教学模式 数学教育的三个阶段四个层次及三个转变

数学教育的三个阶段及四个层次三个转变
阳凌云1，吕国一2
（1 株洲师范高等专科学校数学与计算机科学系，湖南株洲412007
2 株洲市第二中学数学组，湖南株洲412007）
摘要：数学教育既具有明显的阶段性又具有连续性，是一个层次分明，循序渐进的过程。

为使每个受教育者都能获得他们所需要的数学知识与数学能力，教育者必须对各个阶段和不同层次的教育对象做一个全面的分析和研究，以便做好大、中、小学的数学素质教育的衔接工作。

关键词：阶段；层次；转变
任何事物的发展都具有规律性与连续性。

数学教育的连续性显得尤为突出。

一方面，人有一种与生俱来的天赋和智慧，但这种智慧的消亡或发展与后天的教育有很大的关系；另一方面，知识与能力相互依存、相互促进，就象物质与意识的关系一样。

物质决定意识，意识又反作用于物质，知识的获得促进了能力的发展，能力的增强又可以更多地获取知识。

因此，当我们把小学、中学、大学数学及其教育作为一个整体来考虑时，我们从数学知识性领域与发展性领域来分析数学教育阶段性与层次性，是十分必要的。

一、数学教育的三个阶段
众所周知，外因是变化的条件，内因是变化的根据，外因要通过内因而起作用。

但作为数学这门特殊的教育来说，学生们不同的学习阶段，“教与学”在各阶段内外因作用权重略有不同。

就象人的语言能力一样，人人都有一种与生俱来的学习数学的能力，但是如果没有后天的教育和培养，这种能力会逐步的退化和消亡。

所以小学的数学教育就象在一张白纸上写字和绘画，这幅字画的好坏与教师的教育和指导有很大的关系。

数学教师在数学课堂教学与数学课外活动指导中，教师的外因强化训练起着决定性的作用。

通过小学6年的基本训练，学生学习数学的内因开始
调动起来，因此进入初中阶段，学生的学习数学情感被激发以后，相对来讲外因的作用虽比小学阶段小一些，但少年时
的学生自主意识仍然十分弱，也就是说在这个阶段的教育中，外因所起的作用仍然非常大。

从义务教育阶段的知识性领域来分析，在这个阶段为了全面反映数学的基本领域，使学生切实体会数学与人类社会和自然界的密切联系，通过数学教育主要使学生认识和掌握数与式、测量、空间与图形、数据处理等。

在这个阶段，学生获取数学知识主要依靠外界的诱导与灌输。

主要是在教师的指导下培养学生对现实世界的认识与认知，对数、式的敏感性和基本图形及测量与数据处理的认知能力，在这个阶段教育者对教育对象免不了有一定的重复练习和强化训练。

所以我们把义务教育阶段（小学与初中）的数学教育叫做外因强化阶段的教育。

由于义务教育阶段的数学教育已经使学生对现实世界有一个初步的认知，并具有较好的“数（式）感”了。

同时，进入高中以后，随着年龄增长，阅历增加，学生们进入了风华正茂的青年时期，其自主能力逐步增强了，学习数学的潜能已被激发，内因作用已被调动出来。

因此在高中阶段，学生的内因作用将越来越大，相对来讲外因的作用将比义务教育阶段要小一些。

此时内、外作用几乎并驾齐驱。

另外，从高中阶段的知识性领域来分析，在这个阶段通过数学教育，主要是使学生对数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和数学方法的掌握与运用。

尤其是新课程改革的基本目标是实现不同的人学习不同的数学，在不同的水平获取过程中，办学模式各有侧重，并对学生提供选择课程的机会。

于是学生获取数学知识的自主能力，创新意识，独立活动能力将会增强。

同时，由于这个阶段是在教师的启发引导下以培养基础和能力及数学素养的关键阶段，是一个内、外因都非常重要的阶段。

所以我们把高中阶段的数学教育叫做内、外因并重阶段的教育。

由于中学阶段的数学教育已经使学生掌握了一定的知识与技能，因此当学生进入高等学校后，这种知识与能力起到关键性的作用。

此时内因的作用将起主导地位，外因的作用将越来越小。

从大学的知识性领域来分析，无论是纯文科专业，还是需要一定量的数学知识作为工具的经济类专业及大部分工科专业，
或是需要大量的数学知识作为工具的理论物理等专业及数学专业，都需要高等数学（即高等学校所开设的所有数学课程）知识，从事数学建模与应用开发，特别是创造能力的培养。

