第七章 5 矢量小波、双正交小波、小波包

{2
j/2
un (2 j t − k ) n ∈ Z + , k , j ∈ Z
}
对每个 n ∈ Z + ,由un (t ) 生成的闭子空间族为：
U n = {2 j / 2 un (2 j t − k ) | k ∈ Z }, j ∈ Z , n ∈ Z + j
则对任意给定的分辨率级别j有：
U 0 = Vj , U 1 = Wj , j j
分解算法：
重构算法：
alj +1,n = ∑ [hl − 2 k akj ,2 n + gl − 2 k akj ,2 n +1 ]
k
正交小波包
为了克服小波分解在高频段的频率分辨率较差，而在低 频段的时间分辨率较差的缺点，人们在小波分解的基础上提 出了小波包分解。小波包分解提高了信号的时频分辨率。比 小波分解更高级，对信号的分解重构更能体现多分辨率的特 征。是一种更精细的信号分析方法。 在正交小波分解过程中，一般是将低频系数分解为两部 分。分解后得到一个近似系数向量和一个细节系数向量。在 两个连续的近似系数中丢失的信息可以在细节系数中得到。 下一步是将近似系数向量进一步分解为两个部分，而细节系 数向量不再分解。 在小波包分解中，每一个细节系数向量也使用近似系数 向量分解同样的分法分为两部分。因此它提供了更丰富的分 析方法。
正交小波包
例： 使用db2小波对图像lena进行两层小波包分解和重构
小波包分解树的结构如下图所示：
正交小波包
小波包分解和重构
这时，函数族
j∈Z
{ψ
j ,n
(t ), un (t − k ) j = L,−1,0; n = 2,3,L, k ∈ Z }
是L2 ( R) 的一个正交基
正交小波包
小波包的分解算法与重构算法
1 j ,2 n al = ∑ h k − 2l akj +1,n k 2 a j ,2 n +1 = ∑ 1 g a j +1, n k − 2l k l 2 k
j∈Z j∈Z
U 0+1 = V j +1 = V j ⊕ W j = U 0 ⊕ U 1 , j j j
小波空间的正交分解
定理1 定理1 设n是任一非负整数，则
U n+1 = U 2 n ⊕ U 2 n+1 j j j
定理2 定理2 对每个j=1，2…
W j = U 2−1 ⊕ U 3−1 = U 4− 2 ⊕ U 5− 2 ⊕ U 6− 2 ⊕ U 7− 2 j j j j j j L U = =
是单位矩阵。 % • 定义双正交小波函数 ψ 和 ψ 为： ω ˆ ω ˆ ˆ (ω ) = G ω φ ω % % % ˆ ψ (ω ) = G φ , ψ 2 2 2 2
双正交小波
• 性质： 1、双正交性 % φ (t ), φ (t − k ) = δ 0, k , k ∈ Z
• 令
% % G(ω ) = −e−iω H (ω + π ), G(ω ) = −e−iω H (ω + π )
则
H (ω ) G (ω )
% H (ω + π ) H (ω ) % G (ω ) G (ω + π )
% H (ω + π ) % G (ω + π )
2k j −k 2j 0
⊕U
2k +1 j −k
⊕L ⊕U
2k +1 −1 j −k
L U ⊕ U = =
2 j +1 0
⊕L ⊕U
2 j +1 −1 0
,
特别地，对每个 j = 0,1, 2,L
3 L2 ( R) = ⊕ W j = L ⊕ W−1 ⊕ W0 ⊕ U 02 ⊕ U 0 ⊕ L
∑h
k
k
2n - k
~ g2m-k = 0
g n = (-1) n+1h n % n +1 % g n = (-1) h n
~ 4、 h n = h n， n = ~n时， 当 g g 双正交小波即为正交小波。
双正交小波
• 对 f ∈VJ，有 f = ∑ akJ ϕ J ,k = ∑ akJ −1ϕ J −1,k + ∑ bkJ −1ψ J −1,k
正交小波包
性质： 性质： 1、(平移正交性)对每个n ∈ Z +
un (t − j ), un (t − k ) = δ j ,k ,
m 2、(相关正交性)对任意 ∈ Z +
j, k ∈ Z
u2 m (t − j ), u2 m+1 (t − k ) = 0,
j, k ∈ Z
小波空间的正交分解
定义 un (t)的二进伸缩平移族为
% ψ (t ),ψ (t − k ) = δ 0, k , k ∈ Z % % ψ (t ), φ (t − k ) = ψ (t ), φ (t − k ) = 0, k ∈ Z
2、空间的分解
% V j +1 = V j + W j , W j ⊥ V j V j +1 = W j + W j −1 + L + W j0 + V j0 , ∀j0 ≤ j
k j0 k k J −1 k
= ∑ a ϕ j0 ,k + ∑ ∑ bkjϕ j ,k .
