几种GPS卫星钟差预报方法分析与比较[1]

几种GPS 卫星钟差预报方法比较及精度分析
摘 要
精密单点定位技术在高精度的坐标框架维持、地球动力学研究及区域性或全球性的科学考察及低轨卫星定轨、海陆空间导航等动态应用方面都有不可估量的前景。

但是IGS 现在还不能提供实时和外推的精密卫星钟差，GPS 卫星钟差仍然是实现PPP 技术实时应用的瓶颈问题，制约了实时PPP 技术的应用。

本文分别利用二次多项式模型、灰色模型和线性模型进行了大量卫星钟差资料分析，分析总结了它们的优点与不足，为GPS 卫星钟差预报研究提供借鉴与参考。

关键词：GPS 精密单点定位 卫星钟差预报 灰色模型 二次多项式模型 线性模型
Comparison and Precision Analysis of Several GPS Satellite Clock Bias Prediction Methods
ABSTRACT
Precise Point Positioning(PPP) is very important in keeping high precise coordinates frame, geodynamics research, local or global scientific expedition, LEO orbit determination and spatial navigation and so on. GPS satellite clock bias(SCB) is an obstacle to PPP applications because that IGS can not offer realtime and extrapolation precise SCB. We analyze SCB and its prediction with quadratic polynomial model, grey model, and linear model, respectively, and conclude their merits and shortcoming, it offers a new idea and reference for GPS SCB prediction.
Keywords: GPS; Precise point positioning; Satellite Clock Bias Prediction; Grey Model; Quadratic Polynomial Model; Linear Model
1. 引言
在GPS 定位中，影响定位精度的主要误差来源可分为三类，即与GPS 卫星有关的误差、与信号传播有关的误差和与用户接收设备有关的误差。

在所有这些误差影响中，电离层延时的影响、地球自转参数、天线相位中心改正、相对论效应等误差源可以模型化予以扣除。

于是，只要给定卫星的轨道和精密钟差，采用精密的观测模型，就能像伪距一样，单站计算出接收机的精确位置、钟差、模糊度以及对流层延时参数。

根据PPP 技术的要求，定位中需要系统提供卫星的精密轨道和钟差。

目前，国际GPS 服务组织（IGS ）的几个数据分析中心具备这个能力提供卫星的精密轨道和钟差，但是，这些都是后处理结果。

根据IGS 的产品报告，IGS 提供的卫星最终产品，轨道精度能够达到5cm ，卫星钟差的精度优于0.1ns ，这种精度的卫星钟差和轨道，完全能够满足厘米级精度的定位要求，但是这个产品要13天后才能获取，不能满足实时单点定位的要求。

近10年，由于IGS 的努力，GPS 卫星预报轨道的精度已经达到1-2米，预报轨道的时间也由24h 预报缩短到3h 预报，卫星轨道的精度已经能够满足一般定位的要求。

但是由于星载GPS 原子钟频率高，非常敏感，极易受到外界及其本身因素的影响，从而很难掌握其复杂细致的变化规律，IGS 现在还不能提供实时和外推的精密卫星钟差，精密的卫星钟差仍然是PPP 技术实时应用瓶颈，制约了实时PPP 技术的应用。

