2016_2017学年高中数学第2章概率章末高效整合课件
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A、B 中至少有一个发生的事件为 A∪B； A、B 都发生的事件为 AB； A、B 都不发生的事件为 A B ； A、B 恰有一个发生的事件为 A B ∪ A B. AB 中至多有一个发生的事件为 A B ∪ A B∪ A B .
它们之间的概率关系如下表所示
A、B 互斥
A、B 相互独立
P(A∪B)
热点考点例析
条件概率的求法
主要方法：
(1)利用条件概率：P(B|A)＝
PAB PA .
(2)针对古典概型，缩减基本事件总数
P(B|A)＝ nnAAB.
坛子里放着7个相同大小、相同 形状的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回 地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率； (3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的 概率．
2．二项分布 在n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为 p，“失败”的概率均为1－p.用X表示这n次试验中成功的次数 则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…n)． X服从二项分布． 3．超几何分布与二项分布是高考重点内容之一，要分清 两种分布模型，特别是超几何分布中要弄清N、M、n、k的取 值．
解析： 设“第 1 次拿出绿皮鸭蛋”为事件 A，“第 2 次
拿出绿皮鸭蛋”为事件 B，则“第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭
蛋”为事件 AB.
(1)从 7 个鸭蛋中不放因地依次拿出 2 个的事件数为
n(Ω)＝A27＝42. 根据分步乘法计数原理，n(A)＝A14×A16＝24.
于是 P(A)＝ nnΩA＝ 2442＝ 47.
PAB PA .
(源自文库)借助古典概型公式 P(B|A)＝
nAB nA .
4．概率问题常常与排列组合相结合，求事件概率的关键是
将事件分解成若干个子事件，然后利用概率加法(互斥事件求
和)、乘法(独立事件同时发生)、除法(条件概率)来求解．
三、超几何分布及二项分布 1．超几何分布 一般地，设有 N 件产品，其中有 M(M≤N)件次品，从中任 取 n(n≤N)件产品，用 X 表示取出 n 件产品中次品数的件数． 那么 P(X＝k)＝ CkMCCnNnN－－kM(k∈N)，X 服从超几何分布．
P(B)＝C12×0.6×0.4＝0.48， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.48×0.48＝0.2304. 即甲、乙两班参赛同学中各有 1 人成绩及格的概率为 0.2304.
(2)方法一：甲、乙两班 4 名参赛同学成绩都不及格的概率 为 0.44＝0.0256.
故甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格的概率 为 1－0.0256＝0.9744.
方法二：设“甲、乙两班 4 名参赛同学中有 i 名同学成绩 及格”为事件 Ci(i＝1,2,3,4)．
“甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格”为事 件 D，则 C1，C2，C3，C4 互斥，且 D＝C1＋C2＋C3＋C4.
∴P(D)＝P(C1＋C2＋C3＋C4)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＋P(C4) ＝C14×0.6×0.43＋C24×0.62×0.42＋C34×0.63×0.4＋C44×0.64
(2)事件 D＝“按比赛规则甲获胜”， 则 D＝A＋B＋C， 又∵事件 A、B、C 彼此互斥， 故 P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝18＋136＋136＝12， ∴按比赛规则甲获胜的概率为12.
2．甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学 成绩及格的概率都是0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影 响．求：
(2)对于离散型随机变量分布列的考查常与期望、方差融合 在一起，对知识进行横向联系，纵向加深考查．
在一次购物抽奖活动中，假设某 10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等 奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾 客从这10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．
2．正态分布密度函数满足以下性质：
(1)函数图像关于直线 x＝μ 对称．
(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”、“瘦”．
(3)P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683； P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954； P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997. 3．根据三个区间的概率值以及图像的对称性求某区间上的 概率是高考重点，要利用数形结合思想与转化与化归思想解决．
P(A)＋P(B)
1－P( A )P( B )
P(AB) P( A B )
0 1－[P(A)＋P(B)]
P(A)P(B) P( A )P( B )
P(A B ∪ A B) P(A)＋P(B) P(A)P( B )＋P( A )P(B)
P(A B ∪ A B 1
∪A B)
1－P(A)P(B)
实力相等的甲、乙两队参加乒乓 球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停 止比赛)．
某大学毕业生参加某单位的应聘考试，考核依次分 为笔方式、面试、实际操作三轮进行，规定只有通过前一轮考 核才能进入下一轮考核，否则被淘汰．三轮考核都通过才能被 正式录用．设该大学毕业生通过一、二、三轮考核的概率分别 为23、34、45，且各轮考核通过与否相互独立．
(1)求该大学毕业进入第三轮考核的概率； (2)设该大学毕业生在应聘考核中考核轮数为 X，求 X 的分 布列及期望和方差．
(2)因为 n(AB)＝A24＝12，
所以 P(AB)＝
nAB＝ nΩ
1422＝
2 7.
