张量分析答案完整版

证明： ∂ν m ∂ν n − ∂x n ∂x m ∂x m 则由 vm ' = β m = ' ' v m vm ∂x m m ∂v ' ∂x m ∂v m ∂x n ∂x m 可知: m ' = + ' ' ' ' vm n ∂x m ∂x ∂x n ∂x m ∂x n ∂x n ∂v ' ∂x n ∂v n ∂x m ∂x n 同理可得： n ' = + ' ' ' ' vn m ∂x m ∂x n ∂x ∂x m ∂x m ∂x n ∂v ' ∂v ' ∂x m ∂v m ∂x n ∂x m 则 T( m ' . n ' ) = m ' − n ' = + ' ' ' ' n ∂x n ∂x m ∂x m ∂x ∂x n ∂x m ∂x n 令 T ( m .n ) = 由于： ∂x m
T i j k = βri βs j βt k T rst T
' ' i 'j k ' ' '
' ' '
'
'
'
= β ir β js β kt Trst
' ' ' ' ' ' '
T..ik j = βri βs j β kt T..trs T. ij k = βri β s βt T r j k .st
∴T 与S具有相同的主不变量。
2.4 求证： （1） [T ⋅ u v w ] + [u v T ⋅ w ] + [u v T ⋅ w ] = φ1T [u v w ]
T （2） [T ⋅ a T ⋅ b c] + [a T ⋅ b T ⋅ c ] + [T ⋅ a b T ⋅ c] = φ 2 [a b c]
求证：T 与 S 具有相同的主不变量。
证明：
T∗ m 1 = tr (T ) = tr ( A • B) = A • B : G = T. ij gi g j • T.n gm g n : g ab ga gb = TamT ma S∗ m 1 = tr ( S ) = tr ( B • A) = B • A : G = T.n gm g n • T. ji gi g j : g ab ga gb = Tan T na
' ' ' ' '
...... (i ' , j ' , k ' = 1,2,3)
r ∵T rst TrstT..rs t T.st ......都为零
∴ 等式左边在新坐标系下的张量分量都为零 即T i j k Ti j k T..ik j T. ij k ......全为零
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
g11g1 + g 12g 2 + g 13g 3 = 2g1 + g 2 + g 3
= 2 1 1 ( -i + j + k ) + ( i - j + k ) + ( i + j - k ) 2 2 2
= j + k = g1 及： g1 = g11g1 + g12g 2 + g13g3 同理; g 21g1 + g 22g 2 + g 23g3 = g1 + 2g 2 + g 3 = 1 2 1 ( -i + j + k ) + ( i - j + k ) + ( i + j - k ) 2 2 2
vm =
∂x n
' '
v
n
∂ν m ∂ν n − 为一反对称二阶张量的协变分量 ∂x n ∂x m
1.41
质量为 m 、绕定点 O 以角速度 ω 转动的质点（见图） ，其动量矩矢量
的定义为 L = mr × v ，其中， r 为定点 O 至质点的矢径， v 为质点的线速度。 求证： L = I • ω ，式中 I 为惯性矩张量， I = m[( r • r )G − rr ] 证明： L = mr × v = mr × (ω × r) = m[ω (r • r ) − r (r • ω )] 此题为书上 P34 页（1.8 ）例题
Li = m[ω i r mrm −r m rm − ri rk ]ω k = I iik ω k 所以 L = m[(r • r )G − rr ] • ω = I • ω
1.51 已知向量 ω1 与二阶反对称张量 Ω 1 ， 矢量 ω 2 与二阶反对称张量 Ω 2 分别互为 反偶。反偶？ 求证： ω1 • ω 2 证明：由已知得
jk � Ω Ω 2 kj 已知 Ω 2 为反对称张量，故 1
= − Ω 1 Ω 2 jk
jk
� � 1 jk ω1 • ω 2 = Ω1 Ω 2 jk 2 所以
� � � � � � jk � � jk jk Ω1 : Ω2 = Ω1 g j gk : Ω 2lm g l g m = Ω1 Ω 2lmδ ljδ km = Ω1 Ω 2 jk = 2ω1 • ω2
= (u x wx + u y wy + u z wz ) ( vx , vy , vz ) - (u x wx + u y wy + u z wz ) ( wx , wy , wz ) =[
, u y ( vx wy − wx v y ) − u z ( wxv z − v x wz ) u x ( wx vz − vx wz ) − u y ( v y wz − w yv z ) ] 所以： u × (v × w ) = (u • w)v − ( u • v) w 同理可证： ( u × v ) × w = ( u • w) v − ( v • w) u
黄克智版张量分析课后习题答案完整版 第一章
1.1 求证： u × (v × w ) = ( u • w) v − ( u • v) w
并问： u × ( v × w ) 与 （u × v） × w 是否相等？ u 、v、w 为矢量 证明：因为 u= (u x , u y , u z ) ; v= ( vx , vy , vz ) ; w= ( wx , wy , wz ) ;
左边= u × (v × w ) = (u x , u y , u z ) × [ ( vx , vy , vz ) × ( wx , wy , wz ) ]
