由一道例题透析三重积分的解法

∭ 三重积分 f(x,y,z)dV 的计算关键在于“固 Ω
定住”被积函数f(x,y,z)其 中 的 某 一 些 变 量,找 到 被固定变 量 的 取 值 范 围 (定 值)和 其 余 变 量 的 取 值
范围(一般依赖于 被 固 定 变 量),本 质 在 于 将 其 转 换
成二重积分和定积 分 的 计 算．我 们 从 这 个 观 点 出 发
r２sinφdr．
下面我们 以 一 道 三 重 积 分 的 计 算 题 为 例 加 以
说明．
例 设 Ω 由z＝ x２＋y２,z＝１,z＝２ 围 成,计
∭ 算三重积分 x２dV． Ω 分析一 用截 面 法 求 解 三 重 积 分,首 先 找 到 易
于确定明确上下限的一个变量,本题易知 １≤z≤２; 接着,在 区 间 [１,２]中 固 定 住 变 量 z,即 用 平 行 于 xOy 的平面截区域 Ω,得 截 面 Dz,如 图 １;再 把z 看 成常数,被积函数在截 面 Dz 上 求 二 重 积 分;最 后 将 上面求得的二重积分作为被积函数关于z 在区间
Ω
a
Dz
２．投影法:“固 定 住”两 个 变 量．如 我 们 将 x,y
固定住且x,y 在xOy 面的投影区域为D ,此时以 D
的边界线为母线的柱面将区域 Ω 的表面分成上下
两个面,由此得到z 的依赖于x,y 取值范围 z１(x,y)≤z≤z２(x,y),
从 而 将 三 重 积 分 转 换 为 如 下 “先 一 后 二 ”的 积 分 :
形式:
２来自百度文库
∭ ∫ ∬ x２dV ＝ dz x２dxdy．
Ω
１
Dz
以上二重积分 中 积 分 区 域 为 圆 形 区 域,由 对 称
性
被
积
函
数
可
写
成
１ ２
(x２
＋y２
),因
此
选
择
极
坐
标
计
算 ,相 应 的 三 重 积 分 中 称 为 柱 面 坐 标 得
２
∭ ∫ ∬ x２dV ＝ dz x２dxdy
Ω
１
Dz
SolutionsoftheTripleIntegralfromanExample
CHEN Yong
(SchoolofScience,ZhejiangSciＧTech University,Hangzhou３１００１８)
Abstract Thecommon methodssuchasmethodofsections,projection method,cylindricalcoordinates, andsphericalcoordinatesforcalculatingtripleintegralsareanalyzedthroughanexample． Keywords tripleintegral,methodofsections,projection method,sphericalcoordinates
是x２＋y２＋z２ 的形式,往往利用 球 面 坐 标 计 算 三 重 积 分 简 单 ．此 时 的 关 键 在 于 给 定 球 坐 标 变 量 的 范 围 :
θ１≤θ≤θ２,φ１≤φ≤φ２,r１(θ,φ)≤r≤r２(θ,φ),
∭f(x,y,z)dV ＝ Ω
∫ ∫ ∫ θ２ dθ θ１
φ２
dφ
φ１
rr２ １((θθ,,φφ))f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)
第２２卷 第２期 ２０１９ 年 ３ 月
高 等 数 学 研 究 STUDIESIN COLLEGE MATHEMATICS
doi:１０．３９６９/j．issn．１００８Ｇ１３９９．２０１９．０２．０１１
Vol．２２,No．２ Mar．,２０１９
由一道例题透析三重积分的解法
陈涌
(浙江理工大学 理学院,浙江 杭州 ３１００１８) 摘要 本文通过一道例题的多种解法透析三重积分计算中常用的截面法、投影 法、利 用 柱 坐 标、球 坐 标 和 高 斯 公 式 求解三重积分． 关 键 词 三 重 积 分 ;截 面 法 ;投 影 法 ;球 坐 标 ;高 斯 公 式 中图分类号 ０１７２．２ 文献识别码 A 文章编号１００８ １３９９(２０１９)０２ ００３０ ０３
数学与应用数学研究,Email:youngchen３２９＠１２６．com
注 (１)在 以 上 二 重 积 分 的 计 算 过 程,如 果 积 分区域为圆域或者被积函数是x２＋y２ 的形式,我 们 对该部分可以尝试 选 取 极 坐 标,此 时 我 们 也 称 利 用
柱面坐标计算三重积分． (２)当积分区域 Ω 的表面为 球 面 或 者 被 积 函 数
第２２卷 第２期
陈 涌 :由 一 道 例 题 透 析 三 重 积 分 的 解 法
３１
[１,２]上 求 定 积 分 ．
图１ 截面 Dz
解法一 截面法．“固 定”积 分 变 量z,且 １≤z ≤２;截面 Dz:x２＋y２≤z２ 如 图 １ 所 示．因 此 空 间 区 域 Ω 可以表示为
{(x,y,z)|１≤z≤２,x２＋y２≤z２}． 由截面 法,可 将 三 重 积 分 写 成 如 下 “先 二 后 一 ”的
总结计算三重积分的计算方法．
１．截面法:“固定住”一个变量．如我们将z 固定
住 且a≤z≤b,此时用平面z＝z 截区域 Ω 得到x,y 的取值范围 Dz,从 而 将 三 重 积 分 转 换 为 如 下 “先 二 后 一 ”的 积 分 :
b
∭ ∫∬ f(x,y,z)dV＝ dz f(x,y,z)dxdy．
∭ ∬ ∫ f(x,y,z)dV ＝ dxdy z２(x,y)f(x,y,z)dz．
Ω
D
z１(x,y)
收稿日期:２０１８ ０５ １３ 修改日期:２０１８ １２ ０７ 基 金 项 目 :浙 江 省 十 三 五 优 势 专 业 项 目 作者简介:陈涌(１９８６－),男,浙 江 杭 州 人,博 士,副 教 授,从 事 高 等 教 育
∫ ∬ ＝
１ ２
２
dz (x２ ＋y２)dxdy
１
Dz
∫ ∫ ∫ ＝
１ ２
２
２π
z
dz dθ r３dr
１
０
０
∫ ＝
π ４
２
z４dz
１
＝ ３２１０π． 分析二 用 球 坐 标 求 解 三 重 积 分 的 关 键 在 于 确定θ,φ 和r 的 取 值 范 围,如 图 ２ 所 示 积 分 区 域 Ω 虽然不是球 面,而 是 由 锥 面 和 平 面 围 成,很 容 易 写