(3)方法一：由(1)(2)可得，在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，
第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P(B|A)＝ PPAAB＝
2
74＝
1 2.
7
方法二：因为 n(AB)＝12，n(A)＝24，
所以 P(B|A)＝ nnAAB＝ 1224＝ 12.
X 0 10 20
50
60
P
1 3
2 5
1 15
2 15
1 15
3．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个 球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一 个红球则得2分，用ξ表示得分数，求ξ的概率分布列．
解析： 由题意知，ξ 的可能取值是 0,1,2,3,4 则 P(ξ＝0)＝CC2429＝49× ×38＝16. P(ξ＝1)＝CC14·C92 13＝13.
＝0.1536＋0.3456＋0.3456＋0.1296＝0.9744.
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几 何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广 泛，故在高考中，对该知识点的综合性考查相对较灵活，考查 相对频繁．
(1)对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相 关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相 互独立事件的概率公式等．
①甲打完 3 局取胜，相当于进行 3 次独立重复试验，且每 局比赛甲均取胜，
∴甲打完 3 局取胜的概率为 P(A)＝C33123＝18.
②甲打完 4 局才能取胜，相当于进行 4 次独立重复试验， 且甲第 4 局比赛取胜，前 3 局为 2 胜 1 负，
∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 P(B)＝C23×122×12×12＝136. ③甲打完 5 局才能取胜，相当于进行 5 次独立重复试验， 且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负， ∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 P(C)＝C24×122×122×12＝136.
四、离散型随机变量的均值、方差 1．离散型随机变量的均值． EX＝a1p1＋a2p2＋…＋anpn； 2．离散型随机变量的方差． DX＝E(X－EX)2 3．均值与方差都是随机变量的重要的数学特征，方差是建 立在均值概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于平均 值的集中与离散程度．
4．一定要掌握求离散型随机变量 X 的均值与方差的步骤：
(1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值．
(2)求 X 取每个值时的概率．
(3)写出分布列．
(4)由定义求出 EX、DX.
5．当 X～B(n，P)时，EX＝nP.当 X 服从参数为 N、M、n
的超几何分布时，EX＝n
M N.
五、正态分布
1．正态分布的密度函数为 f(x)＝
σ
12πe－
x－μ2 2σ2 .
知能整合提升
一、离散型随机变量及其分布列 1．随机现象中试验的每一个可能的结果都对应于一个 数，这种对应称为随机变量，随机变量的取值能够一一列出的 叫离散型随机变量．
2．离散型随机变量 X 的分布列
X＝ai
a1
a2
…
P(X＝ai)
p1
p2
…
其中 pi＞0，p1＋p2＋…＝1.
3．求分布列的关键是求随机变量取每个值的相应概率． 4．离散型随机变量的分布列的考查常与期望、方差融合 在一起．
(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； (2)按比赛规则甲获胜的概率是多少．
解析： (1)甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的 概率为12，乙获胜的概率为12.
记事件 A＝“甲打完 3 局才能取胜”，记事件 B＝“甲打 完 4 局才能取胜”，记事件 C＝“甲打完 5 局才能取胜”．
离散型随机变量的期望与方差是概率统计知识的延伸，其 在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高 考中是一个热点问题．求离散型随机变量X的期望与方差的步 骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)； (3)写出X的分布列； (4)由分布列和期望的定义求出EX； (5)由方差的定义，求DX，若X～B(n，p)，则可直接利用 公式求：EX＝np，DX＝np(1－p)．
P(ξ＝2)＝C14·CC12＋29 C32＝4×9×2＋8 3＝3116. 2
P(ξ＝3)＝CC13·C92 12＝39× ×28＝16. 2
P(ξ＝4)＝CC2229＝316.