⎡i j k⎤ ⎢ ⎥ = (u x , u y , u z ) × ⎢ vx vy vz ⎥ ⎢ ⎣ wx wy wz ⎥ ⎦ = (u x , u y , u z ) × [ ( vy wz − wy vz ) , ( wxv z − v x wz ) ,( v x wy − wxv y )] =[ u y ( vx wy − wx v y ) − u z ( wxv z − v x wz ) , u z ( v y wz − w yv z ) − u x (u x wy − wxv y ) , u x ( wx vz − vx wz ) − u y ( v y wz − w yv z ) ] 右边= ( u • w) v − ( u • v ) w = (u x wx + u y wy + u z wz ) v - (u x wx + u y wy + uz wz ) w
=
1 Ω1 : Ω2 2
� � 1� � 1� � ω1 • ω 2 = (− ∈: Ω1 ) • (− ∈: Ω 2 ) 2 2 1 � � � � � � � � lm � � = (∈ijk g i g j g k : Ω1 g l g m ) • (∈rst g r g s g t : Ω 2 xy g x g y ) 4 1 � jk � = (∈ijk Ω1 g i ) • (∈rst Ω 2 st g r ) 4 1 = ∈ijk ∈rst Ω 1 jk Ω 2 st 4 1 1 jk t t s = (δ s (Ω 1 jk Ω 2 jk − Ω1 jk Ω 2 kj ) j δ k − δ jδ k )Ω1 Ω 2st = 4 4
及： g 3 = g31g1 + g 32g 2 + g 33g 3 及验证： g j = g ji g i 正确 1.21 试证明若一张量的所有分量在某一坐标系中为零，则它们在任何其他坐标 系中亦必为零。 证明：不妨取三界张量
根据 P24 页所讲的分量表示法和坐标转换关系知识
T=T i j k g i g j g k =Tijk g ig jgk =Tij .. k gi gj gk =T i.jk g ig jgk =…… 其分量为：T ijkT ijkT ij..kT i.jk…… 他们满足坐标转变关系，先将 ijk 用 rst 表示，我们可以得到
' '
vm −
∂x n ∂vn ∂x m ∂x n − ' ' ' ' m ∂x n ∂x ∂x m ∂x m ∂x n
v
n
∂x m ∂x n ∂x m ∂x n ∂v ' ∂v ' ∂x m ∂x n ∂vm ∂vn 所以 T( m ' . n ' ) = m ' − n ' = − m) ' ' ( n ∂x ∂x n ∂x m ∂x m ∂x n ∂x ∂v m' n ' ∂v m m' n' 即 T ( m ' .n ' ) = β m − n ) = βm ' β ' ( ' β ' T( m .n ) n n m n ∂x ∂x ∂ν m ∂ν n 所以的证： T(m . n ) = n − m 为二阶张量的协变分量。 ∂x ∂x 当 m = n 时恒有 T( m .n ) = 0 ∂ν m ∂ν n 又有 T( n .m ) = − n + m = −T(m .n ) ∂x ∂x 综上可知：
得证
而
第二章
T 2.2 已知：二阶张量 T 与 T T 互为转置（ Tij = Tij ）
求证： T 与 S 具有相同的主不变量。 证明：对于 T ：
•a • •p J1T = Tii •• J2T = tr (T • T ) = T • T •• G = Ta•mTm J 3T = T • T • T •• G =Ta•mTm T p•a •
证明： （1）式左边 = T ⋅ij u j g i v a g a w b g b + u c g c T⋅ij v j g j w d g d + u e g e v f g f T⋅ ij w j g i = T⋅ ij u j v a wb ε iab + T⋅ ij u c v j wd ε cid + T⋅ ij u e v f w j ε cid 1 i j a b 1 1 T⋅ j u v w ε iab ε jab ε jab + T⋅ ij u c v j wd ε cid ε cjd ε cjd + T⋅ ij u e v f w j ε efi ε efj ε efj 6 6 6 1 = T⋅ ij (2δ ij [u v w ] + 2δ ij [u v w ] + 2δ ij [u v w ]) 6 = = T⋅ii δ ij [u v w ] = T⋅ii [u v w ]= φ1T [u v w ]，命题得证。 （2）式左边
n阶张量同理可证 ∴当一张量在一个坐标系中所有分量都为零时， 则他们在任何坐标系中亦必为零
1.31 已知： v k 为一矢量的协变分量。
（根据 P31 页所讲的张量的对称与反对称知识来证明这个题目。 重点 T( n .m ) = −T( m .n ) ） ∂νm ∂νn 求证： n − m 为一反对称二阶张量的协变分量。 ∂x ∂x
所以 u × (v × w) ≠（u × v） ×w
u z ( v y wz − w yv z ) − u x (u x wy − wxv y )
,
1.11 根据上题结果验算公式： g j = g jig i 1 1 1 由上题结果： g = 2 , g1 = ( −i + j + k ) , g 2 = (i − j + k ) , g3 = ( i + j − k ) 2 2 2 ⎧2 g rs = ⎨ ⎩1 当r=s 当r ≠ s
对于 S ：
T •a • T T T T • m p a J 1T = Tjj •• J 2 = tr (T T • T T ) = T T • T T • G = T•m a Tm • J 3 = T • T • T • G = T• p T• aT• m •
得证。
2.3 已知：任意二阶张量
A,B ,且 T = Ai B,S = Bi A
= i + k = g2 及： g 2 = g 21g1 + g 22g 2 + g 23g3
g 31g1 + g 32 g2 + g 33g3 = g1 + g2 + 2g3
= 1 1 2 ( -i + j + k ) + ( i - j + k ) + ( i + j - k ) 2 2 2
= i + j = g3