第四章 像差、拦光、远心光路

表 4-1 例 1 的计算结果
3.50 -11.2123 -7.4482 3.7641 53.54
2.50 -7.9836 -5.3128 2.6708 53.77
1.50 -4.7802 -3.1847 1.5955 53.92
n ' − n 1.5 − 1 φ= = = 0.02778(mm −1 ) 18 r ' n 1.5 f'= = = 54.00(mm) φ 0.02778
图 4-6
3 种球差曲线
为了便于比较不同焦距光学系统的球差， 通常先将光线高度做归一化处理， 也就是把边 缘孔径光线的高度作为 1，其它高度的光线按 比例缩放后，再进行比较。 δL’是沿光轴方向度量的，称为轴向球差。 在理想像面上沿垂轴方向测量球差， 得到 的测量值称为垂轴球差，记为δT’。 轴向球差和垂轴球差的关系如图 4-7 所 示，换算公式为 δT’=δL’tanU’ 单色光的轴外像差 彗差 彗差包括子午彗差和弧矢彗差。 在定义彗 差之前先定义子午面和弧矢面。 图 4-7 轴向球差与垂轴球差的关系
与光线追迹的计算结果对比，不同高度光线的成像位置存在一定误差，如图 4-4 所示，
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第四章 像差、拦光、远心光路
这种误差称为光学系统的球差，通常将球差绘制成如图 4-5 所示的球差曲线。 球差的校正 方法一：改变透镜的形状。 单片透镜有两个表面，改变 两个球面表面的曲率半径， 而 保持 镜片的 光焦 度（焦 距） ， 可以在一定范围内改变 球差。 方法二：对于光焦度大于 0 的光学系统 , 通常用高折射 率材料加工正透镜，产生比 图 4-4 存在球差的光线 图 4-5 球差曲线 较大的正光焦度和尽可能小 的负球差；用低折射率材料加工负透镜，产生比较小的负光焦度和尽可能大的正球差。用负 透镜产生的正球差平衡正透镜产生的负球差。 对于由多个镜片组成的光学系统，像差计算比较复杂，一般用光学设计软件进行计算。 如图 4-6(a)所示的球差曲线称为欠校正球差曲线， 所有光线的球差都没有得到校正； 图 4-6(b) 所示的球差曲线恰好将边缘孔径光线的球差校正为 0， 称为临界校正球差曲线或完全校正球 差曲线；图 4-6(c)所示的球差曲线称为过校正球差曲线。
δL'FC = L'F − L'C
校正位置色差 位置色差曲线如图 4-15 所示，通常将 0.7 孔径的位置色差校正到 0。
图 4-14 形成位置色差的光路 图 4-15 位置色差曲线
倍率色差 倍率色差又称放大率色差、垂轴色差 由于光学材料对不同波长的光存在折射率的差异，用同一光学系统对同一轴外物点成 像时，放大倍率会有一定的差别，这种差别称为倍率色差。 倍率色差通常定义为在D光高斯像面上F光的像高y’F与C光像高y’C之差，记为δy’FC
δLS = X S − xs
图 4-11 子午场曲和轴外子午球差
图 4-12 细光束子午场曲和弧矢场曲曲线
像散 如图 4-11 所示，细光束子午像点与弧矢像点的轴向距离称为像散，记为x’ts。 x’ts=x’t-x’s 畸变 畸变是主光线的像差。 主光线通过光学系统后， 与高斯像面交点的高度y’z不等于理想像 高y’,这种像差称为光学系统的绝对畸变，记为δy’z。 δy’z=y’z-y’ 当δy’z=0 时，光学系统没有畸变，物经过光学系统成像后形状不变，如图 4-13(a)所示。 当δy’z>0 时，光学系统有正畸变，正方形的物经过光学系统成像后，每个边都如同压变 形的枕头，因此，正畸变又称为枕形畸变，如图 4-13(b)所示。 当δy’z<0 时，光学系统有负畸变，正方形的物经过光学系统成像后，每个边都如同老式 木桶的轮廓线，因此，负畸变又称为桶形畸变，如图 4-13(c)所示。
在ΔACS’中
(4-3)
CS ' AC = ' sin(− I ) sin U '
L' − r r = ' sin( − I ) sin U '
即 改写为
L' = r
sin(− I ' ) +r sin U '
(4-4)
如果光学面是平面，即 r = ∞，则式（4-1）~（4-4）变为 I=U
(4-5) (4-6) (4-7)
CS AC = sin( − I ) sin U
即
L−r r = sin(− I ) sin U
改写为
sin(− I ) =
L−r sin U r
(4-1)
图 4-1 单球面折射的光线追迹