本文分别利用二次多项式模型、灰色模型和线性模型进行了大量卫星钟差资料分析，分析总结了它们的优点与不足，为GPS 卫星钟差及其预报研究提供借鉴与参考。

2. 二次多项式模型
目前，已经有许多学者和专家深入研究了提高卫星钟差预报精度的方法，并且取得了一些成果，JPL 已经可以提供s 30的卫星钟差产品，现在常用的钟差预报模型主要有：线性模型、二阶多项式模型和高阶多项式模型，大多使用最小二乘法来估计多项式系数，其中又以二阶多项式最为常用，即
⎰+∆+∆+=∆s
t t SV dt t f t a t a a t 0
)(2210 21t t t ≤∆≤ （1）
其中，0t t t s -=∆，SV t ∆为s t 时刻GPS 卫星钟差，0a 为参考时刻0t 时的卫星钟差；1a 为参考时刻0t 时的卫星钟速；2a 为参考时刻0t 时的卫星钟漂移率；
⎰
s
t t dt t f 0
)(是由于频率的随机误差而引起的一种随
机钟差，只能通过钟的稳定度来描述其统计特性，无法知道其具体数值；0t 表示星历表参考时刻，t 为当前历元时刻，()21,
t t 为钟差二次多项式拟合的有效区间，主要取决于钟的稳定性，该有效区间选择
图1. PRN1卫星二次多项式预报残差 Fig.1 Prediction difference of PRN-1 with QP
从式（1）和图1可以看出，利用二次多项式进行卫星钟差预报存在一定的局限性，卫星钟差SV
t ∆是时间函数，其误差积累会随着预报时间的延长而增大（注：所有预报或拟合资料都与IGS 精密钟差比较，下同）。

另外，最小二乘法多项式模型易受多项式拟合的阶数和已知（观测）数据的个数等人为因素的影响。

IGS 的超快预报星历是由8个数据处理中心各自算法（不同模型）基础上加权平均得到的，其中也包括二次多项式模型。

图2利用7日的二次多项式拟合模型对8日的钟差预报
Fig.2 Predicting 8th SCB according to quadratic polynomial model fitted from 7th Dec. 2004
图2 为利用前一天的卫星钟差资料拟合的二次多项式模型系数预报后一天的卫星钟差情况，从图2可以看出，当天的拟合精度比较高，但是利用前一天的资料拟合所得的二次多项式模型预报后一天的卫星钟差，精度随着预报时间的增加而降低，有两方面的原因，一方面说明GPS 卫星钟差具有较强的随
机性；另一方面进一步说明二次多项式预报模型的局限性，其误差积累会随着预报时间的延长而增大。

3. 线性模型
（3.1）利用前一天钟差观测资料对后一天预报的情况
图3 利用7日的线性拟合模型对8日的钟差预报
Fig.3 Predicting 8th SCB according to linear model fitted from 7th Dec. 2004 图3为利用7日的卫星资料线性拟合模型系数对8日的钟差进行预报，从图中可以看出，线性拟合精度比二次多项式拟合精度略低，但是利用前一天的拟合系数对后一天进行预报，线性预报精度略优于二次多项式模型。

（3.2）分别利用前两天观测资料预报第三天钟差精度分析
图4 PRN-1（左）和PRN-4（右）卫星钟差分别用第一天和第二天预报第三天的钟差情况
图中，ultra表示超快卫星钟差预报值；polyfit表示线性拟合；case A表示用第一天的线性模型预报第三天的情况；case B表示用第二天的线性模型预报第三天的情况；case C表示用前两天资料所得模型预报第三天的情况，
从图中可以看出，线性拟合的精度均高于超快卫星钟差预报精度，且相对比较稳定，对于三种不同的预报方案而言，caseA预报精度高于caseC，caseC的预报精度略高于caseB的情况。

4.灰色模型
我们发现，星载GPS原子钟频率高，非常敏感，极易受到外界及其本身因素的影响，从而很难掌握其复杂细致的变化规律，这些属性比较符合灰色系统理论的特点。

因此，我们考虑将钟差的变化过程看作一个灰色系统。

灰色预测系统是我国邓聚龙教授20世纪80年代首次提出的一个新的信息处理方法
[1]。

灰色系统[2, 3]是指部分信息已知，部分信息未知的预测系统，即信息不完全确知的系统。

信息完全状态为“白色”，信息缺乏状态为“黑色”。

它是以灰色模块为基础，通过对原始数据实行累加或累减生成新的数据序列，然后对生成的新的数据序列进行建模，它不用随机变量的概念，只把它看作在一定范围内变化的灰色量。

而且，它不需要大样本的原始数据，只需要少量的已知数据（只要原始数列有4个以上数据）就可以建立灰色模型，减少了要使用的数据量，提高了建模速度。

本文利用修正的GM(1,1)模型进行GPS 卫星钟差实时预报的研究。

我国赵云胜[4]等人在20世纪90年代将灰色系统引入地学研究中，取得一系列重要成果，焦文海[5, 6]等人将灰色预测模型引入导航卫星的长期钟差预报研究中，得到较好的效果。

