化二次型为标准形的方法

化二次型为标准形的方法
内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。

它以线性空间为背景，以线
性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。

二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。

而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。

二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。

下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法
关键词：二次型 线性替换 矩阵 标准形
导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。

二次型是学中的
一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。

在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。

我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。

化二次型为标准形的方法
一． 配方法
配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。

使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。

定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和
222
1122...n n d x d x d x +++的形。

1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其
余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。

例 1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22
1122
23224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。

解：原二次型中含有i x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ， 然后对2x 配平方，消去23x x 项。

此过程为
23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-2
34x
()()22
2
1223324x x x x x =+++-
于是作非退化的线性替换：
⇒1123
2233322x y y y x y y x y =-+⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
即
123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
于是就得到
23(,,)f x x x =2221234y y y +-
所用的变换矩阵为
C =112012001-⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
且有
'C AC =100110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭110122020⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=100010004⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
2.如果所给二次型中不含有i x 平方项，但是0ij a ≠()i j ≠,我们就可以用前面所提到的方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换
........i i j
j i j
k k
x y y x y y x y =-⎧⎪=+⎪⎨
⎪⎪=⎩,(1,2,,k n =L 且,)k i j ≠
代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述1中的方法进行配方。

例2. 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形，并写出所用的变换矩阵。

解：由于所给的二次型中无i x 平方项，就需要构造出平方项，令
1122123
3x y y x y y x y
=+⎧⎪
=-⎨⎪=⎩ 即
123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
代入到原二次型中有
23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-
22
12
13444y y y y =-++ 此时就可以按照情形1中的步骤进行，将含有1y 的项集中，消去13y y 项，再分别对 2,3y y 配平方即可。

所以有
23(,,)f x x x =22
1213444y y y y -++
2222
113332444y y y y y y =-++-+
()2
22
1332
24y y y y =--++ 作非退化线性替换
113
22332z y y z y z y =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩⇒11222331122y z z y z y z ⎧
=+⎪⎪=⎨⎪=⎪
⎩
即
123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
=11022010001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
123z z z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
于是能够得到
23(,,)f x x x =222
1234z z z -++
所用的变换矩阵为
C =110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭1
10
2201
0001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭=111
2211122001⎛⎫
⎪ ⎪
⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
且有
'C AC =11022
1
1011
122⎛⎫ ⎪
⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭021201110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭1
11
22111
2
2001⎛⎫
⎪ ⎪
⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=100040001-⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭ 二.正交变换法
由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。

定理:任意一个实二次型11
n n
ij i j i j a x x ==∑∑，ij ji a a =都可以经过正交的线性替换变成平方和
222
1122...n n y y y λλλ+++其中平方上的系数12,...n λλλ就是矩阵A 的特征多项式的全部的根。

方法步骤：①将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =并写出矩阵A 。

②求出矩阵A 的所有特征值12,...n λλλ，可能会出现多重特征值，分别记它们的重数为
21,,n k k k K （21n k k k +++K =n ）
③求出每个特征值所对应的特征向量21,,n ξξξK ，列出方程1()0E A X λ-=，能解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量。

同理，对其他的特征值2,,n λλK 也是采用此方法求出与之对应的特征向量。

因为21n k k k +++K =n ，所以一共能出n 个特征向量。

④将所求出的n 个特征向量21,,n ξξξK 先后施行正交化，单位化得到21,,,n ηηηK ，记为C
21)(,,T n ηηηK ，这时C ′AC=D 是对角矩阵，它由A 的特征值构成，即D=diag(),。

（写的时候注意与特征向量写的顺序一致。

）
⑤作正交变换X CY =,则得二次型f 的标准形f =2
2
2
1122...n n y y y λλλ+++。

例3.
x
x x x x x x x f 84414141731212
32221---++=
对应的二次型矩阵A=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛------144241422217
由A 的特征多项式)9()18(1442414222172--=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---------=-λλλλλ
λE A
从而的到特征值9,18. （2）求特征向量
将9代入（A- λE ）x=0,得基础解系)1,1,2
1
(1=α, 将18代入（A-λE ）x=0,得基础解系)0,1,2(2-=α,)1,0,2(3-=α
（3）将特征向量正交化 取()()22232332211,,,,βββαβαβαβαβ-
===
得正交向量组)1,5
4,5
2(),0,1,2(),1,1,2
1(321--=-==βββ
（4）将正交向量组单位化，得正交矩阵P
令)3,2,1(,==
i i
i
i ββη 得,455454452,05152,323231321⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηη 所以P=⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---4554544520515232
3231 例4.用上面所述的方法化下面的二次型
2222
12341234121314232434
,,,)264462(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x =+++-+--+-为标准形。