折射定律
sin I ' =
ΔAS’S 的外角等于其不相邻的两个内角和
n sin I n'
(4-2)
U ' = −I + U + I '
(a) 无畸变
(b) 枕形畸变 图 4-13 畸变
(c) 桶形畸变
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第四章 像差、拦光、远心光路
相对畸变定义为绝对畸变与理想像高之比 Q=δy’z /y’z
色差 白光有各种波长(λ=0.4μm~0.76μm)的单色光组成，光学系统中的透明介质对不同波 长的光有不同的折射率， 因此， 从同一个物点发出的不同波长的光线经过同一光学系统后所 成的像点就有可能不重合，这种与光的波长有关的像差就是色差。 色差分为位置色差和倍率色差。 位置色差 轴上物点发出不同波长的光线经过光学系统成像后， 像仍然在光轴上， 但位置与波长有 关，如图 4-14 所示。成像位置的差别称为位置色差，也称轴向色差。 对于多数目视光学仪器，通常用D光（钠原子产生的谱线，λ=0.5893μm，黄光）计算 单色像差，用F光（氢原子产生的谱线，λ=0.6563μm，红光）和C光（氢原子产生的谱线， λ=0.4861μm，青光）的成像位置之差衡量位置色差，将位置色差记为δL’FC。 若用L’F表示F光的像距，用L’C表示C光的像距，则
(4-9)
图 4-2 平面折射的光线追迹
以上公式（4-1）~（4-9）是计算实际光线成像的基本公式。 空间光线的成像公式比较复杂，使用时可以参考有关文献。 球差 例 1：物位于无穷远，物方折射率 n=1，像方折射率 n’=1.5，球面曲率半径 r =18。计算 光线高度 h=5,4.25,3.5,2.5,1.5 和近轴光线的成像位置。 解：如图 4-3 所示，光线高度为 5mm 时，h=5
§4.2 光阑 在光学系统中，不仅有专门用来拦光的孔或狭缝，还有光学元件的外框，都起限制光束 的作用，它们都是光学系统的光阑。按光阑在光学系统中所起的作用分类，可分为 4 类：孔 径光阑、视场光阑、渐晕光阑、拦杂光光阑。 1.孔径光阑 孔径光阑是限制成像光束立体角的光阑。 在计算光学系统时， 将所有的光阑都成像到物空间， 其中对轴上物点张角最小的光阑像 起限制入射光束立体角的作用，该光阑像所对应的光阑就是光学系统的孔径光阑。 孔径光阑在物空间的像称为入射光瞳，入射光瞳简称入瞳。入瞳所在的平面与光轴的交 点称为入瞳中心。 孔径光阑在像空间的像称为出射光瞳，出射光阑简称出瞳。出瞳所在的平面与光轴的交 点称为出瞳中心。 物到入射光瞳边缘的半张角称为物方孔径角，记为 U，像到出射光瞳边缘的半张角称为 像方孔径角，记为 U’。 通过孔径光阑中心的光线一定通过入瞳中心和出瞳中心，该光线称为“主光线”。 例如，一个由两片弯月透镜组成的照相物镜，如图 4-16(a)所示，共有 5 个光阑：第一片 的前镜框A1、第一片的后镜框A2、起拦光作用的光阑A3、第二片镜片的前镜框A4和第二片 的后镜框A5。为了确定该光学系统的孔径光阑，首先将所有的光阑都通过其前面的光学镜 片成像到物空间，如图 4-16(b)所示，光阑A1、A2、A3、A4、A5在物空间的像分别是A’1、A’2、
' ' ' δy FC = yF − yC
为了便于查阅和对比，将常见的 7 种基本像差及其性质、产生的原因、特点和常用校正 方法列于表 4-2 中。
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第四章 像差、拦光、远心光路 表 4-2 各种像差对比 类 别 名 称 球 差 彗 差 单 色 像 差 场 曲 像 散 畸 变 位 置 色 像 差 色 差 倍 率 色 差 轴外像差 同上 轴外像点带彩边 同上 轴上像差 折射率随波长改变 轴上像点带彩边 换材料或用反射面成像 性质 成因 表现 校正方法
图 4-9 弧矢彗差
图 4-10 由彗差造成的弥散斑
彗差是空间宽光束成像时与主光线成像位置不一致造成的， 当光学参数满足阿贝正弦条 件时，彗差等于零。 光束越细，彗差越小，当光束无限细时，彗差趋于 0。 像场弯曲和轴外球差 对于轴外物点，由于存在像差，成像位置离开高斯像面，若物是垂直光轴的平面，则像 变成一个曲面，这种像差定义为像场弯曲，简称场曲。 像空间子午宽光束的交点沿光轴方向到高斯像面的距离定义为宽光束子午场曲，记为 X’T。 像空间弧矢宽光束的交点沿光轴方向到高斯像面的距离定义为宽光束弧矢场曲，记为 X’S。 像空间子午细光束的交点沿光轴方向到高斯像面的距离定义为细光束子午场曲，记为 x’t。 像空间弧矢宽光束的交点沿光轴方向到高斯像面的距离定义为宽光束弧矢场曲，记为