由于在知识量方面大学数学比高中数学要多得多，所以这个阶段，教师对学生的学习方法的指导显得尤为突出，旨在要求学生在学习过程中，学会自我总结归纳，提高自学能力，并深层次地培养自己的数学素养和数学能力。

因为，高等数学的各课程的教材不象中、小学数学那样具有较高的统一性，这给高校在选择教材时留有很大空间和余地，而且同一课程的不同教材对某一内容的详略程度也各不尽相同，特别是数学学科与相关学科的渗透性特别强。

这势必要求学生在学习过程中要自觉阅读其它教材和相关资料，互相借鉴，取长补短。

因此，大学阶段的数学学习实际上是一种比较性学习和探究性学习。

所以我们把大学阶段的数学教育叫做内因主导阶段教育。

数学教育的三个阶段：外因强化阶段（义务教育阶段）内、外因并重阶段（高中阶段）内因主导阶段（大学阶段）。

诚然，以上划分只是根据各个教学阶段的外因（教）在内因（学）的基础上所起作用的比重大小来决定的，并不是否认内因与外因的辩证关系。

之所以这样划分是由于数学教育的特殊性与连续性而异于其它学科。

目的是为了使教育工作者及其教育对象，认识各个阶段教与学各自的作用和相应应对的策略、方法。

二、数学教育的四个层次及三个转变
从知识性领域来分析，数学概括为以下四个层次。

另外，从发展性领域来分析，义务教育阶段数学教育主要应注重学生在情感、认识、推理和运用数学解决实际问题等诸方面的发展。

其中从小学到初中的过渡主要是一个从具体数字到代数符号的变化，是一个从感性认识到理性认识的发展。

所以说从小学到初中的数学教育主要是认知方式的转变。

而从高中阶段的发展性领域来看，学生在学习数学的情感和认识方面相对于义务教育阶段的学生产生了一个质的飞跃。

学生不仅要明确数学的地位和作用：数学是一门应用广泛的重要基础学科；数学是提高思维能力的有效手段和理性思维的基本形式；数学是一种深刻而有力的文化素养。

同时也要明确高中数学教学不但是为了学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的数学知识与基本技能，而且要进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象力、解决实践问题的能力以及数学创新意识，以形成良好的个性品质和辩证唯物主义观点。

这个阶段的学生在学习过程中总是要把握好代数关系与几何图形的关系，在思维方式上更为强调“数”与“形”的高度统一性。

所以说从初中到高中的数学教育主要是思维方式的转变。

从大学阶段的发展性领域来看，由于大学数学教育的专业分化性和广泛性以及大学课程的“实用性”远远大于中学，这种知识面的放宽、抽象程度的加大，使得学生在学习过程中带有明显的倾向性和选择性，同时其培养目标主要是发展学生的抽象思维能力、归纳演绎能力、建模能力、综合评价能力、创新能力及整合逻辑思维能力。

这个阶段教育不仅要搞清楚各专业所需要的数学知
识和数学能力，同时要预测这些知识和能力对他们未来成就的影响，为将来从事科学与技术的应用开发和研究奠定基础。

所以说在大教育观下从高中到大学的数学教育，学生的学习方式的转变更为重要。

学习方式的转变大学
思维方式的转变高中
认知方式的转变初中
小学
（四个层次三个转变）
各阶段间的每次转变的过程中每个人的适应速度会不一样，加上智力因素与非智力因素的影响，这就要求数学教育工作者在教学全过程中要因人施教、因材施教，充分挖掘每个学生的数学潜能，达到最佳教育效果。

大、中数学教学模式分析
数学模式是教学理论与教学实践相结合的产物，数学教育家张奠宙先生在《数学教育学》（江西教育出版社，1991年）一书中提出：‚教学模式就是在一定教学思想指导下所建立起来的完成所提出的教学任务的比较稳固的教学程序及其实施方法的策略体系‛。

曹一鸣先生也提出：‚教学模式是指在一定教育思想指导下，在大量的教学实验基础上，为完成特定的教学目标和内容，形成稳定、简明的教学结构理论框架及其具体可操作性的实践活动方式‛。