解：（1）首先写出原二次型的矩阵A =1132112332112311⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
--------
由A 的特征多项式
E A λ-=11
32112332112311λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
--------=(3)(7)(1)(1)λλλλ+--+ 从而得A 的特征值为1λ=-3，2λ=7，3λ=-1，4λ=1
（2）求特征向量，将1λ=-3带入1()0E A X λ-=中，得到方程
12341234123412324320
423032402340
x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩
解此方程可得出基础解系1α=(1,1,1,1)--，同样地，分别把2λ=7，3λ=-1，4λ=1 带入()0E A X λ-=中，解方程能够得出与2λ=7，3λ=-1，4λ=1对应的基础 解系依次为2α=(1,1,1,1)--，3α=(1,1,1,1)--，4α=(1,1,1,1) （3）将所求出的特征向量正交化，方法如下： 令
1α=1β=(1,1,1,1)--
2β=2α-
21111(,)
(,)
αββββ=(1,1,1,1)--
3β=3α-
3132121122(,)(,)
(,)(,)
αβαβββββββ-=(1,1,1,1)--
4β=4α-
434142123112233(,)(,)(,)
(,)(,)(,)
αβαβαββββββββββ--=(1,1,1,1)
（4）将已正交的向量组单位化，如下： 令
i
i i
ββη=
（i=1,2,3,4） 于是能够得到
1η=
12(1,1,1,1)--，2η=12(1,1,1,1)--，3η=12(1,1,1,1)--，4η=1
2
(1,1,1,1) 所以
C =
121111111111111111⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
------于是所求正交变换为 1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
=12111111111111111
1⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭------1234y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
原二次型化为
f =222
2
123173y y y y +-+-
三.初等变换法
将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的可逆线性替换将n 个元逐渐配方的过程。

而初等变换就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），一步一步地化成与它是合同的且在形式上又比较简单的矩阵，最后化成对角矩阵的过程。

即：（A|E ）(D|C 当子块A 化为对角矩阵Ｄ，子块Ｅ也相应的化为Ｃ 并有C ′A Ｃ＝Ｄ
定理： 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵。

定理： 对每个实对称矩阵A ，存在初等矩阵12S PP P L 使得
2112T T T
s S P P P APP P L L =(diag 12,,n d d d L )
方法步骤：
①写出二次型()12,n f x x x L 的矩阵A ,让A 与E 构造2n n ⨯矩阵A E ⎛⎫
⎪⎝⎭
②对A 进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A 合同形式上简单的矩阵，直至将A 化成对角矩阵；但是对E 只进行其中的列变换。

③写出○
2过程中所进行的一系列可逆线性变换X CY =化原二次型为 ()12,n f x x x L ='Y DY
为理解方便，此过程可用图表示如下A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭A E −−−−−−−−−→对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换
D C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
例4 用上述方法将二次型23(,,)f x x x =222
11213223322243x x x x x x x x x +-+++
解：首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵
A =111122123-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
然后构造出63⨯矩阵
A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=111122123100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→1
110130
321000
10001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→10
001
303211
1010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→100010037114013001⎛⎫
⎪ ⎪
⎪- ⎪- ⎪
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
→ 100010007114013001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
从上过程可以看出C =114013001-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
,最后作可逆线性替换X CY =，则
23(,,)f x x x ='Y 100010007⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
Y
四．偏导数法
偏导数法与配方法的实质是相同的，但不需要凭观察去配方，而是按下列固定程序进行。

１. 如果二次型()12,n f x x x L 中含有i x 的平方项，即ii a ()1,2,,i n =L 至少有一个不为零时，不妨设11a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数
1f x ∂∂，则有11
12f
f x ∂=∂，再根据()12,n f x x x L = ()2
111
1f g a +，通过计算对比可以得出g ，此时g 中已不含1x ，再求出g 对2x 的偏导数
2g x ∂∂，记1212g g x ∂=∂，此时()12,n f x x x L =()()22
11'1122
11f g u a a ++，（11a 为()12,n f x x x L 中21x 的系数，'22
a 为g 中2
2x 的系数），u 中已不含2x ，照这种程序继续运算，最终可将二次型化为标准形。

