分类与整合思想

PF PF1 7 1 ∴ ＝2.综上知， ＝ 或2. PF PF2 2 2

题型与方法
专题一 第三讲
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反思归纳
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，
需按直角顶点不同的位置进行讨论. (2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确 定性，需要根据图形的特征进行分类讨论.
真题感悟
专题一 第三讲
即“a≤0”是“函数 f(x)＝|(ax－1)x|在(0， ＋∞)上单调递增”
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的充要条件.
答案 C
真题感悟
专题一 第三讲
2.(2011· 课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的 正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ 等于 ( B ) 4 3 3 4 A.－ B.－ C. D. 5 5 5 5
题型与方法
专题一 第三讲
变式训练 2 已知 m∈R，求函数 f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m 在 区间[0,1]上的最大值.
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4 解 ①当 4－3m＝0，即 m＝3时，
4 函数 y＝－2x＋3，它在[0,1] 上是减函数.
4 所以 ymax＝f(0)＝ . 3 4 ②当 4－3m≠0 时，即 m≠ 时，y 是二次函数. 3
题型与方法
专题一 第三讲
解析
f(1)＝e0＝1，即 f(1)＝1.
－
当 a≥0 时，f(a)＝1＝ea 1，∴a＝1.
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当－1<a<0 时，f(a)＝sin(πa2)＝1， π ∴πa ＝2kπ＋2(k∈Z). 1 2 2 1 ∴a ＝2k＋2(k∈Z)，k 只取 0，此时 a ＝2. 2 ∵－1<a<0，∴a＝－ . 2
PF 点，已知 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点，且 1 PF 1 .求 PF ＞ 2 的值 . PF 2
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审题破题
直角三角形关键是确定直角顶点，由 |PF1 |>|PF2 |
知，只需分∠PF2F1 和∠F1PF2 分别为直角两种情况即可.
1－ 3 B. ，0 2 1－ D.－∞， 2
)
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5