夸美纽斯于1632年发表的《大教学论》①指出：生物之所以能进化，是因为生物内外环境的随机涨落导致基因的突变。

教学过程也应当效法自然，通过教师、学生、课程、环境的多种相互作用——师生之间、生生之间、学生和教材之间、学生和环境之间的交流互动（交流主要指师生的信息交流、交往，互动主要指教师与学生之间一方的活动引起另一方的相应活动），导致教师与学生在知识、能力、人格上的变化，从而达到既预定又变化的教学目标。

佐藤正夫在《教学论原理》一书中，将夸美纽斯的论述，概括为‚活动原理‛。

②指出：在教学过程中，活动是基础性的，因为认识起源于活动。

交流不仅表现在师生之间的信息交流，还有师生之间的活动交往，更多地还表现在学生与学生之间的信息交流、活动交往，学生与教材、学生与环境的多种多样的‚交流‛与‚互动‛。

通过上节数学教育的三个阶段的分析：义务教育阶段主要是以感性知识为特征的数学知识过渡到初步抽象的数学知识；高中阶段主要是以四大能力为基础的数学知识；大学阶段主要注重知识体系结构和应用的数学知识。

因此，我们认为从小学、中学到大学的课堂教学中，其教学模式也在发生变化。

1、义务教育阶段
这一阶段的教学模式（M1表示）：基本上是引导启发，师生问答（这里的启发包含课堂情境中的师对生、生对师的信息交流而产生的双向作用）。

其基本教学过程是：
①[捷] 夸美纽斯. 大教学论[M]. 傅任敢译. 北京：人民教育出版社，1985.
②[日] 佐藤正夫. 教学论原理[M]. 钟启泉译.北京：人民教育出版社，1999.
引导（背景材料）→提问→启发→思考→答疑→练习→评价。

中国古代的教育家孔子、古代希腊教育家柏拉图等人留下来的教育经典大多以问答形式表述。

在这种教学模式中，主要是师生直接进行一对一的交流互动。

但这一阶段的教学也要注意尽量让学生多种器官的共同参与。

巴甫洛夫曾经说过：‚在学习过程中如果有多种器官参加，就可提高大脑皮层的兴奋度。

‛特别是21世纪信息时代，多媒体课件广泛引入课堂，融图像、图形、动画、声音于一体，既能准确地传递教学信息，又能实现教学信息即时反馈调节。

在教学过程中主要采用‚情景教学法‛、‚竞争教学法‛，即通过教学情境的创设和学生的竞争心理来调动学生学习数学的积极性。

同时采用‚活动教学法‛，即以学生动手操作为核心，包括游戏教学法、实验教学法、角色扮演教学法来组织教学活动，使学生的学习过程成为主动的‚自组织‛过程。

这一阶段主要是‚外因强化‛教育阶段。

因此，这一阶段的教学要特别要求教师注重课堂教学的‚艺术性
．．．‛。

其基本教学理念侧重‚导而弗牵，开而弗达，强而弗抑。

‛
2、高中教育阶段
这一阶段的教学模式（M2表示）：基本上是教师为主，互教互学。

其基本教学过程是：
教授→理解→讨论（师生、生生）→练习→运用→反思→评价。

中国古代《学记》中阐述：‚学然后知不足，教然后知困。

知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。

故曰：教学相长也。

《兑命》曰：‘学学半’，其此之谓乎！‛①对于《学记》中论述的‚教学相长‛‚学学半‛的道理，有两种理解。

第一种理解，将文中之‚教‛理解为教师的教，文中之‚学‛理解为学生的学，于是‚教学相长‛理解为：教师的教与学生的学是相互促进的。

‚学学半‛相应地理解为教师一半在教，同时一半在学；学生也是一半靠教师来教，一半靠自己学。

第二种理解，将文中的‚教‛和‚学‛理解为同一个人①《札记·学记第十八》。

——教师或学生，于是《学记》中的这段话理解为一个人在学习实践中，才能知道自己的不足之处；只有通过教育实践，才能体验到困难所在。

知道自己的不足之处，才会‚反思自省‛，促进自己努力学习；体验到困难所在，才会‚自强不息‛，促进自己认真钻研。

所以说：教与学是自身的互相促进过程，‚教和学各占一半‛就是这个意思。

第二种理解，体现了教师和学生地位平等。

教与学的过程中，教师一半在学，一半在教（教学生如何才能学好）；学生一半在学，一半在教（教教师如何才能教好）。

教师和学生都是既在学也在教。

这种‚教学相长‛，教师和学生相互作用是十分强烈的。

这种理解更能体现数学素质教育的特征。

在这种教学模式中，教师与学生可进行‚交换‛位置的‚互动‛。

在教学过程中主要采用‚问题教学法‛，即以问题（学生自身理解的问题与教师启导下的问题）为起点，以思维训练为核心，以发展能力提高素质为终极目标来组织教学活动。

同时采用‚过程教学法‛，即重视数学知识的形成过程和学生认知过程的训练，注重参照知识发展的历史，力求用发生的方法来教，即让学生感觉所教的东西都是上课过程中，师生共同探索产生的。