k
其中
% akj0 = 〈 f , φ j0 ,k 〉;
j = j0
k
% bkj = 〈 f ,ψ j ,k 〉 , k ∈ Z ,
j ≥ j0
% akj = ∑ h n − 2 k anj +1 , k ∈ Z
双正交小波
3、由于 φ (t) = ∑ h n φ (2t-n) , ψ (t) = ∑ g n φ (2t-n) ;
n n
% % % % % % φ (t) = ∑ h nϕ (2t-n) , ψ (t) = ∑ g nφ (2t-n) ;
则有
n
n
~ ∑ h 2n-k h2m-k = δ(m - n)
n∈Z n∈Z
频域形式：
ˆ ˆ φ (2ω ) = H (ω )φ (ω ), ω ∈ R , ˆ ˆ % % % φ (2ω ) = H (ω )φ (ω ), ω ∈ R .
% 其中H 和 H 满足
~ ~ H (ω ) H (ω ) + H (ω + π ) H (ω + π ) = 1
双正交小波
• 分解公式：
n
% bkj = ∑ g n − 2 k anj +1 , k ∈ Z
n
• 重构公式：
akj+1 = ∑ hk − 2 n anj + ∑ g k − 2 n bnj
n n
双正交小波
例：利用双正交9-7小波进行一维信号的压缩处理，运行结果如图5-1所示
original signal 1 1.5
图 5-1 双 正 交 小 波 用 于 信 号 压 缩
compressed signal
1 0.5 0.5 0 0 -0.5 -0.5 -1 -1 0 200 400 600 -1.5 0 200 400 600
结果 图 的图
， 图
压缩 的
的图 ，
16%的小波 的压缩 果
， ，压缩Fra Baidu bibliotek
正交小波包
假定 和 ψ 分别为正交尺度函数和小波函数。记 φ
双正交小波
% • 定义： 假设 {V j | j ∈ Z 和{V j | j ∈ Z } 是两个多分辨分析， 定义 % φ 和φ 分别是其尺度函数．如果
φ (t ), φ (t − k ) = δ 0,k , k ∈ Z
% 则称 φ 和φ 是双正交尺度函数。 • 尺度函数的双尺度方程：
~
% % % φ (t ) = ∑ hnφ (2t − n), φ (t ) = ∑ hnφ (2t − n)
u0 (t ) = φ (t ), u1 (t ) = ψ (t )
按如下递推方法定义函数列
u2 n (t ) = ∑ hk un (2t − k ), k u2 n+1 (t ) = ∑ g k u n (2t − k ). k 称为由 u0 (t ) = φ (t )所确定的小波包。
§5 矢量小波、双正交小波、小波包 矢量小波、双正交小波、
双正交小波的概念与性质 双正交小波包的快速算法与应用 正交小波包的概念与性质 小波空间的正交分解 正交小波包的快速算法与应用
双正交小波
• 问题的提出： – 具有紧支集，对称或反对称的实值正交小波必为 Harr小波。 – 对称或反对称与滤波器H(ω)具有线性相位密切相关， 因而也与失真问题密切相关。 – 为了兼顾连续、具有紧支集和对称或反对称，同时 不太多损失正交小波的优点，提出了双正交小波的 概念。