但是进一步研究表明：经典灰色模型在卫星钟差短期预报中存在一些局限性。

在探讨二阶多项式和经典灰色模型卫星钟差预报局限性基础上，提出了利用改进的GM(1,1)灰色模型实时预报GPS 卫星钟差的研究，
（4.1）传统灰色模型的局限性
图5. 不同模型指数系数得到的预报结果
Figure 5 SCB predictions with different exponent coefficient (EC)
图5中，为2006年7月30日PRN23卫星钟差资料，采样间隔为30秒，利用30个初始历元作为初始观测资料进行钟差预报，左图是指数M 系数为1的钟差预报情况，与IGS 精密产品比较，误差达到25ns ，而右图指数M 系数不为1（为-17）的钟差预报情况，与IGS 精密产品比较，误差仅为1~2ns 。

因此，从图中可以看出，不同的模型指数系数对预报精度有很大的影响，而且，把模型指数系数固定一个常量将会带来很大的误差，甚至是错误的。

（4.2）改进的灰色模型
从上面的分析，可以看出灰色模型指数系数为1时对GPS 卫星钟差预报并非最佳，因此，我们在传统灰色模型基础上，引入一个指数系数变量λ，对传统灰色模型进行了改进，改进的灰色模型为：
)1()1()(ˆ)1()0()0(a p k a e e a b x p k x
-⋅⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=+-+⋅⋅-λ （1） 为了研究不同卫星钟差类型情况下的指数系数，可以得到指数系数变量λ的一般表达式：
()
)
1(1)1()(ˆlog
)0()0(-+⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-
=p k a e a b x p k x
a
λ （2） 值得注意的是，不同卫星不同时刻其钟差变化不尽相同，预报模型的指数系数也不相同，但能反映出一定的趋势与取值范围，见文献[7]或本文（4.3）部分。

050010001500200025003000
0.5
0.60.70.80.911.1
1.21.3Epoch E x p o n e n t i a l C o e f f i c i e n t
24-hour
图6. PRN8卫星钟差预报与指数系数 Figure 6. SCB prediction and EC of PRN-8
图6中，分别为2006年7月30日PRN-8卫星利用30个初始历元作为初始观测资料的钟差预报精度情况和模型指数系数情况，采样间隔为30秒，从图中可以看出，利用灰色模型预报卫星钟差，预报一天（24小时）精度可以达到5ns 的精度，高于超快星历预报，但是，其灰色模型指数系数非常数1而是在0.6-0.7之间。

（4.3）卫星钟差类型与模型指数系数的一般关系
下面我们简单分析卫星钟差变化线性化较强情况下，其灰色模型指数系数变化的一般规律。

卫星钟差基本可以分为两类情况：一类是单调递增或递减的情况；另一类是非单调（序列中既有递增也有递减）递增或递减的情况。

每类还可分为四种情况讨论：（1）递增且为正值；（2）递增且为负值；（3）递减且为正值；（4）递减且为负值。

值得说明的是，为了研究不同类型的卫星钟差与灰色模型指数之间的一般关系，我们进行了2001年、2004年和2006年约30天（每天约30颗卫星）的卫星钟差资料分析，得出不同类型卫星钟差与模型指数系数的一般规律。