解析
1 1 ∵－ ， ⊆A，∴f(a)<f(0)， 2 2
∴a(1＋a|a|)<0，解得－1<a<0，可排除 C.
∵f
1 1 － ＋a<f － ， 2 2
真题感悟
1 1 1 a ∴－ ＋a1＋a－ ＋a <－ 1＋ ， 2 2 2 2
1 1 5 ∴a－2＋a－2＋a<－4a.
专题一 第三讲
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1 1 5 ∵－1<a<0，∴ －2＋a －2＋a >－4， 1 2 1 2 5 5 ∴－－2＋a >－4，∴－2＋a <4，
思想解读
3.中学数学中可能引起分类讨论的因素：
专题一 第三讲
(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式 的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.
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(2)由数学运算要求而引起的分类讨论： 如除法运算中除数不 为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求， 指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负 数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前 n 项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的 单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、 指数函数图象、对数函数图象等.
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解析 设 P(t,2t)(t≠0)为角 θ 终边上任意一点， t 则 cos θ＝ . 5|t |
5 5 当 t>0 时，cos θ＝ 5 ；当 t<0 时，cos θ＝－ 5 . 2 3 2 因此 cos 2θ＝2cos θ－1＝5－1＝－5.
真题感悟
专题一 第三讲
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x
故选 D.
答案 D
真题感悟
专题一 第三讲
4.(2013· 天津 )已知函数 f(x)＝ x(1＋ a|x|).设关于 x 的不等式 1 1 f(x＋ a)<f(x)的解集为 A.若－ ， ⊆ A，则实数 a 的取值范 2 2 围是 1－ 5 A. ，0 2 1－ 5 1＋ 3 C. ， 0 ∪0， 2 2 (
解 若∠PF2F1＝90° ，
2 2 2 则 PF1 ＝|PF2 | ＋F1F2 ， 又∵ PF1＋PF2 ＝6，F1F2＝2 5，
题型与方法
PF 14 4 7 1 ＝ PF ＝ ，∴ PF 解得 ， ＝ . 1 2 3 3 PF2 2
真题感悟
专题一 第三讲
)
1 3.(2012· 四川)函数 y＝ax－ (a>0， 且 a≠1)的图象可能是( a
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1 解析 当 a>1 时，y＝a － 为增函数，且在 y 轴上的截距为 a 1 0<1－ <1，排除 A，B. a
x
真题感悟
专题一 第三讲
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1 1 当 0<a<1 时， y＝a － 为减函数， 且在 y 轴上的截距为 1－ <0， a a
思想解读
专题一 第三讲
第三讲 分类与整合思想
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1.在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并 逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想 .分类 讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法. 2.分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复， 不遗漏；(3)分层次，不越级讨论.
专题一 第三讲
若∠F1PF2＝90° ，
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2 2 2 F F PF PF 则 1 2 ＝ 1 ＋ 2 ， 2 2 PF PF ∴ 1 ＋(6－ 1 ) ＝20， ＝4，PF ＝2， PF 又|PF1|>|PF2 |，∴ 1 2
2
答案
B
题型与方法
专题一 第三讲
反思归纳
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(1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系
不同，必须进行讨论 .由数学定义引发的分类讨论一般由概念 内涵所决定， 解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与 外延 . (2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进 行讨论，如解二元不等式涉及到两根的大小等.
当 p≠1 且 p≠0 时，{an}是等比数列； 当 p＝1 时，{an}是等差数列；
当 p＝0 时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数 列也不是等比数列.
题型与方法
专题一 第三讲
(2)若集合 A＝{x|ax2－ ax＋ 1<0}＝∅，则实数 a 的值的集合是 ( D )
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1－ 5 ∴ 2 <a<0.排除 B，D.应选 A.
答案 A
真题感悟
专题一 第三讲
3 1 |a| 5.(2013· 天津)设 a＋b＝2， b>0， 则 ＋ 的最小值为________. 4 2|a| b
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1 |a| 1 a a＋b a 1 b a 解析 当 a>0 时， ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝4＋ ＋ 2|a| b 2a b 4a b 4a b 5 ≥ ； 4
真题感悟
专题一 第三讲
1.(2013· 安徽)“a≤0”是“函数 f(x)＝|(ax－1)x|在区间
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(0，＋∞)内单调递增”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件
( B.必要不充分条件
)
D.既不充分也不必要条件
解析 当 a＝0 时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单 调递增；
4 2 当 m<2－2m，又 m< ，即 m< 时，ymax＝2－2m. 3 3
题型与方法
专题一 第三讲
4 ⅱ若 4－3m<0，即 m> 时，二次函数 y 的图象开口向下，又 3 1 它的对称轴方程 x＝ <0， 所以函数 y 在[0,1]上是减函数， 4－3m
－a a＋b －a 1 |a| 1 1 当 a<0 时， ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－ ＋ 4 2|a| b －2a b －4a b b － a 1 3 －4a＋ b ≥－4＋1＝4.
1 |a| 3 综上所述， ＋ 的最小值是4. 2|a| b
题型与方法
专题一 第三讲
题型一
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由数学概念、运算引起的分类讨论
sinπx2，－ 1<x<0， f(x)＝ x－1 ，x≥0Βιβλιοθήκη Baidu e
例 1 函数
若 f(1)＋ f(a)＝2， 则a ( )
的所有可能值为 A.1 2 C.－ 2 B.1，－ 2 D.1， 2 2 2
审题破题 由于 f(x)为分段函数，故求 f(a)时要分－1<a<0， a≥0 两种情形讨论.
真题感悟
专题一 第三讲
当 a<0 时，结合函数 f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数 在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；
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当 a>0 时，结合函数 f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在 (0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示. 所以，要使函数 f(x) ＝|(ax－1)x|在(0，＋∞) 上单调递增只需 a≤0.
A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4}
B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}
解析 由题意知 a＝0 时，满足条件.a≠0 时，
a>0 由 2 Δ ＝ a －4a≤0
得 0<a≤4，所以 0≤a≤4.
题型与方法
题型二
专题一 第三讲
由图形或图象引起的分类讨论 x2 y2 例 2 设 F1、F2 为椭圆 ＋ ＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一 9 4
题型与方法
专题一 第三讲
4 ⅰ若 4－3m>0，即 m< 时，二次函数 y 的图象开口向上，对 3 1 称轴 x＝ >0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得 4－3m
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(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).
f(0)＝m，f(1)＝2－2m.
4 2 4 当 m≥2－2m，又 m< ，即 ≤m< 时，ymax＝m. 3 3 3
题型与方法
专题一 第三讲
( D )
变式训练 1 (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝pn－1(p 是常数)， 则数列{an}是 A.等差数列 B.等比数列
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C.等差数列或等比数列 D.以上都不对
解析 ∵Sn＝pn－1，
∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，
思想解读
专题一 第三讲
(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，
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由于参数的取值不同会导致所得的结果不同， 或者由于对不同 的参数值要运用不同的求解或证明方法等 . 总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最 后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论.