这一阶段是‚内外因并重‛教育阶段。

因此，这一阶段的教学要特别要求教师注重课堂教学的‚机智性
．．．‛。

其基本教学理念侧重‚不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也。

‛，‚教人者教己‛。

3.大学教育阶段
这一阶段的教学模式（M3表示）：基本上是学生为主，自学辅导。

其基本教学过程是：
自学→辅导→质疑→交流（师生、生生）→运用→反馈→自评。

杜威强调‚从做中学‛，活动一词的英语是activity，其前缀act 就有做（doing）的意思。

蔡元培提倡学生‚自动、自助、自学。

‛重视学生自已学习和自己体验。

值得指出的是课外、课内中的自学模式不是孤立地自学，而是教师有针对性的指导。

同时，师生之间平等的‚交流互动‛是必不可少的。

在这一教学过程中经常采用‚综合教学法‛，即根据教学内容和学生实际情况对不同类型的教学法进
行重新选择和组合。

这一阶段主要是‚内因主导‛教育阶段。

因此，这一阶段的教学要特别要求教师注重课堂教学的‚理智性
．．．‛。

其基本教学理念侧重‚博学之、审问之、慎思之、明辨之、笃行之‛①。

4、研究生博士生教育阶段
这一阶段的教学模式（M4表示）：基本上是问题中心，论文答辩。

其基本教学过程是：问题→探索→报告→答辩。

这种教育教学的关键是问题的选择和确定。

一般来说：硕士生选择的问题，大多数是导师可以解决的，只是让硕士生们在导师指导下去解决该问题；博士生选择的问题,必须是人们尚未解决的，有较大意义的问题，这个问题不一定是导师能解决的，需要师生合作，共同研究，方能有所突破。

在这一教育教学过程中，通过师生交流，自身的探索，导致认识上的飞跃，产生直觉、灵感、顿悟，从而有所创新，达到‚山重水复疑无路，柳暗花明又一村‛的最高境地。

其基本教学理念侧重‚知之真切笃实处，即是行；行之明觉精察处，即是知‛②。

应该强调指出的是：从教学论和认知论角度看，上述几种教学模式中的教学过程的顺序并非确定的，而是可以交换的，应该根据不同的教学内容、不同的教学目标、教学对象的不同层次及其不同的认识水平来确定教学的走向。

也就是通常所说的‚教学有法，而无定法‛。

从M1、M2、M3到M4，学生的内因作用愈来愈大；外因作用愈来愈小，学习的主动性是愈来愈强，体现了‚教是为了达到不需要教‛‚教是最好的学‛‚教是为了发展‛这一规律。

同时，不同阶段的教育教学模式也是可以相互孕育和渗透的。

无论是上述何种教育阶段的教学模式及其教学过程，都继承和发展了我国儒家倡导的‚学、问、思、辨、行‛及‚行可兼知，而知不可兼行……君子之学，未尝离行以为知。

‛①这一教学认识。

同时，从信息论角度
①《中庸》。

②《王文成公全书》卷二《答顾东桥书》。

①《尚书引义》卷三。

来看，对教学内容均遵循了‚信息收集 → 信息储存 → 信息加工→ 信息运用”这一现代教学观。

上述教学模式都基本符合下面图表：
参考文献:
[1] [捷] 夸美纽斯.大教学论[M].傅任敢译.北京：人民教育出版社，1985.
[2] [日] 佐藤正夫.教学原理[M].钟启泉译.北京：人民教育出版社，1999.
作者简介：阳凌云（1947—），男，湖南湘潭人，株洲师专数计系副教授，主要从事大学数学教学与数学教育研究。

吕国一（1963—），男，湖南茶陵人，株洲市二中高级教师，主要从事中学数学教学与研究。

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