（1） 卫星钟差递增，改正量为正值
500
1000
15002000
2500
3000
0.0187
0.01870.01880.01880.01890.01890.019
0.0190.01910.0191Epoch
C l o c k B i a s (m s )
PRN-2
图7. 卫星钟差递增且为正值的模型指数系数变化趋势
Figure 7 SCB and model EC
（2）卫星钟差递增，改正量为负值
图8. 卫星钟差递增且为负值的模型指数系数变化趋势
Figure 8 SCB and model EC
（3）卫星钟差递减，改正量为正值
3000
图9. 卫星钟差递减且为正值的模型指数系数变化趋势
Figure 9 SCB and model EC
（4）卫星钟差递减，改正量为负值
图10. 卫星钟差递减且为负值的模型指数系数变化趋势
Figure 10 SCB and model EC
图7-10中，左图为一天的卫星钟差变化情况，右图为相应指数系数变化趋势（蓝色部分）以及其7阶多项式拟合（红色曲线），通过上述图7-10以及其它大量算例资料可以初步得出不同类型卫星钟差与灰色模型指数系数的一般规律：（1）卫星钟差变化递增时，当卫星钟变化量为负值，模型指数系数大于1，并呈递增趋势，相反，当卫星钟变化量为正值，模型指数系数小于1，并呈递减趋势；（2）卫星钟差变化递减时，当卫星钟变化量为负值，模型指数系数小于1，并呈递减趋势。

相反，当卫星钟变化量为正值，模型指数系数一般大于1，并呈递减增趋势。

图11.PRN-8用二次多项式和灰色模型预报残差比较 Fig.11 the prediction difference of QP and GM of PRN-8
图11为PRN-8卫星的某天资料分别用二次多项式模型和附有系数的灰色模型预报得到的GPS 卫
星钟差与IGS最终产品的残差，从图中可以看出，二次多项式模型预报误差随着时间的增加而增大，即随着时间增加误差积累，而附有系数的灰色模型其预报精度不随预报时间而积累，进一步说明了二次多项式模型预报的局限性和附有系数的灰色模型预报的优越性。

5. 结论与展望
到目前为止，已经提出多种GPS卫星钟差预报方法，本文分别利用二次多项式模型、线性模型和附有系数条件的灰色模型进行卫星钟差预报分析，从上述分析结果可以看出，在选择恰当系数情况下，附有系数的灰色模型预报精度优于其他两种模型，但是灰色模型系数的有效确定有待进一步研究。

在短期预报中，线性模型预报精度优于二次多项式模型，而且，利用当天的拟合系数预报后一天的卫星钟差，线性模型效果好于二次多项式模型。

通过分析，我们得出了预报过程中，卫星钟差的类型与灰色模型指数系数的一般规律。

我们将在传统灰色模型基础上，进一步揭示不同卫星钟差类型与附有系数灰色模型之间的直接联系。

参考文献
[1].邓聚龙，灰色系统基本方法，华中工学院出版社，1987。

[2].严智渊，戴玉生编著，灰色系统预测与应用，江苏科学技术出版社，1989。

[3].严智渊，戴玉生编著，灰色系统程序设计，江苏科学技术出版社，1989。

[4].赵云胜等，灰色系统理论在地学中的应用研究，华中理工大学出版社，1997。

[5].焦文海，卫星导航系统坐标基准建立问题的研究，博士后工作报告，上海：中国科学院上海天文台，2003。

[6].崔先强，焦文海，灰色系统模型在卫星钟差预报中的应用，武汉大学学报（信息科学版），武汉：武汉大学，2005年5月，30(5)，pp:447-450。

[7].郑作亚，陈永奇，卢秀山，灰色模型修正及其在实时GPS卫星钟差预报中的应用研究，天文学报.（已录用）
[8].ZHENG Zuoya, CHEN Yongqi, YI Zhonghai (2007), Primary Analysis of GPS Satellite Clock Bias Prediction with Observations from IGS Ultra-rapid Products, FIG2007, 7-12, May, Hong Kong.
[9].郑作亚，卢秀山，陈永奇，利用IGS超快星历中观测资料预报卫星钟差初步分析，2007中国大地测量学术年会，2007，11月14-17日，中国，青岛。