故 ξ 的概率分布列为
ξ0 1
2
3
4
P
1 6
1 3
11 36
1 6
1 36
离散型随机变量的均值与方差
期望和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立 在期望基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的期望 的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中应用 广泛．
(1)甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； (2)甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概 率．
解析： (1)设“甲班参赛同学中有 1 名同学成绩及格”为 事件 A，“乙班参赛同学中有 1 名同学成绩及格”为事件 B， 则 A、B 相互独立，且 P(A)＝C12×0.6×0.4＝0.48，
解析：
(1)P＝1－
CC04C21026＝1－
13＝
2 3.
即该顾客中奖的概率为
2 3.
(2)X 所有可能的取值为(单位：元)：0,10,20,50,60， 且 P(X＝0)＝ CC04C12026＝ 13；P(X＝10)＝ CC13C12016＝ 25； P(X＝20)＝ CC21230＝ 115；P(X＝50)＝ CC11C12016＝ 125； P(X＝60)＝ CC11C12013＝ 115. 故 X 的分布列为
1．5个乒乓球，其中3个新的2个旧的，每次取1个，不放 回地取两次．求：
(1)第一次取到新球的概率； (2)第二次取到新球的概率； (3)在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率．
解析： 设第一次取到新球记为事件 A，第二次取到新球 记为事件 B.
(1)P(A)＝35× ×44＝35； (2)P(B)＝3×25＋ ×24×3＝1220＝35； (3)P(AB)＝35× ×24＝130，
二、条件概率与独立事件
1．A 发生时 B 发生的条件概率为
P(B|A)＝
PAB PA
2．对于两个事件 A、B，如果 P(AB)＝P(A)·P(B)，则称 A
与 B 相互独立，若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ，A 与 B，A 与 B
也相互独立．
3．求条件概率常用方法
(1)定义：即 P(B|A)＝
3 ∴P(B|A)＝PPAAB＝130＝12.
5
利用互斥(对立)事件、相互独立事件求概率
在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至 多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发 生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件 A、B，它们 的概率分别为 P(A)、P(B)，那么：
它们之间的概率关系如下表所示
A、B 互斥
A、B 相互独立
P(A∪B)
热点考点例析
条件概率的求法
主要方法：
(1)利用条件概率：P(B|A)＝
PAB PA .
(2)针对古典概型，缩减基本事件总数
P(B|A)＝ nnAAB.
坛子里放着7个相同大小、相同 形状的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回 地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率； (3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的 概率．
2．二项分布 在n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为 p，“失败”的概率均为1－p.用X表示这n次试验中成功的次数 则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…n)． X服从二项分布． 3．超几何分布与二项分布是高考重点内容之一，要分清 两种分布模型，特别是超几何分布中要弄清N、M、n、k的取 值．
解析： 设“第 1 次拿出绿皮鸭蛋”为事件 A，“第 2 次
拿出绿皮鸭蛋”为事件 B，则“第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭
蛋”为事件 AB.
(1)从 7 个鸭蛋中不放因地依次拿出 2 个的事件数为
n(Ω)＝A27＝42. 根据分步乘法计数原理，n(A)＝A14×A16＝24.
于是 P(A)＝ nnΩA＝ 2442＝ 47.
PAB PA .
(源自文库)借助古典概型公式 P(B|A)＝
nAB nA .
4．概率问题常常与排列组合相结合，求事件概率的关键是
将事件分解成若干个子事件，然后利用概率加法(互斥事件求
和)、乘法(独立事件同时发生)、除法(条件概率)来求解．
三、超几何分布及二项分布 1．超几何分布 一般地，设有 N 件产品，其中有 M(M≤N)件次品，从中任 取 n(n≤N)件产品，用 X 表示取出 n 件产品中次品数的件数． 那么 P(X＝k)＝ CkMCCnNnN－－kM(k∈N)，X 服从超几何分布．
P(B)＝C12×0.6×0.4＝0.48， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.48×0.48＝0.2304. 即甲、乙两班参赛同学中各有 1 人成绩及格的概率为 0.2304.
(2)方法一：甲、乙两班 4 名参赛同学成绩都不及格的概率 为 0.44＝0.0256.
故甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格的概率 为 1－0.0256＝0.9744.
方法二：设“甲、乙两班 4 名参赛同学中有 i 名同学成绩 及格”为事件 Ci(i＝1,2,3,4)．
“甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格”为事 件 D，则 C1，C2，C3，C4 互斥，且 D＝C1＋C2＋C3＋C4.
∴P(D)＝P(C1＋C2＋C3＋C4)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＋P(C4) ＝C14×0.6×0.43＋C24×0.62×0.42＋C34×0.63×0.4＋C44×0.64
(2)事件 D＝“按比赛规则甲获胜”， 则 D＝A＋B＋C， 又∵事件 A、B、C 彼此互斥， 故 P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝18＋136＋136＝12， ∴按比赛规则甲获胜的概率为12.
2．甲、乙两班各派2名同学参加年级数学竞赛，参赛同学 成绩及格的概率都是0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影 响．求：
(2)对于离散型随机变量分布列的考查常与期望、方差融合 在一起，对知识进行横向联系，纵向加深考查．
在一次购物抽奖活动中，假设某 10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等 奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾 客从这10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．
2．正态分布密度函数满足以下性质：
(1)函数图像关于直线 x＝μ 对称．
(2)σ(σ＞0)的大小决定函数图像的“胖”、“瘦”．
(3)P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683； P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954； P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997. 3．根据三个区间的概率值以及图像的对称性求某区间上的 概率是高考重点，要利用数形结合思想与转化与化归思想解决．
P(A)＋P(B)
1－P( A )P( B )
P(AB) P( A B )
0 1－[P(A)＋P(B)]
P(A)P(B) P( A )P( B )
P(A B ∪ A B) P(A)＋P(B) P(A)P( B )＋P( A )P(B)
P(A B ∪ A B 1
∪A B)
1－P(A)P(B)
实力相等的甲、乙两队参加乒乓 球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停 止比赛)．
某大学毕业生参加某单位的应聘考试，考核依次分 为笔方式、面试、实际操作三轮进行，规定只有通过前一轮考 核才能进入下一轮考核，否则被淘汰．三轮考核都通过才能被 正式录用．设该大学毕业生通过一、二、三轮考核的概率分别 为23、34、45，且各轮考核通过与否相互独立．
(1)求该大学毕业进入第三轮考核的概率； (2)设该大学毕业生在应聘考核中考核轮数为 X，求 X 的分 布列及期望和方差．
(2)因为 n(AB)＝A24＝12，
所以 P(AB)＝
nAB＝ nΩ
1422＝
2 7.
(3)方法一：由(1)(2)可得，在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，
第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P(B|A)＝ PPAAB＝
2
74＝
1 2.
7
方法二：因为 n(AB)＝12，n(A)＝24，
所以 P(B|A)＝ nnAAB＝ 1224＝ 12.
X 0 10 20
50
60
P
1 3
2 5
1 15
2 15
1 15
3．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个 球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一 个红球则得2分，用ξ表示得分数，求ξ的概率分布列．
解析： 由题意知，ξ 的可能取值是 0,1,2,3,4 则 P(ξ＝0)＝CC2429＝49× ×38＝16. P(ξ＝1)＝CC14·C92 13＝13.
＝0.1536＋0.3456＋0.3456＋0.1296＝0.9744.
离散型随机变量的分布列
离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几 何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广 泛，故在高考中，对该知识点的综合性考查相对较灵活，考查 相对频繁．
(1)对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相 关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相 互独立事件的概率公式等．
①甲打完 3 局取胜，相当于进行 3 次独立重复试验，且每 局比赛甲均取胜，
∴甲打完 3 局取胜的概率为 P(A)＝C33123＝18.
②甲打完 4 局才能取胜，相当于进行 4 次独立重复试验， 且甲第 4 局比赛取胜，前 3 局为 2 胜 1 负，
∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 P(B)＝C23×122×12×12＝136. ③甲打完 5 局才能取胜，相当于进行 5 次独立重复试验， 且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负， ∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 P(C)＝C24×122×122×12＝136.
