求出大圆距离。再通过弧长几何知识，通过mathematica4.0数学软件，可求出飞机飞行总路程，飞机所飞行的时间。

针对第二种情况的分析

当地球是椭球体时，由于椭球体的半径难以求出准确的数据，所以为了简化问题的求解，我们使用极限法，取最长半径长度，在模型一的求解过程上来进行进一步的求解，通过mathematica4.0软件，可求出飞行的总路程和时间。

三.模型假设与符号说明

3.1.基本假设

1. 假设气压、气温、大气密度，风，云，能见度等方面的天气情况均适宜

飞机的正常航行

2.假设航行过程中气流均稳定，不会有影响航行速度的情况发生

3.假设飞机航行不会受到地球自转影响

3.2.符号说明

1.N:北极点

2.A0:北京

3.A11：底特律

4.t：飞行时间

5. S :飞行的路程

6. L ：弧长

7. l :两点之间的距离长度 8. △t ：节省的时间

四.模型建立以及求解

假设北京为0A ,底特律为11A ,北极点为N ，经查询粗略可知北京的经纬度为（

40N ， 116E ）,底特律（ 43N ， 83W ）

4.1.模型一的建立与求解

球面距离公式模型：

在平面内:两点的距离公式： 设A （X1，Y1）、B （X2，Y2），则∣AB ∣=[（X1- X2）^2+（Y1- Y2）^2] 球体中坐标系的表示A(θ,ϕ),θ ϕ分别是经纬度，根据已知的立体几何知识可知点A 的坐标（x,y,z ）

图一

x=R*cos θ*cos ϕ y=R*cos ϕ*sin θ

z=R*sin ϕ ① 两点距离公式|21A A |=221221221)()()(z z y y x x -+-+- ② 联立①②和运用mathematica4.0数学软件， 从北京至底特律原

来

的

航

线

图二 注：最左端为A 0，最右端为A 11，中间那些点从左到右排分别是A 1到

A

10

l 距离

10A A

1138.21km 21A A 1753.23km 32A A 4523.87km 43A A 1336.63km

54A A 640.894km 65A A 1753.23km 76A A 651.254km 87A A

497.443km

在弧度制下，若弧所对的圆心角为θ，则有公式弧长L =Rθ。

图三

根据余弦定理：

22222cos R l R R -+=θ )22arccos(

2

2

2R l R -=θ 弧长L=θ*R

S =1121...

L L L +++

航线的总距离1S =14576.4km 飞行的时间 1t =14.8739h 现

在

的

路

线

为

北

京

→

北

极

点

→

底

特

律

：