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sin I ' =
n sin I n'
U’=-I+U+I’
第四章 像差、拦光、远心光路
如图 4-2 所示，在ΔAOS’中，AO=L’tanU’ 在ΔAOS 中，AO=LtanU
∴ L' = L
tan U tan U '
(4-8)
从第 k 面到第(k+1)面的过渡公式（转面公式）
⎧ U k +1 = U k' ⎨ ' ⎩ Lk +1 = Lk − d k
用同样的方法得到其它高度光线的成像位 置，计算结果列于表 4-1。 h(mm) I (°) I’ (°) U’ (°) L’(mm) 近轴成像 5.00 -16.1276 -10.6719 5.4557 53.06 4.25 -13.6571 -90.0564 4.6007 53.32
图 4-3 物位于无穷远的单球面折射光路图
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第四章 像差、拦光、远心光路
由光轴和轴外物点所确定的平面称为子午面。 垂直子午面，且通过光线的平面称为弧矢面。 子午彗差定义为子午平面内 上、 下光线在高斯像面上高度的平 均值与主光线在高斯像面上的高 度之差。 如图 4-8 所示，若用K’T表示 子午彗差，y’1和y’2分别表示上、 下光线在高斯面上的高度，y’0 表 示主光线在高斯面上的高度，则
' y1' + y2 ' K = − y0 2 ' T
图 4-8 子午彗差
如图 4-9 所示， 物空间的成像 光束在弧矢面内相对主光线对称，前后两条光线经过光学系统变换后必然相交于子午面上， 将该交点到光轴的距离与主光线在高斯像面上的高度之差定义为弧矢彗差，记为K’S。 弧矢彗差一般小于子午彗差，成像光斑如图 4-10 所示。弧矢彗差涉及空间光线的计算， 通常使用 Code V、Zemax 等商业化光学设计软件计算。
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第四章 像差、拦光、远心光路
x’s。 像空间轴外子午宽光束的交点与细光束的交点沿光轴方向的距离称为轴外子午球差， 记 为δL’T
' δL'T = X T − xt'
子午场曲和轴外子午球差如图 4-11 所示，相应的像差曲线如图 4-12 所示。 像空间轴外弧矢宽光束的交点与细光束的交点沿光轴方向的距离称为轴外弧矢球差， 记 为δL’S ' ' '
sin(− I来自百度文库) =
h 5 = = 0.2778 r 18 I = −16.1276o
sin I ' =
1 5 n sin I = × (− ) = −0.1852 ' 1.5 18 n
I ' = −10.6719o
U ' = − I + U + I ' = 5.4557 o sin(− I ' ) + r = 53.06 L'5 = r sin U '
第四章 像差、拦光、远心光路
第四章 像差、拦光、远心光路
§4.1 像差概述 在包括平面的球面光学系统中， 只有平面反光镜是唯一能对物体成完善向的光学元件， 其它光学元件只有在近轴条件下用细光束近似地成完善像。 随着视场和孔径的增大，成像光束的同心性遭到破坏，产生各种成像缺陷，物像形状 不再相似，这种实际像与理想像在位置和形状上的偏差均称为像差。 轴上单色像差是球差，轴外单色像差有彗差、像场弯曲、像散和畸变，色差有两种， 轴上色差是位置色差或色球差， 轴外色差是倍率色差或称放大率色差。 计算像差的方法是光 线追迹， 通过光线追迹计算不同视场、 不同孔径光线的成像位置， 进而计算各种像差的数值。 通过下面导出的光线追迹公式可以计算光学系 统的几何像差。 在图 4-1 的ΔACS 中，根据正弦定理有
轴上单色 像差 轴外单色 像差 同上
轴上物点发出的大孔 径光线 轴外物点发出的大孔 径光线 光线相对光轴不对称
点物不成点像
改变透镜形状或增加透镜数量
点物的像形似彗星
改变透镜形状
平面物不成平面像 子午像面与弧矢像 面分离
改变光阑位置或改变结构
同上
同上
同上
同上
放大倍率随物高变化
像与物不相似
改变光阑位置或改变结构或采 用对称结构