四、离散型随机变量的均值、方差 1．离散型随机变量的均值． EX＝a1p1＋a2p2＋…＋anpn； 2．离散型随机变量的方差． DX＝E(X－EX)2 3．均值与方差都是随机变量的重要的数学特征，方差是建 立在均值概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于平均 值的集中与离散程度．
4．一定要掌握求离散型随机变量 X 的均值与方差的步骤：
(1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值．
(2)求 X 取每个值时的概率．
(3)写出分布列．
(4)由定义求出 EX、DX.
5．当 X～B(n，P)时，EX＝nP.当 X 服从参数为 N、M、n
的超几何分布时，EX＝n
M N.
五、正态分布
1．正态分布的密度函数为 f(x)＝
σ
12πe－
x－μ2 2σ2 .
知能整合提升
一、离散型随机变量及其分布列 1．随机现象中试验的每一个可能的结果都对应于一个 数，这种对应称为随机变量，随机变量的取值能够一一列出的 叫离散型随机变量．
2．离散型随机变量 X 的分布列
X＝ai
a1
a2
…
P(X＝ai)
p1
p2
…
其中 pi＞0，p1＋p2＋…＝1.
3．求分布列的关键是求随机变量取每个值的相应概率． 4．离散型随机变量的分布列的考查常与期望、方差融合 在一起．
(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； (2)按比赛规则甲获胜的概率是多少．
解析： (1)甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的 概率为12，乙获胜的概率为12.
记事件 A＝“甲打完 3 局才能取胜”，记事件 B＝“甲打 完 4 局才能取胜”，记事件 C＝“甲打完 5 局才能取胜”．
离散型随机变量的期望与方差是概率统计知识的延伸，其 在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高 考中是一个热点问题．求离散型随机变量X的期望与方差的步 骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)； (3)写出X的分布列； (4)由分布列和期望的定义求出EX； (5)由方差的定义，求DX，若X～B(n，p)，则可直接利用 公式求：EX＝np，DX＝np(1－p)．
P(ξ＝2)＝C14·CC12＋29 C32＝4×9×2＋8 3＝3116. 2
P(ξ＝3)＝CC13·C92 12＝39× ×28＝16. 2
P(ξ＝4)＝CC2229＝316.
故 ξ 的概率分布列为
ξ0 1
2
3
4
P
1 6
1 3
11 36
1 6
1 36
离散型随机变量的均值与方差
期望和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立 在期望基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的期望 的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中应用 广泛．
(1)甲、乙两班参赛同学中各有1名同学成绩及格的概率； (2)甲、乙两班参赛同学中至少有1名同学成绩及格的概 率．
解析： (1)设“甲班参赛同学中有 1 名同学成绩及格”为 事件 A，“乙班参赛同学中有 1 名同学成绩及格”为事件 B， 则 A、B 相互独立，且 P(A)＝C12×0.6×0.4＝0.48，
解析：
(1)P＝1－
CC04C21026＝1－
13＝
2 3.
即该顾客中奖的概率为
2 3.
(2)X 所有可能的取值为(单位：元)：0,10,20,50,60， 且 P(X＝0)＝ CC04C12026＝ 13；P(X＝10)＝ CC13C12016＝ 25； P(X＝20)＝ CC21230＝ 115；P(X＝50)＝ CC11C12016＝ 125； P(X＝60)＝ CC11C12013＝ 115. 故 X 的分布列为
1．5个乒乓球，其中3个新的2个旧的，每次取1个，不放 回地取两次．求：
(1)第一次取到新球的概率； (2)第二次取到新球的概率； (3)在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率．
解析： 设第一次取到新球记为事件 A，第二次取到新球 记为事件 B.
(1)P(A)＝35× ×44＝35； (2)P(B)＝3×25＋ ×24×3＝1220＝35； (3)P(AB)＝35× ×24＝130，
二、条件概率与独立事件
1．A 发生时 B 发生的条件概率为
P(B|A)＝
PAB PA
2．对于两个事件 A、B，如果 P(AB)＝P(A)·P(B)，则称 A
与 B 相互独立，若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ，A 与 B，A 与 B
也相互独立．
3．求条件概率常用方法
(1)定义：即 P(B|A)＝
3 ∴P(B|A)＝PPAAB＝130＝12.
5
利用互斥(对立)事件、相互独立事件求概率
在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至 多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发 生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件 A、B，它们 的概率分别为 P(A)、P(B)，那么：