２.如果二次型()12,n f x x x L 中不含i x 的平方项，即所有的含ii a ()1,2,,i n =L 全等于零，但是至少有一1(1)j a j >不等于零，不妨设12a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数
1
f
x ∂∂，
f 对2x 的偏导数
2f x ∂∂，令1112f f x ∂=∂，22
12f f x ∂=∂，此时()12,n f x x x L =
()()22
1212121f f f f a ϕ⎡⎤+--+⎣
⎦，其中ϕ已不含12,x x 的项。

观察ϕ的结构，如果ϕ中含有i x 的平方项，则按照情形1中的方法进行计算，如果ϕ中仍然不含i x 的平方项，则按照上述的步骤继续计算，直至将二次型化为标准型。

例５．用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =222
12
312232422x x x x x x x +-+-为标准形。

解：原二次型中含有i x 的平方项，符合情形1，首先求出f 对1x 的偏导数
1f x ∂∂=1222x x +，11
12f
f x ∂=∂=12x x + 23(,,)f x x x =
()2
111
1f g a + =()2
12x x g ++ 整理并与原二次型对比可得到
22
232342g x x x x =--
再求出g 对2x 的偏导数
2g x ∂∂=()232x x -,12
12g g x ∂=∂=23x x - 23(,,)f x x x =
()()22
2113'1122
115f g x a a +- ()()2
2
2
122335x x x x x =++--
令
11222333y x x y x x y x =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩1123
22333x y y y x y y x y =--⎧⎪⇒=+⎨⎪=⎩
于是
23(,,)f x x x =222
1235y y y +-
所用的变换矩阵为
111011001C --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
且有
'C AC =100110111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭110121014⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭111011001--⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
=100010005⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
例６． 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形。

解：由于所给的二次型中无i x 平方项，符合情形2，分别求出f 对1x 的偏导 数
1f x ∂∂，f 对2x 的偏导数2
f
x ∂∂ 1f x ∂∂=2342x x -+，2
f
x ∂∂=1342x x -+ 1112f f x ∂=
∂=232x x -+，2132
122f
f x x x ∂==-+∂ 23(,,)f x x x =
()()22
1212121f f f f a ϕ⎡⎤+--+⎣
⎦ 整理上式并与原二次型作对比，可得ϕ=2
3x
于是能得到
23(,,)f x x x =()()222
3121231222224x x x x x x ⎡⎤-----+⎣
⎦
=()()2
2
2
312123x x x x x x ---+-+
=222
123y y y -++
令
112321233y x x x y x x y x =--+⎧⎪=-⇒⎨⎪=⎩1
123212
333111222111222x y y y x y y y x y ⎧=-++⎪⎪
⎪
=--+⎨⎪=⎪
⎪⎩
可以得到所用的可逆矩阵为
11122211122200
1C ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
且有
'1111
10222220211
111102012222211011001122C AC ⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪=----
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=100010001-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
五．雅可比方法
雅可比方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定
标准形中各平方项的系数 。

这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二 次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零。

方法步骤：设二次型,1n
ij i j i j f a x x ==∑，ij ji a a =，首先将二次型写成()12,n f x x x L ='X AX
的形式，写出矩阵A ，如果A 的顺序主子式i A ≠0(1,2,,)i n =L ，即
1A =11a ,2A =
1112
2122
a a a a ，L 1
n A -=
11121,121222,1
1,11,21,1
n n n n n n a a a a a a a a a ------L L M M M L ， n A =
1112
12122212n n
n n nn
a a a a a a a a a L
L M M M L
都不等于零，那么二次型()12,n f x x x L 必可以化为如下的标准形：
()
12,n f x x x L =1A 21y +
21
A A 22
y +L +
1
n n A A -2
n
y 例７.化二次型
()3231212
2213218228,,x x x x x x x x x x x f -+--=为标准形。

解 二次型的矩阵为
.041481111⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----=A
0,9811
1,1321==-=---==A A A A 故标准形为
().9,,2221232
322
1
221
1321y y y A A y A A y A x x x f -=+
+
=
结语：
学习了这么久，现在才把二次型化为标准形的方法总结出来，当然方法不止这几种，在这么多方法中，还是要根据题目的特征，从而选择出简便和熟悉的合适方法来解决我们遇到的问题，灵活的运用。

因为二次型不仅是数学领域的重要内容，它在物理，工程，经济等方面有重要作用，所以学好它对我们以后的学习、工作、生活有所帮助。

参考文献
王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，丘维声修订。

高等代数（上册）课程创新教材。

清华大出版社。

阳庆节修订。

高等代数简明教程。

中国人民大学出版社
李师正修订。

高等代数解题方法与技巧。

高等教育出版社。